2027届高考数学一轮复习讲义----16.1_椭圆

该高中数学讲义聚焦椭圆这一解析几何核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及焦点三角形、焦半径公式等高考高频内容，按“定义-方程-性质-深化应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如焦点位置判断、焦半径公式推导）、真题训练（含全国卷及模拟题改编例题）等环节，帮助学生系统突破椭圆综合应用难点。 资料以核心素养为导向，突出数学思维与数学语言培养，如通过焦点三角形面积公式推导过程渗透逻辑推理，结合焦半径公式解决距离最值问题强化数学表达。设置分层例题（基础计算到综合应用）并配套详细解析，助力学生在有限时间内掌握解题策略，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供实用教学资源。

解析几何 16.1 椭圆 学习目标 ● 理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导和应用 ● 掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 ● 熟练运用焦点三角形和焦半径公式解决相关问题 ● 能综合运用椭圆的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 椭圆的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）椭圆的定义 平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 2a（）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 、 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离 叫做焦距。 定义的数学表达：设 P 为椭圆上任意一点，则 ，其中 。 若 ，轨迹为线段 ；若 ，轨迹不存在。 （二）椭圆的标准方程 以两焦点所在直线为坐标轴，两焦点中点为原点建立直角坐标系。设 ，，由定义 ，化简得： 其中 ，b > 0。 焦点在 y 轴上的标准方程为： 同样满足 。 两个标准方程的区别在于：焦点在 x 轴时， 的分母较大；焦点在 y 轴时， 的分母较大。 （三）焦点位置的判断 判断椭圆焦点在哪个轴上，只需比较两个分母的大小： 若 的分母大于 的分母，则焦点在 x 轴上；若 的分母大于 的分母，则焦点在 y 轴上。 即"哪个分母大，焦点就在哪个轴上"。 📌 提示：椭圆的标准方程中，a 始终表示半长轴长，b 始终表示半短轴长，满足 和 。求椭圆方程时，关键是确定 a、b 的值。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷改编） 已知椭圆的焦点为 和 ，且椭圆过点 ，求椭圆的标准方程。 例2 （2022·新高考Ⅰ卷改编） 已知椭圆的离心率为 ，长轴长为 4，求椭圆的标准方程。 例3 （2024·山东模拟） 已知椭圆过点 和 ，求椭圆的标准方程。 例4 （焦点三角形面积） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的面积。 例5 （焦点位置判断） 判断椭圆 的焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。 知识点二 椭圆的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 由标准方程 ，因为 且 ，所以： 即椭圆上的点全部落在矩形 的内部及边界上。 （二）对称性 椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称。 x 轴和 y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（也叫椭圆的中心）。 （三）顶点 椭圆与对称轴的交点叫做顶点。 对于 ，四个顶点为 、、、。 线段 叫做长轴，长为 2a；线段 叫做短轴，长为 2b。 a 是半长轴长，b 是半短轴长。 （四）离心率 椭圆的离心率定义为： 离心率反映了椭圆的扁平程度：e 越接近 0，椭圆越接近圆；e 越接近 1，椭圆越扁。 当 e = 0 时（即 c = 0，a = b），椭圆退化为圆。 （五）焦点三角形 设 P 为椭圆上任意一点，、 为两个焦点，则： 叫做焦点三角形，其周长为： （六）焦半径公式 设 为椭圆 上一点，焦点在 x 轴上，则： 其中 为左焦点 ， 为右焦点 。 推导：，利用 化简可得 。 两个焦半径之积：。 📌 提示：焦半径公式是非常实用的工具，可以快速求出椭圆上任意一点到两焦点的距离，避免了复杂的距离公式计算。注意区分左焦点和右焦点对应的公式。 2. 典型例题 例1 （求离心率） 已知椭圆 ，求其离心率。 例2 （焦点三角形周长） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的周长。 例3 （焦半径应用） 已知椭圆 ，P 为椭圆上横坐标为 1 的点，求 和 。 例4 （椭圆上点到原点距离最值） 已知椭圆 x²/4 + y² = 1，求椭圆上点到原点 O(0,0) 的距离的最大值和最小值。 例5 （椭圆与直线位置关系基础） 已知直线 与椭圆 有两个不同的交点，求 k 的取值范围。 知识点三 焦点三角形与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点三角形面积公式 设 P 为椭圆上一点，，则 的面积为： 推导：由 ，在 中用余弦定理： 而 ，代入得： 面积 ，代入化简得 。 （二）焦点三角形中的余弦定理 在焦点三角形 中，由余弦定理： 结合 和 ，可以求出 ： 利用此公式和 ，可以解出 和 的具体值。 （三）焦半径公式的另一种形式 焦半径公式还可以用角度表示。设 P 在椭圆上，，，则： 由焦半径公式 ，，可得 。 当 时（即 P 在短轴端点），，（最大值）。 当 时（即 P 在长轴端点），（最小值）。 📌 提示：焦点三角形面积公式 是高考高频考点。使用时需注意 是 ，不是其他角。焦半径公式可以避免复杂的坐标运算，在求距离和角度时非常高效。 2. 典型例题 例1 （焦点三角形面积计算） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的面积。 例2 （焦点三角形中求角度） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 。 例3 （焦半径与离心率综合） 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 。 例4 （椭圆上点到焦点距离最值） 已知椭圆 ， 为左焦点，求椭圆上点到 距离的最大值和最小值。 例5 （综合应用） 已知椭圆 ，、 为两焦点，P 为椭圆上一点，。求 面积的取值范围。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：。 例2答案：（焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 例3答案：（即圆）。 例4答案：。 例5答案：焦点在 x 轴上，焦点坐标为 和 。 知识点二 例1答案：离心率为 。 例2答案：16。 例3答案：，。 例4答案：最小值为 1，最大值为 2。 例5答案：k 的取值范围为全体实数。 知识点三 例1答案：。 例2答案：。 例3答案：。 例4答案：最大值 3，最小值 1。 例5答案： 的范围为 ，面积的范围为 。 恒为锐角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 16.1 椭圆 学习目标 ● 理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导和应用 ● 掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率 ● 熟练运用焦点三角形和焦半径公式解决相关问题 ● 能综合运用椭圆的定义与性质解决高考常见题型 知识点一 椭圆的定义与标准方程 1. 知识梳理 （一）椭圆的定义 平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 2a（）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 、 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离 叫做焦距。 定义的数学表达：设 P 为椭圆上任意一点，则 ，其中 。 若 ，轨迹为线段 ；若 ，轨迹不存在。 （二）椭圆的标准方程 以两焦点所在直线为坐标轴，两焦点中点为原点建立直角坐标系。设 ，，由定义 ，化简得： 其中 ，b > 0。 焦点在 y 轴上的标准方程为： 同样满足 。 两个标准方程的区别在于：焦点在 x 轴时， 的分母较大；焦点在 y 轴时， 的分母较大。 （三）焦点位置的判断 判断椭圆焦点在哪个轴上，只需比较两个分母的大小： 若 的分母大于 的分母，则焦点在 x 轴上；若 的分母大于 的分母，则焦点在 y 轴上。 即"哪个分母大，焦点就在哪个轴上"。 📌 提示：椭圆的标准方程中，a 始终表示半长轴长，b 始终表示半短轴长，满足 和 。求椭圆方程时，关键是确定 a、b 的值。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷改编） 已知椭圆的焦点为 F₁(-1, 0) 和 F₂(1, 0)，且椭圆过点 (1, 3/2)，求椭圆的标准方程。 【解析】 由焦点坐标知 c = 1，焦点在 x 轴上，设椭圆方程为 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），其中 b² = a² - 1。 将点 (1, 3/2) 代入方程：1/a² + (9/4)/(a²-1) = 1。 令 t = a²，解 4(t-1) + 9t = 4t(t-1)，得 4t² - 17t + 4 = 0，(4t-1)(t-4) = 0。 t = 1/4（舍去，t > 1）或 t = 4，即 a² = 4，b² = 3。 答：椭圆的标准方程为 x²/4 + y²/3 = 1。 例2 （2022·新高考Ⅰ卷改编） 已知椭圆的离心率为 ，长轴长为 4，求椭圆的标准方程。 【解析】 长轴长 2a = 4，所以 a = 2。 离心率 ，所以 c = 1。 题目未指定焦点位置，椭圆方程有两种可能。 答：椭圆方程为 （焦点在 x 轴）或 （焦点在 y 轴）。 例3 （2024·山东模拟） 已知椭圆过点 和 ，求椭圆的标准方程。 【解析】 设椭圆方程为 （）。 代入 ： 代入 ： 此时 ，即 ，椭圆退化为圆 。 圆是椭圆的特殊情形（e = 0）。 答：椭圆方程为 （即圆）。 例4 （焦点三角形面积） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的面积。 【解析】 由椭圆方程知 ，，，即 a = 4，，c = 2。 焦点三角形面积公式：，其中 。 答： 的面积为 。 例5 （焦点位置判断） 判断椭圆 的焦点在哪个轴上，并求焦点坐标。 【解析】 化为标准方程，两边除以 6： 的分母 3 大于 的分母 2，所以焦点在 x 轴上。 答：焦点在 x 轴上，焦点坐标为 和 。 知识点二 椭圆的几何性质 1. 知识梳理 （一）范围 由标准方程 ，因为 且 ，所以： 即椭圆上的点全部落在矩形 的内部及边界上。 （二）对称性 椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称。 x 轴和 y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心（也叫椭圆的中心）。 （三）顶点 椭圆与对称轴的交点叫做顶点。 对于 ，四个顶点为 、、、。 线段 叫做长轴，长为 2a；线段 叫做短轴，长为 2b。 a 是半长轴长，b 是半短轴长。 （四）离心率 椭圆的离心率定义为： 离心率反映了椭圆的扁平程度：e 越接近 0，椭圆越接近圆；e 越接近 1，椭圆越扁。 当 e = 0 时（即 c = 0，a = b），椭圆退化为圆。 （五）焦点三角形 设 P 为椭圆上任意一点，、 为两个焦点，则： 叫做焦点三角形，其周长为： （六）焦半径公式 设 为椭圆 上一点，焦点在 x 轴上，则： 其中 为左焦点 ， 为右焦点 。 推导：，利用 化简可得 。 两个焦半径之积：。 📌 提示：焦半径公式是非常实用的工具，可以快速求出椭圆上任意一点到两焦点的距离，避免了复杂的距离公式计算。注意区分左焦点和右焦点对应的公式。 2. 典型例题 例1 （求离心率） 已知椭圆 ，求其离心率。 【解析】 由方程知 ，，所以 ，c = 1。 答：离心率为 。 例2 （焦点三角形周长） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的周长。 【解析】 由方程知 ，，，即 a = 5，c = 3。 焦点三角形周长： （与 的大小无关。） 答： 的周长为 16。 例3 （焦半径应用） 已知椭圆 ，P 为椭圆上横坐标为 1 的点，求 和 。 【解析】 a = 2，c = 1，，。 由焦半径公式： 验证：。 答：，。 例4 （椭圆上点到原点距离最值） 已知椭圆 x²/4 + y² = 1，求椭圆上点到原点 O(0,0) 的距离的最大值和最小值。 【解析】 椭圆 x²/4 + y² = 1，a = 2，b = 1。设椭圆上点 P(2cosθ, sinθ)。 |OP|² = 4cos²θ + sin²θ = 4cos²θ + 1 - cos²θ = 3cos²θ + 1。 当 cosθ = 0 时，|OP|²|min = 1，|OP|min = 1（P 为短轴端点）。 当 cosθ = ±1 时，|OP|²|max = 4，|OP|max = 2（P 为长轴端点）。 答：最小值为 1，最大值为 2。 例5 （椭圆与直线位置关系基础） 已知直线 与椭圆 有两个不同的交点，求 k 的取值范围。 【解析】 联立方程： 代入消去 y： 两边乘以 12： 有两个不同交点，需判别式 ： 此不等式恒成立，说明对任意 k，直线与椭圆总有两个交点。 这是因为直线 恒过点 ，而 在椭圆内部（）。 答：k 的取值范围为全体实数。 知识点三 焦点三角形与焦半径公式深入 1. 知识梳理 （一）焦点三角形面积公式 设 P 为椭圆上一点，，则 的面积为： 推导：由 ，在 中用余弦定理： 而 ，代入得： 面积 ，代入化简得 。 （二）焦点三角形中的余弦定理 在焦点三角形 中，由余弦定理： 结合 和 ，可以求出 ： 利用此公式和 ，可以解出 和 的具体值。 （三）焦半径公式的另一种形式 焦半径公式还可以用角度表示。设 P 在椭圆上，，，则： 由焦半径公式 ，，可得 。 当 时（即 P 在短轴端点），，（最大值）。 当 时（即 P 在长轴端点），（最小值）。 📌 提示：焦点三角形面积公式 是高考高频考点。使用时需注意 是 ，不是其他角。焦半径公式可以避免复杂的坐标运算，在求距离和角度时非常高效。 2. 典型例题 例1 （焦点三角形面积计算） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 的面积。 【解析】 ，，由焦点三角形面积公式： 答： 的面积为 。 例2 （焦点三角形中求角度） 已知椭圆 ，P 为椭圆上一点，，求 。 【解析】 a = 4，，c = 2。 由 ： 答：。 例3 （焦半径与离心率综合） 已知椭圆 ， 为椭圆上一点，求 。 【解析】 验证 P 在椭圆上：。 a = 2，，。 由焦半径公式： 验证：，，积为 。 答：。 例4 （椭圆上点到焦点距离最值） 已知椭圆 ， 为左焦点，求椭圆上点到 距离的最大值和最小值。 【解析】 a = 2，，。 由焦半径公式 ，其中 。 当 时，。 当 时，。 答：最大值为 3，最小值为 1。 例5 （综合应用） 已知椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，F₁、F₂ 为两焦点，P 为椭圆上一点，∠F₁PF₂ = θ。求 θ 的取值范围及 △F₁PF₂ 面积的取值范围。 【解析】 a = 2，，c = 1。 当 P 在短轴端点时 θ 最大，此时 |PF₁| = |PF₂| = a = 2，cosθ = (4+4-4)/(2·2·2) = 1/2，θ_max = 60°。 当 P 沿椭圆趋向长轴端点时，θ → 0°。 因此 θ 的取值范围为 (0°, 60°]。 面积 S = b²·tan(θ/2) = 3·tan(θ/2)。 当 θ → 0° 时，S → 0；当 θ = 60° 时，S = 3·tan30° = √3。 答：θ 的取值范围为 (0°, 60°]，面积的取值范围为 (0, √3]。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 椭圆的定义是整个椭圆知识体系的基石， 这一等量关系贯穿所有椭圆问题。 ● 标准方程的推导过程蕴含了"化简"的数学思想，建议让学生亲自动手推导。 ● 焦点位置的判断方法（"哪个分母大，焦点在哪个轴"）简单实用，但学生容易在 a、b 的对应关系上出错。 ● 离心率 是刻画椭圆形状的关键参数，需结合图形理解 e 大小与椭圆扁平程度的关系。 ● 焦半径公式 、 是高频考点，建议从距离公式推导帮助学生理解记忆。 ● 焦点三角形面积公式 在高考中经常出现，需熟练掌握其推导和应用。 二、常见学生错误 ● 混淆 a、b、c 的关系：误写为 （这是双曲线的关系）。 ● 标准方程中 a、b 的含义不清：a 始终是半长轴，b 始终是半短轴，不论焦点在哪个轴。 ● 焦半径公式符号搞混： 中 是左焦点，若 是右焦点则公式相反。 ● 离心率范围记错： 是椭圆，e > 1 是双曲线，e = 1 是抛物线。 ● 焦点三角形面积公式中角度搞错： 是 ，不是 。 三、课时建议 本节内容建议安排 3 课时： ● 第 1 课时：知识点一（椭圆的定义与标准方程） ● 第 2 课时：知识点二（椭圆的几何性质） ● 第 3 课时：知识点三（焦点三角形与焦半径公式深入） 学科网（北京）股份有限公司 $