天津市五区县重点校2025-2026学年第二学期期末联考高一数学试题

2025-2026学年度第二学期期末重点校联考 高一数学 出题学校蓟州一中桥北学校 第I卷（共32分） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分) 2i 1.已知复数z满足z= ,则z在复平面内对应的点所在的象限为 1-i A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2V6,c=2V2, C=30°，则B= A.30° B.60° C.90° D.60°或120° 3.边长为2的正方形ABCD,E为CD的中点，则AC.BE的值为 A.2 B.3 C.1 D.4 4.设m,n表示两条不重合的直线，心，B,Y表示三个不重合的平面，则下列说法正 确的是 A.若ml∥n,nca,则m/la B.若a⊥y,B⊥y,则aI1B C.若m⊥，n⊥a,则m∥n D.若mca,nc,m/1B,n/1B,则a/1B 5.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA'=6,OC=2,则原 图形是 A.面积为12的矩形 B.面积为12√2的菱形 C.面积为24的矩形 D.面积为242的菱形 6.下列说法错误的是 A,5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C.数据7.0,7.4,7.6,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的25%分位数为7.4 D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加 一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 7.已知，e2,e是在同一平面内的三个单位向量，且·e2=0,e·>0,e2·<0, 则|e+e2+e引的取值范围为 A.(1,⑤B.(W2,V⑤C.(1,V2+1D.(V2,V2+1] 高一数学第1页共4页 ▣▣ CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描APp -1 8.正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，E,F,G分别为BC,CC,BB,的中点，点P 为线段A,G上的动点，则以下列结论正确的个数是 ①直线DD与直线AF垂直 ②直线A,G与平面AEF平行 ③点G与点C到平面AEF的距离相等 ④平面AEF截正方体所得的截面周长为3√2+2√5 ⑤三棱锥P-AEF的体积为定值 A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 9.已知复数z= 4-31, 则z的模是 1+2i 10.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区， 其中核心区与开发区共有2800人，从所有人员中按照各区采用分层抽样的方法抽取 45人进行调研.其中已知从远郊区抽取10人，则远郊区的人数为 11.向量a,元满足日=2，=1，且五1(a+b),则向量a-2万在向量上的投影向 量为 (用向量表示) 12.世园会志愿者招聘正如火如茶进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被 录用的颜率为号，甲、乙两人都不能技录用的概率为位乙、丙两人都能被录用的 概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立。则乙能被录用的概率为 ,甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为 13.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将DACD沿直线AC折起至△ACP处， 使得点P在平面ABC上的投影在直线AE上，若三棱锥P-ABC外接球的体积为 3元，则三棱锥P-ABC的体积为】 32 高一数学第2页共4页 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫播APP 2 14.已知平面四边形ABCD满足而=hd=2,丽+历=2且扇A。 BC =1, B M为AB的中点， 则 若E,F分别为线段AD,BC上的动点，且满足 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15.(本题满分12分)已知平面向量a,6,c,且ā=（-2,1)，b=(3,-4) (1)若c∥a,且=3V5,求向量的坐标： (2)若ka+i与a+b的夹角为锐角，求实数k的取值范围 16.（本题满分12分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知+b-N5sinC-sim4,b=万，a=2W5e. sinC-sin B (1)求角B的大小： (2)求△ABC的面积； (3)求sin(B-2A)的值 17.（本题满分14分)（请用几何法作答此题） 如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2, D为棱BC的中点 (1)证明：AB∥平面ADC,; (②)求异面直线AB与AD所成角的余弦值： (3)求三棱锥C-AAB的体积. 高一数学第3页共4页 ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 3 18.(本题满分12分)2026年5月25日至5月31日是第三届全国城市生活垃圾分类宜 传周，本次宜传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”某中学举行了一次“垃圾分类 知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整 理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，「80,90)，[90,100]分为5组，得到如图所示 的频率分布直方图。 (1)求图中a的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在[80,100]内的学生中采用分层随机抽样的 方抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人 数. (3)若规定成绩在80,90)为“良好等级，成绩在[90,100]为“优秀”等级，由(2)知 被抽取的27名学生中有6名男生，其中4名成绩为“良好”等级，2名成绩为“优秀” 等级，随机选取2人进行访谈，求抽到的2人成绩等级相同的概率. 频率 组距 0.035 0.025 0.020 0 '5060708090100竞赛成绩/分 19.(本题满分14分)（请用几何法作答此题) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，AC交BD于点O,∠ABC=60°，△PAC 为等边三角形，PB=PD,AB=2. P (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求二面角P-CD-A的正切值 (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 高一数学第4页共4页 ▣▣ CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描App 4 2025-2026学年度第二学期期末重点校联考 高一数学答案 一、选择题（本题共8小题,每题4分,共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C D C A C 二、填空题（本题共6小题,每题4分,共24分） 9. 10. 800 11. 12. ； 13. 14. ；4． 三、解答题（本题共5小题，共64分） 15. （本题满分12分） （1）分设，， ，又，或， 或 ………………6分 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 ………………10分 即 解得且 即k的取值范围是 ………………12分 16. （本题满分12分） （1）因为，由正弦定理得， 所以，即． ………………2分 又由余弦定理得， ………………4分 又，所以． ……………5分 （2）因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． ………………8分 （3）由余弦定理得，所以． 所以，． ………………10分 所以．…………12分 17. （本题满分14分） （1）法一：证明：连接交于点,连接, 在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以,又, 所以. ………………4分 O 法二：证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面；………………4分 （2）由（1）法二知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. ………………9分 （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. …………14分 18. （本题满分12分） （1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 …………2分 （2）成绩在内的频率为 则人数为，成绩在内的频率为 人数为. 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为…………5分 （3）由已知，成绩在记为，成绩在记为B1，B2， 从中任取2名同学的样本空间为： { A1A2, A1A3, A1A4, A1B1, A1B2,A2 A3, A2A4, A2B1, A2B2,A3 A4, A3B1, A3B2, A4B1, A4B2,B1B2}，共15个样本点，…………8分 设“两人的成绩等级相同”， 则{ A1A2, A1A3, A1A4,A2 A3, A2A4,A3 A4, B1B2}包含7个样本点，…10分 所以抽到的都是优质果实的概率． …………12分 19. （本题满分14分） （1）证明：因为底面ABCD为菱形，AC交BD于点O， 所以O为AC，BD的中点． 因为△PAC为等边三角形，所以PA＝PC，所以PO⊥AC． 又PB＝PD，所以PO⊥BD，AC∩BD＝O， 又AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD； …………3分 （2）解：由（1）知PO⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PO⊥CD． 如图，过O作OE⊥CD于点E，连接PE， 又PO∩OE＝O，则CD⊥平面POE． 又因为PE⊂平面POE，所以CD⊥PE， 所以∠PEO为二面角P﹣CD﹣A的平面角 ．…………6分 因为底面ABCD为菱形，所以AB＝AC，且AC⊥BD． 又∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形， 所以AC＝AB＝2， 又△PAC为等边三角形，O为AC的中点， 所以， 在Rt△OCD中，， 所以， 即二面角P﹣CD﹣A的正切值为2． …………9分 （3）法一：取PD中点M，连接OM，又O为BD中点，M N 所以OM//PB，所以直线OM与平面PCD所成的角即为 直线PB与平面PCD所成的角. 由（2）知CD⊥平面POE，CD⊂平面PCD， 所以平面POE⊥平面PCD，且平面POE平面PCD=PE， 在平面POE内，过O作ON⊥PE，所以ON⊥平面PCD,连接MN， 则∠OMN即为直线OM与平面PCD所成的角， …………12分 在Rt△POB中, PO=OB=,则OM= PB=， 在Rt△POE中，，,则 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. …………14分 法二：设点B到平面PCD的距离为，直线PB与平面PCD所成的角为，则, 因为PO⊥平面ABCD，,， 所以. 因为CD=2，CD⊥PE，, , 由得: , , …………12分 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. …………14分 高一数学第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $