21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²和y=ax²的图象与性质，通过回顾一次函数图象及“列表、描点、连线”画图方法导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生迁移探究二次函数图象。 其亮点在于采用“观察-操作-归纳”探究模式，对比不同a值函数图象培养几何直观和推理意识，用表格系统总结性质提升数学语言表达。学生通过动手画图和对比分析深化理解，教师可借助结构化流程和多样化练习提高教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 课时1 二次函数y=x2的图象和性质 22002 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 二次函数y=x2的图象和性质 22002 1．了解二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=x2的图象. 3．通过观察图象能够掌握二次函数y=x2的性质. 学习目标 22002 一级标题：黑体， 3 回顾思考 问题1. 我们学过的一次函数的图象是什么形状？ 一条直线 问题2. 如何画一个函数的图象呢？ 列表、描点、连线 二次函数的图象是什么形状的呢？ 下面我们一起探究这个问题！ 复习导入 22002 观察 新知探究 22002 思考 画出二次函数 y=x² 的图象. x … –3 –2 –1 0 1 2 3 … y=x² … 9 4 1 0 1 4 9 … (1)列表； (2)描点； (3)连线. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 相邻两点能用线段连接吗？ 用平滑曲线顺次连接各点 一条曲线 y=x² 22002 6 观察二次函数 y=x² 的图象.你能发现什么？说一说. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 观察 图象是轴对称图形吗？ 是轴对称图形，对称轴是y轴. 图象有最低点吗？ 有最低点，坐标是(0，0). 当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？ 对称轴 最低点 当x＜0时，随着x的增大，函数y减小. x＞0呢？ 当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大. y=x² 22002 7 x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 对称轴 最低点 函数y=x² 的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线. y=x² 函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x². 开口方向 抛物线y=x²开口向上； 抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)； 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，坐标是(0，0). 相关概念 归纳 22002 8 2.观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 1.一定在函数y=x2的图象上的点是( ) A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1) D A 随堂小练 基础 22002 3. 已知点A（－1 ，y1），B（－ ，y2 ），C（ 2，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________.（用“<”连接） y =x2 y1 y2 y3 y1＜y2＜y3 22002 4. 如图,点p为抛物线y=x2 上的任意一点,点A的坐标为(2,0) ,若△POA 的面积为4,则点 的坐标为_________________. (2,4) 或（-2,4） 22002 y＝x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 y O x 课堂小结 22002 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 课时2 二次函数y=ax2的图象和性质 22002 1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点. 2.正确理解抛物线的有关概念. 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. 学习目标 22002 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²、y=2x²的图象. 解：列表. x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x² … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 新知探究 22002 15 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x²、y=2x²的图象. 描点、连线，即得这两个函数的图象. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² y=2x² 22002 16 1.观察二次函数y=x²和y=2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² y=2x² 开口向上 对称轴是y轴 顶点坐标(0，0) 开口方向 对称轴 有最低点 下降 上升 22002 17 2.你能根据函数y=x²、y=x²和y=2x²的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax²(a＞0)的性质吗？ x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=x² y=2x² y=x² 取值范围； 图象的形状； 增减性； 最值问题…… 22002 18 二次函数y=ax²(a＞0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 1. 开口向上，向x轴左右方向无限延伸 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在y轴左侧是从左向右下降的，在y轴右侧是从左向右上升的 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点.开口向上，图象向上无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和–x可得到相同的函数y 当x＜0时，随着x的增大，函数y减小；当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大 当x=0时，函数取得最小值，y最小值=0，且y没有最大值，即y≥0. x y O y=ax²(a＞0) 归纳 22002 19 x … –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-2x² … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … x … –3 –2 –1 0 1 2 3 … y=-x² … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … x … –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … y=-x² … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x²、y=– x²、y=–2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ 新知探究 22002 3. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=–x²、y=– x²、y=–2x²的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、下降？ (1)列表； (2)描点； (3)连线. x y –5 –6 –7 –8 –9 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 –3 –4 1 –1 4 –4 y=–x² y= –2x² y=–x² 开口向下 对称轴是y轴 顶点坐标(0，0) 开口方向 对称轴 有最高点 上升 下降 22002 21 4.根据函数y=–x²、y=–x²和y=–2x²的图象特点，仿照上面的表格，总结出二次函数y=ax²(a＜0)的性质. 取值范围； 图象的形状； 增减性； 最值问题…… x y –5 –6 –7 –8 –9 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 –3 –4 1 –1 4 –4 y=–x² y= –2x² y=–x² 22002 22 二次函数y=ax²(a＜0) 图象的形状 图象的特点 函数的性质 1. 向x轴左右方向无限延伸 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的 4. 顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最高点.开口向下，图象向下无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和–x可得到相同的函数y 当x＞0时，随着x的增大，函数y减小；当x＜0时，随着x的增大，函数y也增大 当x=0时，函数取得最大值，y最大值=0，且y没有最小值，即y≤0. x y O y=ax²(a＜0) 归纳 22002 23 5.分别比较函数y=x²与y=–x²、y=x²与y=–x²、y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. 函数 y=x²、y=x²、y=2x² y=–x²、y=–x²、y=–2x² 相同点 不同点 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大. 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 (1)都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2)顶点坐标都是(0，0). 新知探究 22002 24 思考 当a＞0时，函数y=ax²的图象与a＜0时有什么不同？ 开口方向； 顶点坐标； 对称性； 增减性； 最值…… 22002 25 y=ax²(a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小；在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大. 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大；在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 y轴 顶点是(0，0) 顶点是(0，0) y轴 |a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响？ |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 归纳 22002 26 1.已知下列二次函数： ①y= –x²；②y=x²；③y=15x²；④y= –4 x²；⑤ y=4x². (1)其中开口向上的是 (填序号)； (2)其中开口向下且开口最大的是 (填序号)； (3)有最高点的是 (填序号). a＞0 ②③⑤ a＜0 |a|越小，开口越大 ① 开口向下 a＜0 ①④ 随堂小练 基础 22002 2.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) x y O x y O x y O x y O 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误；选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0，所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确. A B C D C × × 22002 3．下列关于抛物线y＝3x2与y＝－x2的说法正确的是(　　) A． 顶点不同 B． 对称轴不同 C． 开口方向不同 D． 开口大小相同 C 22002 (2)判断点(－2，－4)是否在这个函数图象上，并说明理由． 4． 已知二次函数y＝x2，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)； 解：(1)如图所示， (2)不在．理由如下： 当x＝－2时，y＝ ×(－2)2＝2， 所以点(－2，－4)不在这个函数图象上． 22002 5. 图中与二次函数y＝x2，y＝2x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象对应的是(　　) A． ①②④③ B． ②①④③ C． ①②③④ D． ②①③④ B 22002 6．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)都在抛物线y＝(a2＋1)x2上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A． y3＜y1＜y2 B． y3＜y2＜y1 C． y1＜y2＜y3 D． y2＜y1＜y3 D 22002 二次函数 y=ax2的 图象和性质 二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质： 课堂小结 22002 $