21.2.1　第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过知识回顾y=x²的描点法和图象特征搭建学习支架，引导学生对比探究不同a值（正负、绝对值大小）的函数图象，构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于采用列表描点、对比探究和表格归纳，培养学生数学思维的推理意识与数学语言的模型意识。例如对比a>0与a<0时的开口方向、增减性，归纳|a|对开口大小的影响，随堂演练结合概念辨析与综合应用。学生能深化理解，教师可高效教学。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 第2课时 二次函数y=ax²的图象和性质 课堂小结 获取新知 知识回顾 随堂演练 知识回顾 1、如何用描点法画二次函数 y=x² 的图象？ 2、二次函数y=x²的图象是一条 . 列表——描点——连线 3、二次函数y=x²的图象特征 抛物线 开口向上 关于y轴对称 原点是最低点 在y轴左侧，y随x的增大而减小 在y轴右侧，y随x的增大而增加 由一次函数引入内容，探究研究函数的基本方法 解：列表： x … … -4 8 -3 4.5 -2 2 -1 0.5 0 0 1 0.5 2 2 3 4.5 4 8 … … x … … -2 8 -1.5 4.5 -1 2 -0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 2 1.5 4.5 2 8 … … 问题 在同一直角坐标系中如何画出函数y=x2，y= x2 和 y=2x2的图象. 获取新知 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … dell (d) - 在同一直角坐标系中画不同的函数图象，使得对比且更加直观 O －2 2 2 4 6 4 －4 8 描点、连线，即得这三个函数的图象： 探究：函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 不同点：a 值越大，抛物线的开口越小 O －2 2 2 4 6 4 －4 8 相同点：开口都向上；顶点是原点而且是抛物线的最低点；对称轴是 轴； 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质如下表： 归纳总结 二次函数y＝ax2(a＞0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 y＝ax2(a＞0) 1. 开口向上，向x轴左 右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可得到相同的函数值y 3. 在y轴左侧是从左向右下降的， 在y轴右侧是从左向右上升的 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 4. 顶 点 就 是 原 点 (0,0),顶点是图象的最低点，图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最小值， y最小值=0,且y没有最大值，即y≥0 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象． (1) 列表 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-x2 y=-　x2 y=-2x2 1 2 … … … … … … -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -2 -2 -1.125 -0.5 -0.125 0 -0.125 -0.5 -1.125 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 探究 (2) 描点 (3) 连线 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 (1) 列表 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-x2 y=-　x2 y=-2x2 1 2 … … … … … … -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -2 -2 -1.125 -0.5 -0.125 0 -0.125 -0.5 -1.125 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 x 1 y -1 -2 -3 O 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 相同点：开口：向下， 顶点：原点（0,0）——最高点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大， y 轴右侧，y随x增大而减小 不同点：a 值越小，抛物线的开口越小． 思考：函数 y = x2（蓝线）, y = -2x2（红线）的图象与函数 y = -x2 （黑色）的图象相比，有什么共同点和不同点？ y = -2x2 y =- x2 2 ▁ 1 y = -x2 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象和性质如下表： 归纳总结 二次函数y＝ax2(a＜0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 y＝ax2(a<0) 1. 2. 3. 4. 开口向下，向x轴左 右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可得到相同的函数值y 在y轴左侧是从左向右上升的， 在y轴右侧是从左向右下降的 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 顶 点 就 是 原 点 (0,0),顶点是图象的最高点，图象向下无限延伸 当x=0时，函数取得最大值， y最大值=0,且y没有最小值，即y≤0 1.分别比较函数y=x2 与y=-x2, y= x2 与y= x2 ,y=2x2 与y=-2x2 的图象，指出它们之间的相同与不同之处？ 思 考 不同之处： 开口方向不同 最值不同 单调性不同 相同之处： 顶点坐标相同 开口大小相同 对称轴相同 2. 当 a>0 时，函数y=ax² 的图象与a<0时有什么不同? 思 考 a>0： 开口向上 有最小值 对称轴左边单调递减 对称轴右边单调递增 a<0： 开口向下 有最大值 对称轴左边单调递增 对称轴右边单调递减 3.|a| 的大小对函数y=ax² 的图象的开口大小有什么影响? 思 考 |a| 越大开口越小 一般地,二次函数y= ax2的图象都是抛物线,因此,二次函数y= ax2的图象可以简称为抛物线y= ax2. 概念认知 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 x y O y x O 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴 y轴 当x<0时，y随着x的增大而减小。 当x<0时，y随着x的增大而增大。 x=0时, y最小=0 x=0时, y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, 当x>0时，y随着x的增大而增大。 当x>0时，y随着x的增大而减小。 |a|越大,抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大。 归 纳 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错误的是( ) C A. 点在二次函数 的图象上 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 随堂演练 16 2. 二次函数 与一次函数 在同一 坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 17 3. [2026滁州期末] 若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 4. 已知二次函数，当时，随 的增大而 增大，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 18 5. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在抛物线 上， 顶点在轴负半轴上， .将 绕点顺时针旋转 得到 ， 边与该抛物线交于点，则点 的坐标为 ( ) D A. (，) B. C. D. 19 （第11题） 【点拨】的顶点 在抛物线 上，，解得 ， 抛物线的表达式为 点 ， 绕点顺时针旋转 得到 ，，轴， 点 和点的纵坐标均为2， 令，得 ，解得 . 点在第一象限， 点的坐标为 ，故选D. 20 6. 已知函数 是关于 的二次函数,则 的值为_______；若该函数图象的开口向下， 则的值为____；若该函数有最小值，则 的值为___. 或1 1 21 7. 已知二次函数,当时， 的取值范围是 __________. 【点拨】 抛物线开口向上，顶点坐标是 ， ， 当时，取得最小值，为0；当 时，取得最大值，为的取值范围是 . 22 8. 已知的三个顶点为， ， ，将向右平移 个单位长度后， 某一边的中点恰好落在二次函数 的图象上， 则 的值为_________. 1或2或3 23 【点拨】的三个顶点为, ， ，边的中点为,边的中点为 , 边的中点为 将向右平移 个单 位长度，边的中点平移后的坐标为, 边的 中点平移后的坐标为, 边的中点平移后的坐标 为 二次函数 的图象的最高点坐标 为,点在轴的上方， 平移后的 边的中点 24 9. 画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 解：列表： 描点、连线，可得这两个函数的图象： 10.已知抛物线y=ax²经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 解：（1）把（-2，-8）代入y=ax²,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数表达式为y= -2x². （2）因为,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上. （3）由-18=-2x² ,得x²=9,, 所以纵坐标为-18的点有两个，它们分别是(3,-18)与(,-18). 11. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的表达 式是，直线的表达式是，点，点 是 该抛物线上的动点，连接，过点作于点 . （1）求证： ； 27 【证明】 点是抛物线 上的动点， 设点的坐标为 . , . ，直线的表达式是 , . . 28 （2）设点，求 的最小值 及此时点 的坐标. 【解】 , 点在抛物线 的上方. 连接，由（1）知 ， .当，， 三点共线时，等号 成立，此时.的最小值为 . 当时，， 此时点的坐标为 . 29 课堂小结 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 $