成对数据的统计分析中易错点剖析-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解数学城题阳秦朝折中学生表理化 成对数据的 统计分析中易错点剖析 ■湖北省襄阳市第三中学 秦正辉 成对数据的统计分析主要由成对数据的 心点(x,y),根据y求出样本实际值。 统计相关性，一元线性回归模型及其应用，列 正解：经验回归方程必过样本中心点(x, 联表与独立性检验三部分组成。高考要求同 y),其中：=1+2+3+4+5=3，所以y 学们会通过相关系数和决定系数分析回归模 5 型，会求经验回归方程和非线性回归方程，会 7.8×3+40.2=63.6。 利用列联表进行独立性检验。高考试卷中它 又y= 50+m+67+71+79 6 ,可得m= 常以解答题或选择题的形式出现。下面选取 51,故选D。 成对数据的统计分析中的六个易错点进行剖 易错点二：相关关系与函数关系混淆致错 析，希望对同学们的学习有所帮助。 易错点一：经验回归方程中样本中心点 例2下列说法正确的是()。 应用有误致错 A.y=2x2+1中的x,y是具有相关关 系的两个变量 例1汽车零件车间为了规定零件加 B.正四面体的表面积S与楼长a具有 工工时定额，需要确定加工每件零件所花费 相关关系 的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的 C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一 试验数据（如表1），由最小二乘法求得经验 种确定关系 回归方程为y=7,8x十40.2。 D.汽车的行驶速度与耗油量具有相关 表1 关系 季件数x(个) 1 2 3 5 错解：误选A,B,C。 加工时间y(min)50 67 71 79 错因剖析：将“有相关性”错误理解成“有 表中有一个数据m不小心弄丢了，请你 确定关系”，忽略了相关关系是“不确定的关 推断出该数据n的值为( 系”，而函数关系是“确定的对应关系”。 )。 A.55 B.55.8 正解：选项A,y与x是一种确定关系， C.59 D.51 选项B中，S=√a,故A,B选项都是函数 错解：将x=2代入经验回归方程，得 关系。选项C,电脑的销售量与电脑的价格 y=7.8×2+40.2=55.8。 之间是一种相关关系，不是函数关系。选项 错因剖析：将经验回归方程中的预测值 D中，汽车的行驶速度与耗油量之间具有相 错误理解成样本的实际值，忽略经验回归方 关关系，故选D。 程必过样本中心点(x,y),而不一定过每一 易错点三：相关系数，的意义理解不清致错 个样本点。要求样本的实际值可先求样本中 例3对于x,y两个变量，有四组样 39 中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2026年6月 本数据，分别算出它们的线性相关系数r,则 错因剖析：经验回归方程的计算步骤多， 下列线性相关性最强的是( )。 计算量大，同学们常因细节出错。例如代入 A.-0.82 B.0.78 公式时，漏算x和y:计算6时，符号出错；计 C.-0.69 D.-0.87 算a时，忘记使用a=y一x,随意赋值。 错解：选B。 正解：根据题意，=1十2十3十4十5一 错因剖析：部分同学混淆相关系数的符 号与绝对值的意义，认为正相关的模型比负 3,y 17+36+56+77+99=57. 5 相关的模型线性相关性更强，忽略|r|才决定 线性相关性的强弱。当|r|越接近1，成对样 xy,=1060,2x=55。 =1 i=1 本数据的线性相关程度越强。 xy:-5xy =1 1060-5×3×57 正解：各选项中r=一0.87的绝对值最 大，根据相关系数的绝对值越接近1，成对样 Zx:-5x 55-5×9 本数据间的线性相关性越强，可知D的相关 205 10 =20.5。 性最强。故选D。 易错点四：经验回归方程中因计算有误 a=y-ix=57-20.5×3=-4.5。 致错 所以经验回归方程为y=20.5x一4.5。 易错点五：未判断相关性，直接使用经验 例4某饮品店统计了一天营业时间 回归方程致错 x(单位：h)与饮品销量y(单位：杯)的数据， 如表2所示。 例5在一次抽样调查中测得样本的 5个样本点数值如表3所示。 表2 表3 营业时间x(h) 2 5 0.25 0.5 1 饮品销量y(杯) 36 56 77 99 16 12 已知y与x线性相关，根据以上数据求 试建立y与x之间的经验回归方程。 饮品销量y关于营业时间x的经验回归方 程。参考公式：经验回归方程=x十a中， 错解：易知x= 0.25+0.5+1+2+4 5 6-- 16+12+5+2+1 ,a=y-bx。 1.55,y= =7.2,2xy, Zxi-nz i= 错解：根据题意，x=1十2+3十4+5 232x=21.3125。 23-5×1.55×7.2 3,y=17+36+56+77+99-57. x-5x2 21.3125-5×1.55 5 i=1 2xy,=1060,2x=55。 ≈-3.53。 i=1 =1 a=y-6x=7.2+3.53×1.55≈12.67。 xy:一5xy 6= 1060-5×3×57 所以y=12.67-3.53x。 2x-5x 55-5×3 错因剖析：由于x与y不是线性相关关 205 系，不能直接使用经验回归方程。解决此类 =5.125。 40 问题，应先对两个变量进行相关性检验，若两 a=y-6x=57-5.125×3=41.625。 个变量不是线性相关关系，应观察两个变量 所以经验回归方程为y=5.125x+ 的散点图，找出拟合曲线，进行变量代换，再 41.625。 作线性回归计算。 40 高数学辈制析中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 正解：作出x与y的散点图，如图1所示。 易错点六：独立性检验中，未准确掌握公 ◆y 式中参数的含义致错 16 13 例6人工智能对人们的生活有较大 的影响，为了让老师们更加重视人工智能，某 10 校随机抽出30名男教师和20名女教师参加 学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查 (满分100分)，若分数为80分及以上的为优 秀，其他为非优秀，统计并得到表5。 12345 表5 图1 男教师 女教师 总计 根据散点图1可知y与x近似地呈反比 优秀 20 15 35 1 例函数关系，故设t=一，则对应的数据如表 非优秀 10 5 15 4所示。 总计 30 20 50 表4 参考表6，根据小概率值α=0.1的独立性 4 0.5 0.25 检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ y 16 12 2 附：X n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 画出t与y的散点图，如图2所示。 其中n=a+b十c+d。 表6 16 0.1 0.05 0.01 0.001 以 2.706 3.841 6.635 10.828 12 11 错解：零假设H。:这次成绩是否优秀与 10- 9 性别无关。 X2= 50×(20×15一10×5)2 ≈9.9206 6 30×20×35×15 4 2.706=xa.1。 3 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推 2· 断H。不成立，即认为这次成绩是否优秀与 性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1。 图2 错因剖析：由于对2×2列联表中a,b, 由散点图2可以看出y与t近似地呈线 c,d的位置不清楚，在代入公式时代错了数 值，导致计算结果的错误。 性相关关系，计算得2t,=7.75, y;=36, 正解：零假设H。:这次成绩是否优秀与 4y,=94.25,r=21.3125,则1=1.55. 性别无关。 :=1 根据表中数据，计算得到X= y=7.2。 50×(20×5-15×10) 94.25-5×1.55×7.2 35×15×30×20 -≈0.397<2.706=x0.1。 所以b= 21.3125-5×1.55×1.55≈ 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没 4.1344,a=y-bt≈0.8。 有充分证据推断H。不成立，因此可以认为 因此y=4.1344t+0.8,y与x的经验 H。成立，即认为这次成绩是否优秀与性别 回归方程为y=4.1344 +0.8。 无关。 (责任编辑徐利杰) x 41