精品解析：四川攀枝花市2025-2026学年高二下学期教学质量监测数学样卷

2025-2026学年度(下)教学质量监测样卷 高二数学 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔将答题卡考号对应数字标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则 A. B. C. D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在上单调递减 C. 曲线在处的切线平行于轴 D. 函数有两个零点 6. 5个人站成一排拍照留念，若甲与乙相邻，丙不站在两端，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人计划从成都、贵阳、昆明三个城市中各自任选一个城市去旅游，每人选择各个城市的概率均为，且每人的选择相互独立，则恰好有两人选择成都的前提下甲选择成都的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对某位同学5次测试的成绩(单位：分)进行统计得到如下表格： 第次 1 2 3 4 5 测试成绩 39 40 48 48 50 根据上表，可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. B. 与的线性相关系数 C. 这5次测试成绩的方差为20.8 D. 预测第6次测试的成绩约为53 10. 已知二项式的展开式中共有8项，则（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 有理项共4项 11. 已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______. 13. 已知等比数列的前项和为，且，则______． 14. 不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某种疫苗A的效果，现对名志愿者进行了实验，得到如下数据： 未感染病毒B 感染病毒B 合计 接种疫苗A 未接种疫苗A 合计 已知从这名志愿者中随机抽取1人，这个人未感染病毒B的概率为． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析疫苗A是否有效； （2）现采用比例分配的分层随机抽样从接种疫苗A的志愿者中抽取人，再从这10人中随机抽取3人，求这3人中感染病毒B的人数的分布列和数学期望． 参考公式：，其中 临界值表： 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的取值范围. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：当，时，. 19. 甲、乙、丙三人制定了某比赛的规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，甲首先获得挑战权，他挑战乙、丙的概率均为.若他挑战乙，下一次的挑战权即属于乙，且乙再挑战甲、丙的概率分别为、；若他挑战丙，下一次的挑战权即属于丙，且丙再挑战甲、乙的概率分别为、. （1）经过3次挑战后，甲已使用的挑战权次数记为，求的数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于甲、乙、丙分别记为事件、、. （i）判断与的大小关系，并证明你的结论； （ii）求事件发生的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度(下)教学质量监测样卷 高二数学 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔将答题卡考号对应数字标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所规定的答题区域内作答，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，得到. 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得的通项公式为， 令，可得，即其常数项为. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意结合正态分布图象的对称性整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，正态分布的图象关于直线对称， 则，， 故：. 本题选择B选项. 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数在处有极大值 B. 函数在上单调递减 C. 曲线在处的切线平行于轴 D. 函数有两个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图像与原函数的单调性关系分析即可. 【详解】由导函数图像可知，在时，，单调递增，故A错误； 在时，先，再，故先单调递增，再单调递减，故B错误； 由导函数图像可知，，根据导数的几何意义知曲线在处的切线斜率为，故正确； 由导函数图像可知，函数先单调递增，再单调递减，再单调递增，在时取最小值，但是无法确定的正负，所以无法确定零点个数,故D错误. 6. 5个人站成一排拍照留念，若甲与乙相邻，丙不站在两端，则不同的排法总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】把甲乙看成一个整体，甲乙内部可以互换，有种，此时相当于有四个元素四个位置，丙不站在两端，则丙有2种选择，再安排剩余的3个元素，有种， 所以满足条件的不同排法总数为种. 7. 甲、乙、丙三人计划从成都、贵阳、昆明三个城市中各自任选一个城市去旅游，每人选择各个城市的概率均为，且每人的选择相互独立，则恰好有两人选择成都的前提下甲选择成都的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为恰有两人选择成都，为甲选择成都. . . 所以. 8. 定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得当时，单调递减，然后由奇偶性可得大致图象，据此可得答案. 【详解】注意到，则当时，单调递减. 又为上奇函数，为上奇函数， 则为上奇函数，为R上偶函数， 则在上单调递增，据此可得大致图象如下： 则. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对某位同学5次测试的成绩(单位：分)进行统计得到如下表格： 第次 1 2 3 4 5 测试成绩 39 40 48 48 50 根据上表，可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. B. 与的线性相关系数 C. 这5次测试成绩的方差为20.8 D. 预测第6次测试的成绩约为53 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意可知：，， 所以，选项A错误； 因为，所以与正相关，所以线性相关系数，选项B正确； 这5次测试成绩的方差为，选项C正确； 当时，，选项D错误. 10. 已知二项式的展开式中共有8项，则（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 有理项共4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式定理求解即可. 【详解】已知二项式的展开式中共有8项，则，解得. 选项A.所有项的二项式系数和为，正确. 选项B.令，则，因此所有项的系数和为1，正确. 选项C.是奇数，则第项和第项的二项式系数相等且最大，因此C错误. 选项D.二项式的展开式通项公式. 令，因此必须为偶数，符合条件的为，共4项，正确. 11. 已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以，两式相减得， 数列为递增数列，故，又，所以， 解得，故A正确； 因为， 所以 ，故B错误； 因为，所以，两式相除得， 所以，，又，所以，即， 所以，故C正确； 因为，是单调递增数列，所以，即. 又，当足够大时指数远大于二次函数，即，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______. 【答案】 ## 【解析】 【详解】由题意得，则， 又，则，解得. 13. 已知等比数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列首项为，公比为，则， 已知，则，则， ， 则． 14. 不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定参数的符号，然后对不等式进行同构变形，，构造函数，将问题转化为在上恒成立等价于在上恒成立，然后根据导数求函数分最值即得. 【详解】若，当时，左边，右边，不等式不成立，因此必有. 不等式两边同乘正数，得：  , 构造函数，求导得， 故在上单调递增，在上单调递减， 因，当时恒成立， 当时，由单调性可得， 原不等式等价于，由单调性得：在上恒成立. 不等式变形为对任意恒成立， 令，求导得：  ，令得, 当，单调递增，当，单调递减， 所以的最大值为，故， 即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某种疫苗A的效果，现对名志愿者进行了实验，得到如下数据： 未感染病毒B 感染病毒B 合计 接种疫苗A 未接种疫苗A 合计 已知从这名志愿者中随机抽取1人，这个人未感染病毒B的概率为． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析疫苗A是否有效； （2）现采用比例分配的分层随机抽样从接种疫苗A的志愿者中抽取人，再从这10人中随机抽取3人，求这3人中感染病毒B的人数的分布列和数学期望． 参考公式：，其中 临界值表： 【答案】（1） 未感染病毒B 感染病毒B 合计 接种疫苗A 未接种疫苗A 合计 疫苗A有效 （2）分布列 0 1 2 数学期望： 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，计算卡方并比较临界值，分析疫苗的有效性； （2）确定分层抽样人数，分析感染人数并计算相关概率，从而得出分布列及期望． 【小问1详解】 由题意，未感染病毒B总人数：； 接种未感染人，则未接种未感染：； 未接种合计：，接种合计：； 接种感染：，感染总人数：； 则列联表： 未感染病毒B 感染病毒B 合计 接种疫苗A 未接种疫苗A 合计 零假设：疫苗A对病毒B无效． ， 依据的独立性检验，拒绝，认为疫苗A有效，推断出错概率不超过． 【小问2详解】 根据比例分配的分层随机抽样，接种未感染抽取人，接种感染抽取人， 表示抽取3人中感染人数，， ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望：． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和； （3）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式得到，故为等比数列，求出通项公式； （2）错位相减法求和即可； （3）作差法得到单调递增，从而得到取值范围 【小问1详解】 ，当时，； 当时，，两式作差得， 是首项为1、公比2的等比数列，故. 【小问2详解】 ， ， 两式相减得， ， 【小问3详解】 ，故单调递增，； 时，，，综上：. 17. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【小问1详解】 当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）证明：当，时，. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）； （3）证明：由（2），取，则时； 令，得， 化简得：. 累加可得，得证. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值情况； （2）参变分离，构造函数，二次求导，结合特殊点函数值得到函数单调性和最值，得到答案； （3）在（2）基础上，取，，可得，累加法可得结论 【小问1详解】 ， 当时，单调递减；时，单调递增. 故极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ， 令，，； 令在上恒成立， 所以在上单调递减，故； 所以在上单调递减，，故. 【小问3详解】 略 19. 甲、乙、丙三人制定了某比赛的规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，甲首先获得挑战权，他挑战乙、丙的概率均为.若他挑战乙，下一次的挑战权即属于乙，且乙再挑战甲、丙的概率分别为、；若他挑战丙，下一次的挑战权即属于丙，且丙再挑战甲、乙的概率分别为、. （1）经过3次挑战后，甲已使用的挑战权次数记为，求的数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于甲、乙、丙分别记为事件、、. （i）判断与的大小关系，并证明你的结论； （ii）求事件发生的概率. 【答案】（1） （2）（i）由题意得，，， 且 则， 则数列是一个以为公比的等比数列， 因为初始状态，所以， 因此，对于任意，都有，即成立. （ii） 【解析】 【分析】（1）通过分析前三次挑战的状态转移过程，分别计算出甲使用挑战权次数为1次和2次的概率，进而代入公式求得数学期望. （2）（i）根据状态转移的递推关系式进行作差，构造出差值为零的等比数列，从而证明两者的概率始终相等（ii）结合全概率公式化简递推方程，利用构造法求出关于甲获得挑战权概率的通项公式，最后代入即可算出最终结果. 【小问1详解】 由题意得第2次挑战权属于乙或丙的概率各为， 若第2次挑战权属于乙，乙挑战甲的概率为， 若第2次挑战权属于丙，丙挑战甲的概率为， 因此甲在第3次获得挑战权的概率为， 甲已使用的挑战权次数的可能取值为， 则，， 则. 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为每次挑战后挑战权必然属于甲、乙、丙三人之一，故对于任意， 都有，即， 代入得， 即， 则，即， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $