第2章 一元二次方程 单元测试-2026-2027学年苏科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，结合“镇BA”赛事、科技研发等真实情境与新定义题型，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|定义、配方法、根的判别式、增长率|以“镇BA”双循环赛制考查方程应用，体现数学眼光| |填空题|10/20|韦达定理、直角三角形边长、行列式新定义|蜻蜓腹部比例问题渗透几何直观，2阶行列式培养符号意识| |解答题|9/64|解方程、利润问题、几何折叠、“和积方程”|丢番图问题传承数学文化，动点折叠综合推理能力，“和积方程”创新考查模型意识|

第2章 一元二次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．一定有两个实数根 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（     ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 7．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 8．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．方程的解是______． 10．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 11．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 14．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 15．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 16．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 17．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 18．如图，在中，，，分别是线段，上的点，与相交于点，过点作于点，若，，，则线段的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 21．（6分）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 23．（6分）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 24．（6分）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 25．（6分）根据以下素材，探究完成任务： 背景 进位制是重要的计数思想，我国古代数学著作《九章算术》中早有相关记载与应用．下面我们认识进位制，探究进位制数的转化规则． 素材一 进位制是一种计数方法，使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即为k进制，日常生活中常用十进制．任意一个k进制数，均可按照位权展开转化为十进制数．例如： 二进制数； 三进制数． 素材二 小明同学设计了一个k（k为大于2的整数）进制数，该数转化为十进制数为36． 解决问题： 任务一 (1)二进制数转化为十进制数为______； (2)八进制数转化为十进制数为______． 任务二 (3)分别将、、转化为十进制数，根据你发现的规律，直接写出______（用含k的代数式表示） (4)求素材二中k的值． 26．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 27．（8分）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第2章 一元二次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．一定有两个实数根 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（     ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 7．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 8．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．方程的解是______． 10．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 11．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 14．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 15．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 16．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 17．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 18．如图，在中，，，分别是线段，上的点，与相交于点，过点作于点，若，，，则线段的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 21．（6分）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 23．（6分）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 24．（6分）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 25．（6分）根据以下素材，探究完成任务： 背景 进位制是重要的计数思想，我国古代数学著作《九章算术》中早有相关记载与应用．下面我们认识进位制，探究进位制数的转化规则． 素材一 进位制是一种计数方法，使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即为k进制，日常生活中常用十进制．任意一个k进制数，均可按照位权展开转化为十进制数．例如： 二进制数； 三进制数． 素材二 小明同学设计了一个k（k为大于2的整数）进制数，该数转化为十进制数为36． 解决问题： 任务一 (1)二进制数转化为十进制数为______； (2)八进制数转化为十进制数为______． 任务二 (3)分别将、、转化为十进制数，根据你发现的规律，直接写出______（用含k的代数式表示） (4)求素材二中k的值． 26．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 27．（8分）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，根据定义逐一判断选项即可. 【详解】解：∵一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程， 对各选项逐一判断： A. ，满足所有条件，是一元二次方程； B. ，含有和两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程； C. ，分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程； D. ，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次方程. 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 3．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．一定有两个不相等的实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．一定有两个实数根 【答案】D 【分析】通过计算判别式的值，根据判别式的符号判断根的情况，从而得到正确选项． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， ∵对任意实数，都有，即， ∴方程一定有两个实数根，其中当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程有两个不相等的实数根， 只有D选项符合结论． 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 5．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 6．某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（     ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】本题是一元二次方程的实际应用问题，根据双循环赛制的场次关系设未知数列方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设该小组参加比赛的球队有支； ∵ 双循环赛制中每两支球队之间进行场比赛， ∴总比赛场次为， 已知小组赛共比赛场， ∴ 列方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，； ∵ 球队数量为正整数， ∴ 舍去负根，得，即该小组参加比赛的球队有支． 7．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 8．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．方程的解是______． 【答案】， 【分析】将原方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：原方程为， 可得或， 解得，． 10．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 11．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的个数与判别式的关系，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 因此根的判别式满足 其中，，， 代入得： ． 解得． 13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，利用根与系数的关系得到与的值，再利用勾股定理结合完全平方公式的变形求出斜边长即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 15．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 【答案】 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 16．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 17．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 18．如图，在中，，，分别是线段，上的点，与相交于点，过点作于点，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于，根据直角三角形两锐角互余得出，根据及角的和差关系得出，根据角平分线的性质得出，利用证明得出，，利用“等积法”得出，设，则，，利用勾股定理列方程可求出，设，则，，利用勾股定理列方程可求出，根据线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，（舍去），即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分）解下列方程： (1)； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ∴；（3分） （2）解：， ， ， ， ， ；（6分） （3）解：， ， ， ， ；（9分） （4）解：， ， ， ， ， ， ， ．（12分） 20．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（3分） （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为.（6分） 21．（6分）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去；（3分） （2）解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即．（6分） 22．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴；（3分） （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得．（6分） 23．（6分）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为；（2分） （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为；（4分） （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为．（6分） 24．（6分）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件．（2分） （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元．（4分） （3）略（6分） 25．（6分）根据以下素材，探究完成任务： 背景 进位制是重要的计数思想，我国古代数学著作《九章算术》中早有相关记载与应用．下面我们认识进位制，探究进位制数的转化规则． 素材一 进位制是一种计数方法，使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即为k进制，日常生活中常用十进制．任意一个k进制数，均可按照位权展开转化为十进制数．例如： 二进制数； 三进制数． 素材二 小明同学设计了一个k（k为大于2的整数）进制数，该数转化为十进制数为36． 解决问题： 任务一 (1)二进制数转化为十进制数为______； (2)八进制数转化为十进制数为______． 任务二 (3)分别将、、转化为十进制数，根据你发现的规律，直接写出______（用含k的代数式表示） (4)求素材二中k的值． 【答案】(1)11 (2)130 (3) (4)5 【分析】（1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材1进行转换即可； （3）参照素材1进行转换，结合规律即可求解； （4）根据题意转化为十进制，再解方程即可． 【详解】（1）解：；（1分） （2）解：；（2分） （3）解：； ； ； 则；（4分） （4）解：， 整理得， 解得或（舍去）， 素材二中k的值为．（6分） 26．（8分）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，；（2分） （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形；（5分） （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上．（8分） 27．（8分）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”．（2分） （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或．（5分） （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或．（8分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D D A C C A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.， 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.， 17./ 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（12分） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ∴；（3分） （2）解：， ， ， ， ， ；（6分） （3）解：， ， ， ， ；（9分） （4）解：， ， ， ， ， ， ， ．（12分） 20．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（3分） （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为.（6分） 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去；（3分） （2）解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即．（6分） 22．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴；（3分） （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为；（2分） （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为；（4分） （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为．（6分） 24．（6分） 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件．（2分） （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元．（4分） （3）略（6分） 25．（6分） 【答案】(1)11 (2)130 (3) (4)5 【分析】（1）参照素材1进行转换即可； （2）参照素材1进行转换即可； （3）参照素材1进行转换，结合规律即可求解； （4）根据题意转化为十进制，再解方程即可． 【详解】（1）解：；（1分） （2）解：；（2分） （3）解：； ； ； 则；（4分） （4）解：， 整理得， 解得或（舍去）， 素材二中k的值为．（6分） 26．（8分） 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，；（2分） （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形；（5分） （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上．（8分） 27．（8分） 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”．（2分） （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或．（5分） （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $