3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决未知数系数不都为1的实际问题，通过回顾3.7.1简单和差问题，对比引出含倍数、总价等场景的新题型，以“设列解验答”五步解题法为支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于情境贴近生活（如行程、购物、工程），探究案例提供直接与间接设元两种解法，练习题分层设计且覆盖核心题型。通过实际问题培养数学眼光（抽象数量关系），消元法训练数学思维（推理能力），列方程组强化数学语言（模型意识），助力学生提升应用能力，教师可利用丰富案例优化教学。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级数学3.7.2 解决所列方程中含x、y系数不都为1的实际问题练习题 核心知识点回顾 本节在3.7.1基础上升级，重点学习未知数系数不都为1的二元一次方程组实际应用题。区别于简单的和差问题，此类题型的等量关系中，两个未知量往往带有2、3、5等整数系数，代表数量倍数、单价总价、分段计费等实际场景，无法直接用简单和差列式求解。 核心解题思路：依旧遵循“设、列、解、验、答”五步解题法。根据题目两组独立实际等量关系，列出一组二元一次方程组，方程组中至少一个方程的未知数系数不为1。解题优先选用加减消元法，通过找系数最小公倍数统一未知数系数，消元求解，部分简单题型也可使用代入消元法。 常见题型特征：单价×数量、单产量×数量、行程变速、分段消费、工程配比等问题，题干会出现多倍数量、组合总价、组合总量等条件，是考试高频应用题题型。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知2支圆珠笔和3本笔记本共26元，设圆珠笔单价x元，笔记本单价y元，正确的方程是（） A. \(x+y=26\) B. \(2x+3y=26\) C. \(3x+2y=26\) D. \(2x-3y=26\) 2. 某工厂生产零件，3个甲零件和5个乙零件总重400g，设甲零件单重xg，乙零件单重yg，所列方程为（） A. \(3x+5y=400\) B. \(5x+3y=400\) C. \(3x-5y=400\) D. \(x+y=400\) 3. 方程组\(\begin{cases}2x+3y=19\\5x+2y=16\end{cases}\)最适合的解法是（） A. 直接相加 B. 直接相减 C. 代入消元法 D. 加减消元法（统一系数） 4. 购买4千克橘子和2千克桃子共花费36元，已知橘子单价比桃子贵3元，设橘子x元/千克，桃子y元/千克，方程组正确的是（） A. \(\begin{cases}4x+2y=36\\x-y=3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}2x+4y=36\\x-y=3\end{cases}\) C. \(\begin{cases}4x+2y=36\\y-x=3\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x+y=36\\x-y=3\end{cases}\) 5. 解系数不为1的二元一次方程组应用题，最核心的步骤是（） A. 设未知数 B. 找准两组独立等量关系 C. 书写答案 D. 检验结果 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 5张课桌和2把椅子共800元，设课桌x元，椅子y元，列方程________。 2. 方程组\(\begin{cases}2x+y=14\\3x+2y=22\end{cases}\)，若消去y，需将第一个方程两边同时________。 3. 3袋大米和4袋面粉共重220千克，2袋大米和5袋面粉共重210千克，设每袋大米x千克，面粉y千克，可列方程组________。 4. 已知\(\begin{cases}2x+3y=27\\3x+2y=23\end{cases}\)，则\(x+y=\)________。 5. 4支钢笔和1个文具盒共52元，文具盒单价12元，则钢笔单价为________元。 三、解答题（共60分） 1. （18分）根据题意列出方程组并求解： （1）2千克苹果、3千克香蕉共34元；3千克苹果、2千克香蕉共31元，求苹果和香蕉的单价。 （2）工地运送建材，4辆大车和5辆小车一次可运55吨，2辆大车和3辆小车一次可运29吨，求每辆大车、小车的运货量。 2. （14分）文具店进货，6本笔记本和4支中性笔共48元，4本笔记本和6支中性笔共42元，求笔记本和中性笔的单价。 3. （14分）学校购买体育器材，3个篮球和5个排球共490元，2个篮球和4个排球共360元，求单个篮球、排球的价格。 4. （14分）农户种植瓜果，5亩西瓜和2亩甜瓜总产量2800千克，3亩西瓜和2亩甜瓜总产量2000千克，求每亩西瓜和每亩甜瓜的产量。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：总价=单价×数量，2支圆珠笔为2x，3本笔记本为3y，合计26元，方程为\(2x+3y=26\)。 2. A 解析：3个甲零件总重3x，5个乙零件总重5y，总重量400g，对应方程\(3x+5y=400\)。 3. D 解析：方程组中x、y系数均不相同且不为±1，无法直接加减消元，需统一系数后用加减消元法求解。 4. A 解析：4千克橘子、2千克桃子总价36元，即\(4x+2y=36\)；橘子比桃子贵3元，即\(x-y=3\)。 5. B 解析：应用题解题关键是找准两组独立、不重复的等量关系，才能列出正确方程组。 二、填空题 1. \(5x+2y=800\) 2. 乘以2 3. \(\begin{cases}3x+4y=220\\2x+5y=210\end{cases}\) 4. 10 解析：两式相加得\(5x+5y=50\)，化简得\(x+y=10\)。 5. 10 解析：代入得\(4x+12=52\)，解得\(x=10\)。 三、解答题 1. 解：（1）设苹果单价x元/千克，香蕉单价y元/千克。 列方程组：\(\begin{cases}2x+3y=34①\\3x+2y=31②\end{cases}\) ①×3得\(6x+9y=102③\)，②×2得\(6x+4y=62④\)，③-④得\(5y=40\)，解得\(y=8\)。 将\(y=8\)代入①，得\(2x+24=34\)，解得\(x=5\)。 答：苹果单价5元/千克，香蕉单价8元/千克。 （2）设大车每辆运x吨，小车每辆运y吨。 列方程组：\(\begin{cases}4x+5y=55①\\2x+3y=29②\end{cases}\) ②×2得\(4x+6y=58③\)，③-①得\(y=3\)，代入②得\(2x+9=29\)，解得\(x=10\)。 答：大车每辆运10吨，小车每辆运3吨。 2. 解：设笔记本单价x元，中性笔单价y元。 列方程组：\(\begin{cases}6x+4y=48①\\4x+6y=42②\end{cases}\) ①化简得\(3x+2y=24\)，②化简得\(2x+3y=21\)，联立解得\(x=6，y=3\)。 答：笔记本单价6元，中性笔单价3元。 3. 解：设篮球单价x元，排球单价y元。 列方程组：\(\begin{cases}3x+5y=490①\\2x+4y=360②\end{cases}\) ②化简得\(x+2y=180\)，变形为\(x=180-2y\)，代入①得\(3(180-2y)+5y=490\)，解得\(y=50\)，\(x=80\)。 答：篮球单价80元，排球单价50元。 4. 解：设每亩西瓜产量x千克，每亩甜瓜产量y千克。 列方程组：\(\begin{cases}5x+2y=2800①\\3x+2y=2000②\end{cases}\) ①-②得\(2x=800\)，解得\(x=400\)，代入②得\(1200+2y=2000\)，解得\(y=400\)。 答：每亩西瓜、甜瓜产量均为400千克。 练习总结 本节题型是二元一次方程组应用题的重点和难点，核心区别是方程中未知数系数不都为1，无法直接简单消元。解题核心是读懂题干中的倍数、组合总价、组合总量等关系，准确列出带系数的方程组。解题时优先观察系数特征，灵活化简方程、统一系数，使用加减消元法求解。同时要牢记检验步骤，保证结果符合实际生活意义。熟练掌握此类题型，能全面掌握二元一次方程组的各类实际应用，应对考试核心应用题考点。 解决所列方程中含 x，y 系数不都为 1 的实际问题 1 探究 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？ 分析：小华到学校的路分成两段，一段为上坡路， 一段为平路.(回家所走的下坡路长即为去学校的上坡路长) 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 走上坡的时间 + 走平路的时间 = ______， 走平路的时间 + 走下坡的时间 = ______． 路程=平均速度×时间 10 15 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校上坡路长 x m，平路长 y m. 则根据等量关系，得 解方程组，得 10 15 于是，上坡路与平路的长度之和为 x + y = 400 + 300 = 700 (m). 因此，小华家离学校 700 m. 方法二（间接设元法） 平路 距离 坡路距离 上学 放学 解：设小华上坡路所花时间为 x min， 下坡路所花时间为 y min. 根据题意，可列方程组 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 700 米. 故，平路距离：60×(15 - 10) = 300 (米) 上坡路距离：40×10 = 400 (米) 60×(15-x) 60×(10-y) 40x 80y 40x＝80y， 60(15－x)＝60(10－y) x＝10， y＝5. 例2 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车数 / 辆 2 5 乙种货车数 / 辆 3 6 累计运货量 / t 26 56 该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元? 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨， 解得 x = 4， y = 6. 2x + 3y = 26， 5x + 6y = 56. 本问题涉及的等量关系为： 2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t， 5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t. 于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ). 因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ). 因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元). 答：该果园三次总共应付运费 3 720 元. 例3 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值. 解：根据题意，得 k×1＋b＝－1， k×(－1)＋b＝3. 解方程组，得 k＝－2， b＝1. 故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1. 应用1 配套问题 1. 某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大 齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套， 则每天安排____名工人加工大齿轮，才能刚好配套. 18 【点拨】设每天安排名工人加工大齿轮， 名工人加工小齿轮， 根据题意，得 解得 则每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套. 中考考法 9 2. 某工厂为加工圆柱形的茶叶盒， 购买了 块相同的金属板材，已知每块 金属板材可以有，，三种裁剪方式，如图， 方式：裁 剪成6个圆形底面和1个侧面.方式：裁剪成3个侧面. 方式： 裁剪成9个圆形底面.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆 柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有2块金 属板材按方式裁剪，其余都按，两种方式裁剪.设有 块 金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式裁剪. 中考考法 10 （1）①所有板材一共可以裁剪出圆形底面共__________个， 侧面共_________个. ②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【解】根据题意，得 解得 所以 . 答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒. 中考考法 11 （2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的 圆形底面与侧面恰好配套，则 的值可以是____________ （其中 ）. 40或45或50 中考考法 12 【点拨】根据题意，得 ，所以 .所以.因为， 均为整数， 且,所以的值可取21,24,27，当 时， ；当 时， ；当 时， 中考考法 13 .综上， 的值可以是40或45或 50. 中考考法 应用2 几何问题 3. 如图，长方形 中放置了10个形 状、大小都相同的小长方形，与 的 差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影 部分的面积为( ) D A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 中考考法 15 4. 我们都知道《乌鸦喝水》的 故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后， 喝到了水.根据图中给出的信息，解答下列问题：#1 中考考法 16 （1）放入一个小球水面升高___ ，放入一个大球水面升高 ___ ； 3 4 中考考法 17 （2）如果放入大球、小球共10个，且水面恰好上升到 ， 应放入大球、小球各多少个？ 【解】设应放入小球个，大球 个， 由题意,得解得 答：应放入小球5个，大球5个. 中考考法 18 （3）若放入一个钢珠可以使水面上升 ，当同时放入相 同数量的小球和钢珠时，水面上升到，则整数 的值为 _______.（小球和钢珠都完全在水面以下） 12或2 中考考法 19 【点拨】设同时放入个小球和 个钢珠时，水面上升到 ，由题意得，解得 .因为 ,均为正整数，所以当时，；当 时， ，所以整数 的值为12或2. 中考考法 20 应用3 多项式问题 5. 对于多项式（其中， 为常 数），若分别为6，时，的值分别为3,4，求 的值为5时， 的值. 中考考法 21 【解】根据题意，得 解得 所以多项式为 . 令,解得 . 中考考法 应用4 数字问题 6. 【项目主题】某校数学社团开展 “探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数 式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活 动中. 中考考法 23 【项目准备】 幻方是一种将连续自然数（或特定规则的 数）填入正方形方格中的数学结构，满足 以下数学条件：每行数的和、每列数的和 及两条对角线上的数的和都相等.相等的和叫作幻和.如图① 是由这9个数构造的一个三阶幻方（ 方格）. 中考考法 24 【规律探究】 中考考法 25 （1）观察图①，中心数是5，该三 阶幻方的幻和 （即幻和等于 中心数的3倍）. 若将图①中每个数修改为1， ，， ， 得到 一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 ________ （用含 的代数式表示）. 中考考法 26 【点拨】新幻方的中心数为 ，则新幻方的幻和 . 中考考法 27 （2）若用，， ， ， 这9个连续正整数构造 一个三阶幻方，则幻和 _________（用含 的代数式表 示）. 新幻方的中心数为 ， 则新幻方的幻和 . 中考考法 28 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结 $