第26章二次函数提优验收卷（B卷） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第26章二次函数提优验收卷（B卷），90分钟120分，覆盖二次函数定义、图象性质、实际应用，通过科技与生活情境提升综合应用能力，适配单元复习提优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|抛物线交点坐标（第1题）、性质比较（第2题）|基础概念辨析，结合表格数据判断函数性质（第3题）| |填空题|6/24|二次函数定义（第11题）、过定点问题（第12题）|规律探究（第13题顶点坐标序列），创新概念应用（第15题“开口大小”）| |解答题|6/66|解析式求解（第17题）、实际应用（第19题隔热层费用）|跨学科情境（第7题饮水机电路），项目式探究（第21题无人机喷洒建模）|

第26章二次函数提优验收卷（B卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．抛物线y＝3x2﹣2x﹣1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0） 【分析】根据y轴上点的横坐标为0，令x＝0，进行计算即可得解． 【解答】解：当x＝0时，y＝3×02﹣2×0﹣1＝﹣1， 所以抛物线y＝3x2﹣2x﹣1与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0，求出交点的纵坐标是解题的关键． 2．抛物线y＝2x2与抛物线y＝﹣2x2具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【分析】根据二次函数y＝ax2（a≠0）的性质分析即可． 【解答】解：抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； 抛物线y＝﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点； 故两个抛物线相同的性质是：对称轴都是y轴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2（a≠0）的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线y＝ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下． 3．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 2 4 2 ﹣8 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1.5时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣1时，y＜0 【分析】先利用表格中的已知点求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项． 【解答】解：由条件可得， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+2； ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，A错误，不符合题意； 当x＝0时，y＝2＞0， ∴抛物线与y轴交于正半轴，B错误，不符合题意； 对称轴为， ∵a＜0， ∴当x＞1.5时，y随x的增大而减小，C错误，不符合题意； 当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+3×（﹣1）+2＝﹣2＜0，符合y＜0，D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 4．若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿铅直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线图象的关系式应变为（　　） A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4 【分析】根据平移规律，可得到答案． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 坐标系右移上移，得图象左移下移，得y＝（x﹣1+1）2+2﹣3，即y＝x2﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5．用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 ⋯ y ⋯ m ﹣2 ﹣2 0 4 ⋯ 从表中信息可得m值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 【分析】由表格得到二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可求解． 【解答】解：由表格可得，x＝﹣1时，y＝﹣2；x＝0时，y＝﹣2； ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当x＝﹣2时的函数值等于x＝1时的函数值， ∴m＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由表格得到二次函数的对称轴是解题的关键． 6．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【分析】将问题转化为：求直线y＝m与抛物线有两个交点且这两个交点横坐标一正一负时，m的取值范围． 【解答】解：如图所示：当m＞3时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一交点的横坐标为负．所以当关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根时，m的取值范围是m＞3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使问题变的直观化，且降低了题目的难度． 7．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．180W B．220W C．240W D．320W 【分析】先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：∵该图象是经过原点（0，0）的一条抛物线的一部分且过（1，165）和（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线I＝2， 设抛物线的解析式为P＝a（I﹣2）2+k， ∴， 解得， ∴P＝﹣55（I﹣2）2+220， ∵a＝﹣55＜0， ∴当I＝2时，电功率P有最大值为220，即变阻器R消耗的电功率P最大为220W， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a+c|+|b﹣c|化简的结果是（　　） A．a+b B．﹣a﹣b C．﹣a+b﹣2c D．a﹣b+2c 【分析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，从而可判断a+c＝﹣b＞0，b﹣c＜0，进而可利用非负数的性质去绝对值号化简． 【解答】解：由图象可知，开口向下，则a＜0， 对称轴在y轴右侧，则b＜0， 与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0， 且过（1，0），故有a+b+c＝0，即a+c＝﹣b＞0， 又∵b﹣c＜0， 故|a+c|+|b﹣c|＝a+c+c﹣b＝a﹣b+2c， 故选：D． 【点睛】本题利用了二次函数的图象确定a、b、c的取值范围后再化简绝对值，注意去绝对值的方法，掌握好非负数的性质是解题关键． 9．在数学函数图象的操作课上，小红利用网络画板研究函数y＝4（x﹣3）|x﹣2|的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别画出x≥2、x＜2时的函数图象即可． 【解答】解：当x≥2时，y＝4（x﹣3）（x﹣2）＝4（x）2﹣1， 当x＜2时，y＝﹣4（x﹣3）（x﹣2）＝﹣4（x）2+1， ∴函数y＝4（x﹣3）|x﹣2|的图象如图所示： 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数图象的画法是解题的关键． 10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，点M，N，P，Q在x轴上，若满足以下条件：①函数图象与x轴负半轴相交；②当x＜0，y随x的增大而减小，则坐标系的原点O可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】由条件①可确定y轴在抛物线与x轴的两个交点之间，由条件②可确定y轴在顶点左侧，进而求解． 【解答】解：∵函数图象与x轴负半轴相交， ∴y轴在抛物线与x轴的两个交点之间， ∴点N，P可能是原点， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴y轴在抛物线顶点左侧， ∴点N可能是原点． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．若是关于x的二次函数，则m＝　1　 ． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此列得m的方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：m2+1＝2且m2+m≠0， 解得：m＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 12．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ． 【分析】无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关． 【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1）， ∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1， 此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是明确二次函数的图象必过该定点，即该定点坐标与k的值无关． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为　　 ． 【分析】根据A（﹣3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式中，可求纵坐标． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0）， ∵A（﹣3，0），B（0，1）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为； ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55， 当x＝55时，， ∴抛物线C8的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的对称性，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力． 14．用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是 　6　 ． 【分析】依据长方形的面积公式求得y与x的函数关系式，再利用待定系数法求得y与x的函数关系式，依据对应的项的系数相等解答即可得出结论． 【解答】解：由题意得：“日”字形窗框的高度为：（米）， ∴y与x的函数关系式为y＝x•ax． 设抛物线的解析式为y＝m（x﹣1）2+1.5， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴m+1.5＝0， ∴m， ∴抛物线的解析式为y1.53x， ∴a＝3， ∴a＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求得二次函数的解析式，依据长方形的面积公式求得y与x的函数关系式是解题的关键． 15．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝﹣x2+2x﹣2“开口大小”为 　2　 ． 【分析】先将抛物线化成顶点式y＝﹣（x﹣1）2﹣1，再设点（n，﹣n2+2n﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣1上，求出n﹣1＝﹣n2+2n﹣2﹣（﹣1）≠0的值，由此即可得． 【解答】解：抛物线化成顶点式为y＝﹣（x﹣1）2﹣1， 设点（n，﹣n2+2n﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣1上， ∵n﹣1＝﹣n2+2n﹣2﹣（﹣1）≠0， ∴n＝0或n＝1（舍去）， ∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣2“开口大小”为2|n﹣1|＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 16．已知，直线yx+2与y轴交于点A，与直线yx交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线yx上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 　﹣2≤h　 ． 【分析】把x＝0代入yx+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将yx+2与yx联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线yx上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2h，最后，求得当抛物线恰好与菱形的边AB、BC都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围． 【解答】解：把x＝0代入yx+2得：y＝2， ∴A（0，2）． 将yx+2与yx联立，解得：x＝﹣2，y＝1， ∴B（﹣2，1）． ∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线yx上， ∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且kh． ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2h． 如图1所示： 当抛物线经过点C（O）时，抛物线恰好与BC、AB均有交点， 将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2h得：h2h＝0，解得h＝0（舍去）或h． 如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点 此时点B恰好为抛物线的顶点， ∴h＝﹣2． ∴当﹣2≤h时，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点． 故答案为：﹣2≤h． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与菱形的边AB、BC恰好都有公共点时h的值是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+6经过点M（﹣4，6）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围． 【分析】（1）根据题意，把M（﹣4，6）代入y＝﹣x2+mx+6得﹣16﹣4m+6＝6，解得m＝﹣4，可得y＝﹣x2﹣4x+6＝﹣（x+2）2+10，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据题意，由题意：y＝﹣（x+2）2+10，得到抛物线开口向下，当x＝﹣2时，y有最大值10，当x＝﹣4时，y＝6，当x＝1时，y＝1，进而可以得出答案． 【解答】解：（1）由条件可得﹣16﹣4m+6＝6， 解得：m＝﹣4， ∴y＝﹣x2﹣4x+6＝﹣（x+2）2+10， ∴顶点坐标为（﹣2，10）； （2）由题意：y＝﹣（x+2）2+10， ∴抛物线开口向下，当x＝﹣2时，y有最大值10， 当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4+2）2+10＝6， 当x＝1时，y＝﹣（1+2）2+10＝1， ∴当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围是1≤y≤10． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握相关知识是解题的关键． 18．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集； （3）在抛物线上找一点P（a，c），针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为﹣1，进而求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B，把点A的坐标代入y＝﹣x+b中得： 0＝﹣2+b， 解得b＝2， 把点A的坐标代入y＝x2+mx中得： 0＝4+2m， 解得m＝﹣2； （2）抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点B，联立得： ， 解得或， ∴B（﹣1，3）， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为x＜﹣1或x＞2， ∴不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2； （3）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，a＝1＞0， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为﹣1， 观察图象，若P的个数为2，则c＞﹣1． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 19．（10分）某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足函数解析式：P＝15x．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足函数解析式：，其中3≤x≤8．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元） （1）求T的最大值． （2）若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度． （3）已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且W＝y+2x，求W的最小值． 【分析】（1）先将，利用配方法化成顶点式，再利用二次函数的性质即可得解； （2）由题意可得，解一元二次方程得答案； （3）由题意可得，将其化成顶点式，再利用二次函数的性质即可得解． 【解答】解：（1） ， ∵， ∴时，T随x的增大而减小， ∵3≤x≤8， 当x＝3时，Tmax＝32； （2）x2+8x+190， 由y＝202得，﹣x2+8x+190＝202， ∴x2﹣8x+12＝0， 解得x＝2或x＝6， ∵3≤x≤8， ∴x＝2（舍去）， ∴隔热层修建6cm时，总费用达到202万元； （3）W＝y+2x＝﹣x2+8x+190+2x＝﹣（x﹣5）2+215， ∴对称轴为直线x＝5， ∵﹣1＜0， ∴离对称轴越远，W越小， ∵5﹣3＜8﹣5， ∴当x＝8时，Wmin＝206， ∴隔热层修建8cm时，总费用达到最小值206万元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决此题的关键． 20．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），直线yx+d与抛物线交于B，D两点． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）求d的值和点D的坐标． （3）P是第四象限内抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0＜m＜3），过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点E，过点D作DF⊥PH于点F． ①当F是线段PE的三等分点时，求点P的坐标； ②连接BC，BP，DP，在点P运动的过程中，是否存在∠PBC∠DBP？若存在，直接写出DP的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由待定系数法求出直线表达式，进而求解； （3）①由题意可知，点P的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，当F是线段PE的三等分点，则PF＝2EF或EF＝2PF，进而求解； ②由四边形OBNC是正方形．得到，∠MBC＝∠CBQ．由正方形的对称性可知CQ＝CM＝2，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得：y（x+2）（x﹣4）x2﹣x﹣4， ∴点C的坐标为（0，﹣4）； （2）将点B（4，0）代入， 解得d＝﹣2， ∴直线的函数表达式为 ， 联立上式和抛物线的表达式得：x﹣2x2﹣x﹣4， 解得：x＝4（舍去）或﹣1， ∴点D的坐标为 ； （3）①由题意可知，点P的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ， ∴， ∵F是线段PE的三等分点， ∴PF＝2EF或EF＝2PF， 当PF＝2EF时，即， 解得：m1＝1，m2＝﹣1 含去）， ∴点P的坐标为 ； 当EF＝2PF时，即， 解得，m＝﹣1（舍去）， ∴点P的坐标为 ， 综上所述，点P的坐标为 或 ； ②存在，DP的长为 ，理由： 如图，过点C作 CN⊥y轴，过点B作BN⊥x轴，令直线BD与y轴的交点为M，点M关于直线BC对称的点为Q， ∴∠BOC＝∠OCN＝∠OBN＝90°，OM＝2． ∵C（0，﹣4），B（4，0）， ∴OC＝OB， ∴四边形OBNC是正方形． ∵， ∴∠MBC＝∠CBQ． 由正方形的对称性可知CQ＝CM＝2， ∴Q（2，﹣4）． 把x＝2 代入 得：y＝﹣4， ∴点Q在抛物线 上， ∴当点P与点Q重合时，即P（2，﹣4）满足 ． 则． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 21．（12分） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一水平直线上，AB＝80cm． 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴相交的点为C，OC＝400cm． 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线AB上再增加两个喷水口M和N，点M在点A左侧，点N在点B右侧，且MA＝AB＝BN，从点M和N喷水口喷出的水流的形状均与从A喷水口喷出的相同． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求点A所在抛物线的函数表达式； （2）如图③，当无人机上升到距地面高度为625cm时，求喷洒覆盖宽PQ的长． 【分析】（1）易得抛物线顶点A的坐标和点C的坐标，设出抛物线解析式，把点C的坐标代入可得a的值； （2）分别得到过点M的抛物线解析式，取y＝﹣625，求得合适的x的值为点P的横坐标，判断出点Q的横坐标，取点Q的横坐标减去点P的横坐标即为PQ的长． 【解答】解：（1）由题意得：OA＝40cm，∴点A的坐标为（﹣40，0），C（0，﹣400）， ∴点A所在抛物线的函数表达式为：y＝a（x+40）2， ∴﹣400＝a（0+40）2， ∴a， ∴y（x+40）2； （2）由题意得：MA＝AB＝BN＝80cm， ∴点M的坐标为（﹣120，0），点N的坐标为（120，0）， ∴过点M的抛物线和过点N的抛物线关于y轴对称，过点M的抛物线的解析式为：y（x+120）2， ∴点P和点Q关于原点对称， 当y＝﹣625时，﹣625（x+120）2， ∴x1＝﹣70，x2＝﹣170， ∴点P的横坐标为﹣170， ∴点Q的横坐标为170， ∴PQ＝170﹣（﹣170）＝340（米）． 答：PQ的长为340米． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得过点A的抛物线的解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：二次函数的形状，开口方向不变，二次项的系数相等． 22．（14分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． （1）求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； （2）t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值； （3）当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值． 【分析】（1）根据题意求出抛物线的解析式，即可解答； （2）分情况讨论，当，即时，y随x增大而减小，列方程求解；当时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为，不符合题意；当时，y随x增大而增大，列方程求解即可． （3）根据题意求出直线l解析式，设点E（m，m2+m），且，表示出S，根据二次函数的最值即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线经过原点， ∴2m2﹣m＝0， 解得m＝0或， ∵m≠0， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2+x， ∵， ∴顶点P的坐标为； （2）当，即时，y随x增大而减小， 由题意得（t+1）2+t+1＝2， 解得t1＝﹣3，t2＝0（舍去）， ∴t的值为﹣3； 当时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为，不符合题意； 当时，y随x增大而增大， 由题意得t2+t＝2， 解得t1＝﹣2（舍去），t2＝1， ∴t的值为1； 综上，t的值为﹣3或1； （3）由题意得，当k＝2时，y＝2x+b经过点， ∴， ∴， ∴， 设点E（m，m2+m），且， ∵EF∥x轴， ∴， ∴S＝EF＝m﹣（m2m）m2m（m）2， ∵， ∴当时，S取得最大值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章二次函数提优验收卷（B卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．抛物线y＝3x2﹣2x﹣1与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0） 2．抛物线y＝2x2与抛物线y＝﹣2x2具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 3．二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 5 … y … 2 4 2 ﹣8 … 则下列判断正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＞1.5时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣1时，y＜0 4．若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿铅直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线图象的关系式应变为（　　） A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4 5．用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 ⋯ y ⋯ m ﹣2 ﹣2 0 4 ⋯ 从表中信息可得m值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 6．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 7．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．180W B．220W C．240W D．320W 8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则|a+c|+|b﹣c|化简的结果是（　　） A．a+b B．﹣a﹣b C．﹣a+b﹣2c D．a﹣b+2c 9．在数学函数图象的操作课上，小红利用网络画板研究函数y＝4（x﹣3）|x﹣2|的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（　　） A．B． C． D． 10．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，点M，N，P，Q在x轴上，若满足以下条件：①函数图象与x轴负半轴相交；②当x＜0，y随x的增大而减小，则坐标系的原点O可能是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．若是关于x的二次函数，则m＝　 　 ． 12．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为　 　 ． 14．用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是 　 　 ． 15．对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝﹣x2+2x﹣2“开口大小”为 　 　 ． 16．已知，直线yx+2与y轴交于点A，与直线yx交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线yx上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+6经过点M（﹣4，6）． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围． 18．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集； （3）在抛物线上找一点P（a，c），针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 19．（10分）某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足函数解析式：P＝15x．预计该商场每年的电能消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足函数解析式：，其中3≤x≤8．设该商场的隔热层建造费用与5年能源消耗费用之和为y（单位：万元） （1）求T的最大值． （2）若y＝202，求该商场建造的隔热层厚度． （3）已知该商场未来5年的相关规划费用为W（单位：万元），且W＝y+2x，求W的最小值． 20．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），直线yx+d与抛物线交于B，D两点． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）求d的值和点D的坐标． （3）P是第四象限内抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0＜m＜3），过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点E，过点D作DF⊥PH于点F． ①当F是线段PE的三等分点时，求点P的坐标； ②连接BC，BP，DP，在点P运动的过程中，是否存在∠PBC∠DBP？若存在，直接写出DP的长；若不存在，请说明理由． 21．（12分） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一水平直线上，AB＝80cm． 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴相交的点为C，OC＝400cm． 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线AB上再增加两个喷水口M和N，点M在点A左侧，点N在点B右侧，且MA＝AB＝BN，从点M和N喷水口喷出的水流的形状均与从A喷水口喷出的相同． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求点A所在抛物线的函数表达式； （2）如图③，当无人机上升到距地面高度为625cm时，求喷洒覆盖宽PQ的长． 22．（14分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． （1）求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； （2）t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值； （3）当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $