正态分布及其应用题型的易错点梳理-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化餐蓝学易结类析 正态分布及其应用题型的易错点梳理 ■广西岑溪市岑溪中学 卢华君 正态分布作为高中数学中重要的概率模 区间下密度曲线的面积：最后，在具体计算 型，因其涉及连续型随机变量而成为考查的 时，应充分利用正态分布曲线的对称性，合理 难点。为有效突破正态分布概率模型的应用 转化区间，简化运算过程。 问题，本文对其相关题型进行了系统梳理，依 二、模型间的转化 据题目特征与解题策略将其归纳为三类：正 这类题型主要考查正态分布的实际应 态分布的直接应用、模型间的转化及基于正 用，常见于统计问题中。求解过程中，通常以 态分布的决策问题。文章围绕这三类问题展 数据的平均值和标准差作为基准，对原始数 开深入探究，系统总结解题思路与应对策略， 据进行转化，从而实现实际问题与正态分布 剖析常见错误，旨在帮助同学们全面掌握正 模型的对接，便于计算概率和进行统计推断。 态分布的应用，切实提升解题能力。 例2某学校为了解本校学生数学的 一、正态分布概率模型的直接应用 学习情况，组织本校高一2000名学生进行 这类题型主要基于正态分布的概率模 了一次数学测试（满分100分）。为了检验数 型，在给定的情境下求解相关事件发生的概 据的有效性，从2000 个频率/组距 0.030-------- 率。求解过程中，通常依据正态分布密度曲 名学生成绩中随机抽0.025 线的对称性与集中性等结构特征，结合“3。 取100名学生成绩， 原则”，通过标准化变换和查表计算，快速估 对数据进行处理，得 0.01 0.00 算特定区间内的概率值，从而实现对问题的 到如图1所示的频率 050070809010成绩/分 有效解答。 分布直方图。 图1 例1根据统计发现，平抛运动的物理 (1)根据频率分 实验数据参数的误差X(单位：cm)服从正态 布直方图，求出a的值，并估算100名学生成 分布N(2,。)。已知P(2≤X≤6)=0.4。 绩的平均数； (1)求P(一2≤X≤2)的值： (2)分析发现，该校高一学生数学成绩X (2)求P(X>6)的值。 服从正态分布N(,121),其中：近似为样 解析：(1)已知X服从正态分布N(2, 本平均成绩，规定数学成绩不低于98分的学 。2),故正态分布密度曲线的对称轴为牡=2。 生为数学“学习标兵”，据此估算该校高一学 根据正态分布密度曲线的对称性，可知 生中数学“学习标兵”人数。（结果取整数） P(-2≤X≤2)=P(2≤X≤6)=0.4。 参考数据：P(h一2。≤X≤H十2o)≈ (2)因为X服从正态分布N(2,σ)，且 0.9544。 正态分布密度曲线的对称轴为4=2，所以 解析：(1)由图1得(0.005+0.010+2× P(-2≤X≤6)=P(一2≤X≤2)十P(2≤ a+0.025+0.030)×10=1,解得a=0.015。 X≤6)=0.8，则P(X>6)=P(X<-2)= 由图1可估算100名学生这次测试的数 1-0.8=0.1。 学平均成绩为(45×0.005+55×0.010+ 2 65×0.015+75×0.025+85×0.030+95× 易错提醒：解答本题时，需注意以下易错 0.015)×10=76(分)。 点：首先，正态分布的密度曲线与横轴所围成 (2)已知该校高一学生数学成绩X服从 的总面积恒为1，体现了概率的归一性；其 正态分布N(,121),其中：近似为样本平 次，求解某一区间内的概率，实质上是计算该 均成绩，由(1)知4=76，则高一学生数学成 30 解数學城题阳泰朝折中学生表理化 绩X服从正态分布V(76,11),即4=76，o 产的5个零件进行测量，分别测得内径为甲： =11。 181,190,198,204,213;乙：198,188,170， 因为98=76+2×11，所以P(X≥98)= 240,205。以以前的数据为依据，试根据3o P(X≥u+2a)=1-P(u-2a≤X≤L+2o) 原则通过计算概率判断这两台机器是否需要 2 调试？请说明理由。 ≈1=0.9544=0.0228. 附：X2= n(ad-bc)? 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 因为学校高一学生共有2000人，所以 P(X。<3.841)=0.05,P(|X-4|<。)≈ 0.0228×2000≈46（人），故该校高一学生 0.6827,P(|X-u|<2a)≈0.9545，P(|X 中，数学“学习标兵”约有46人。 -h3o)≈0.9973,0.9973≈0.99。 易错提醒：解答本题时，需注意以下易错 解析：(1)根据数据得表2。 点：首先，在估算平均数时应以各组的组中值 表2 代表该组数据进行计算：其次，在构建正态分 合格不合格合计 布模型时，需准确对应样本的平均数和标准 甲 30 15 45 差，确保参数选取正确；最后，在数据处理过 乙 45 10 55 程中应保持细致严谨的态度，注重计算的准 合计 75 25 100 确性，并合理保留小数位数，避免因粗心导致 n(ad-bc)' 结果偏差。 故 (a+b)(c+d)(ate)(b+d 三、基于正态分布的决策问题 3.0063.841,所以依据小慨率a=0.05的 这类问题主要基于正态分布的集中性原 独立性检险，认为该厂生产的零件是否合格 则，通过判断事件是否落在正常波动范围内 与机器生产无关联。 来评估机器或系统的运行状态。在正态分布 (2)由零件内径X服从正态分布 下，落在范围（一3o,十3。）内的事件属于 N(200,36),即X~N(200,36),可得4= 大概率事件，而超出范围（μ一3o,μ十3σ）的 200,6=6。 事件被视为小概率甚至近似不可能事件。一 因为P(|X-u<3o)=P(u-3。<X 旦此类小概率事件发生，往往意味着系统或 <4+3o)=P(182<X<218)≈0.9973，所 机器出现异常，需要及时进行调整和干预。 以零件内径落在(182,218)内时，机器正常。 例3某工厂一生产车间有甲、乙两台 对于甲机器，生产的5个零件内径分别 机器生产零件，厂里为了检验两台机器是否 为181,190,198,204,213，其中181(182， 需要维修，现对两台机器生产的零件进行检 218),故甲机器需要调试。 验，从两台机器生产的零件中共抽查100个 对于乙机器，生产的5个零件内径分别 零件，检验结果如表1所示。 为198,188,170,240,205，其中170(182， 表1 218),240任(182,218)，故乙机器需要调试。 合格不合格 合计 所以两台机器均需要进行调试。 甲 30 15 易错提醒：解答本题时，需注意以下易错 乙 45 点：首先，在进行独立性检验时，应准确确定参 合计 考值，并严谨判断变量之间是否存在关联的逻 (1)根据数据补充完整表1，并依据小概 辑关系：其次，在运用正态分布模型解决决策 率α=0.05的独立性检验，判断该厂生产的 问题时，需深入理解模型的结构特征，明确其 零件是否合格与机器生产是否有关联？ 适用条件，并清晰把握决策所依据的关键统计 (2)已知这批零件的内径X(单位：mm) 量与概率原则，从而确保分析过程的科学性与 服从正态分布N(200,36)。现对两台机器生 结论的准确性。 (责任编辑王福华) 31