第2章实数的初步认识 小结与思考导学案 2026—2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案以“实数的初步认识”为核心，整合平方根、算术平方根、立方根、实数及近似值等知识点，目标是帮助学生系统梳理知识形成体系，综合运用知识解决问题，掌握分类讨论等数学思想。学案通过情境引入激发思考，知识点梳理构建完整框架，典例精讲覆盖各类综合题型，分层练习巩固提升，形成连贯的单元复习路径。 亮点在于“全章综合+核心素养”的设计，典例中包含新定义运算、规律探究等问题，培养学生的抽象能力、推理意识和运算能力。分层练习分基础、能力、拓展三层，适配不同学生需求，课堂小结明确易错点。为教师实施单元复习提供系统支撑，促进学生深度学习和综合应用能力发展。

第2章实数的初步认识 小结与思考导学案 【学习目标】 1、系统梳理本章所有核心知识点，整合平方根、算术平方根、立方根、实数、近似值的内容，形成完整的知识体系； 2、综合运用本章知识，解决全章综合类问题，包括实数分类、无理数估算、数轴实数问题、综合运算、新定义探究等，提升综合应用能力； 3、掌握本章的数学思想：分类讨论、数形结合、类比迁移，能解决本章的易错问题，为后续学习奠定基础。 【学习重难点】 重点：本章知识点的系统整合，综合运用根式运算、实数运算解决基础综合问题； 难点：复杂综合类问题的解决，包括新定义问题、规律探究问题、多知识点融合的实际应用问题。 【学习过程】 一、情境引入 我们已经完成了本章所有课时的学习：从平方根到立方根，从实数的概念到近似值的应用，我们把数的范围从有理数扩充到了实数，解决了很多之前无法解决的问题，比如面积为 2 的正方形的边长、体积为 2 的正方体的棱长。 但是，当我们把这些知识点放在一起的时候，我们能不能解决更复杂的问题？比如，怎么判断一个数是有理数还是无理数？怎么估算一个无理数的大小？怎么在数轴上表示无理数？怎么把这些知识综合起来解决实际问题？ 今天，我们就来对本章的知识做一个完整的小结与思考，把零散的知识点整合起来，解决更综合的问题。 二、知识点梳理（全章整合） 1. 开方运算核心知识 类型 概念 性质 符号表示 算术平方根 若正数的平方等于，则是的算术平方根 双重非负性：，；正数的算术平方根是正数，0 的是 0 平方根 若数的平方等于，则是的平方根 正数有两个互为相反数的平方根，0 的是 0，负数没有 立方根 若数的立方等于，则是的立方根 任意实数都有唯一的立方根，正数的立方根是正，负数的是负，0 的是 0 2. 实数的核心概念 定义：有理数和无理数统称为实数； 有理数：有限小数、无限循环小数，都可以写成分数的形式； 无理数：无限不循环小数，常见类型：开方开不尽的数（如）、含的数（如）、特殊结构的无限不循环小数（如 0.2020020002…）； 实数与数轴：实数和数轴上的点是一一对应的，每一个实数都可以用数轴上的点表示，反之亦然； 实数的性质： 相反数：实数的相反数是，互为相反数的两数和为 0； 绝对值：表示数轴上到原点的距离，正数的绝对值是本身，负数的是相反数，0 的是 0； 倒数：非零实数的倒数是，互为倒数的两数乘积为 1。 3. 实数的运算 有理数的运算法则、运算律，在实数范围内完全适用； 实数的大小比较：数轴上右边的数大于左边的；正数大于 0，负数小于 0；两个负数，绝对值大的反而小。 4. 近似值的核心知识 准确值：完全准确的数，计数得到的数； 近似值：通过测量、估算、四舍五入得到的数； 精确度：表示近似值的精确程度，用 “精确到哪一位” 表示，注意科学记数法、带单位的数的精确度判断。 三、典例精讲（全章综合题型） 例 1：实数的分类与无理数的识别 （2025・江苏扬州高邮期末）下列实数：（每两个 2 之间多 1 个 0），，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： ，是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是含的数，属于无理数； 因此无理数有 2 个。 答案：B 例 2：无理数的估算 （2025・江苏扬州・中考真题）估计的值在（ ） A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 解析： 因为，，所以，因此，即在 3 和 4 之间。 答案：C 例 3：数轴上的实数问题 （2025・四川南充・中考真题）把直径为 1 个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上的点到达点，点对应的数是 2，则滚动前点对应的数是（ ） A. B. C. D. 解析： 圆的周长是，所以滚动的距离是，也就是点向右移动了个单位后到达 2，所以滚动前点对应的数是。 答案：A 例 4：实数的混合运算 计算： 解析： 先化简每一项： （因为）； ； ； 所以原式。 答案： 例 5：非负性的综合应用 已知，求的值。 解析： 根据算术平方根的非负性，被开方数必须非负，所以： ， 解得：且，这显然只有才能满足， 代入得： 所以。 答案：1 例 6：新定义运算问题 对于任意实数，，定义新运算：，给出下列结论： ① 若，，则，； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则。 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： ①：根据定义，，，解得，，正确； ②：，，当时，两者相等，正确； ③：若，，则，时，，但和都不是 0，错误； ④：，即，不一定，错误； 所以正确的有 2 个。 答案：B 例 7：规律探究问题 如图，正方形的边长为 2，其面积标记为，以该正方形的斜边为腰作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的直角边为边作正方形，面积标记为，依此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析： ， 等腰直角三角形的直角边是斜边的，所以下一个正方形的边长是上一个的，面积是上一个的， 所以，，，。 答案：B 四、分层巩固练习 基础过关 1、（2025・江苏苏州・中考真题）下列实数中，比 2 小的数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.-1 2、下列各数中，是无理数的是（ ） A.0 B. C.3.14 D. 3、下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4、8 的立方根是 ． 5、若为正整数，且，则 ． 6、满足的整数可以是 （写出一个即可）． 7、（2025・江苏盐城・期末真题）比较大小： （填 “>”“<” 或 “=”） 8、（2025・江苏南通・期末真题）若有意义，则的取值范围是 9、（2025・江苏淮安・期末真题）计算： ． 10、（2025・江苏扬州・期末真题）解方程：，求的值． 能力提升 11、估计的值在（ ） A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 12、的整数部分为 ． 13、（2025・江苏泰州・期末真题）若，则的平方根是 ． 14、（2025・江苏宿迁・期末真题）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 拓展提优 15、若，则的平方根是 ． 16、对于新定义运算，若，，则和的值分别是？ 五、答案与解析 基础过关 1、答案：D 解析：-1 是负数，小于 2，其余都大于 2。 2、答案：B 解析：是开方开不尽的数，属于无理数，其余都是有理数。 3、答案：B 解析：A 选项，算术平方根非负；C 选项不能直接合并；D 选项；B 选项正确。 4、答案：2 解析：，所以 8 的立方根是 2。 5、答案：3 解析：，所以。 6、答案：3（答案不唯一） 解析：，，中间的整数是 3。 7、答案：> 解析：，所以。 8、答案： 解析：被开方数非负，所以，即。 9、答案：1 解析：，，所以。 10、答案： 解析：，所以。 能力提升 11、答案：C 解析：，所以在 3 和 4 之间。 12、、答案：4 解析：，所以整数部分是 4。 13、答案： 解析：非负性得，，，平方根是。 14、答案： 所以= 拓展提优 15、答案： 解析：非负性得，，，平方根是。 16、答案：， 解析：根据定义列方程组，解得，。 六、课堂小结 本章我们完成了数系从有理数到实数的扩充，我们需要注意这些易错点： 1、不要混淆平方根和算术平方根，平方根有两个，算术平方根只有一个非负的； 2、不要误认为，无理数的加减不能直接合并被开方数； 3、不要把无限循环小数当成无理数，无理数是无限不循环的； 4、不要忽略算术平方根的非负性，被开方数必须非负，结果也必须非负； 5、对于带单位的近似数、科学记数法的近似数，判断精确度的时候要还原成原数再判断。 通过今天的小结，我们把本章的知识整合起来，希望大家能更好地掌握这些内容，为后续的学习做好准备。 学科网（北京）股份有限公司 $