构造法求递推数列的通项公式-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解数攀典赛壁方清中学生表理化 构造法求递推数列的通项公式 ■南京航空航天大学附属高级中学 唐举 构造法在求递推数列的通项公式时使用 类型3a+1=入am十A·q”(n∈N*) 非常广泛，运用直观性原则，改变递推式中的 例3在数列(am}中，a1=6,且am+1= 局部结构，将其转化为等差数列或等比数列 2am十3·5”，求{am}的通项公式。 的整体结构，变成熟悉的问题情境，体现了数 解：（方法一）设aw+1一t·5+1=2(am 学中的化归思想。下面将常见的求递推数列 的通项公式问题凝练成六种类型，帮助同学 t·5”),即aw+1=2am十3t·5”,则3t=3,解得 们全面系统地认识其方法特点。 t=1,所以aw+1一5”+1=2(am一5”)。 类型1am+1=Aam十B(n∈N”) 因为a1一5=1≠0，所以{am一5”}是以1 例1已知数列满足a1=1,am+1= 为首项，2为公比的等比数列，即am一5”= 2”-1,故am=5”十2”-1。 2a,十1，求(a}的通项公式。 (方法二)式于两边同除5"+1，得2+ 5+ 解：因为a=安4，十1，所以a1一名 名a.-20.0,-21是以-1为首项，号为公 器+号设错-1号层-小则号 比的等比数列.即a,一2=(-1D·(侵) 号解得1=1，所以-1=号（信-小 因此an=2- 因为号-1=号≠0.所以{侣=-1是以 评析：把常数按照比例“分配”给a+1和 号为首项，是为公比的等比数列，即号-1 am,配凑成an+1一t=入(am一t),从而构造出 等比数列{am一t}。am+1=入am十B是比较简 单的递推关系，其解法中的“分配”思想正是 因此am=5”十2"-1。 构造法的精髓，在其他综合性较强的递推式 评析：am+1=入am十A·g”(n∈N')配凑 中普遍使用。 成a+1一tg”+1=入(am一tg”),用“分配”的方 类型2am+1=Aam+An+B(n∈N") 法把q”拆分给am+1和am,计算原理同例2。 例2在数列{an}中，a1=4,am+1= 同时，指数式q”的本质是乘法运算，可以把 3am十2n十1，求{am}的通项公式。 aa+1=入am十A·q”两边同时除以q”+1,配凑 解：设am+1-[A(n+1)+B]=3[am 1-2A=2, 成&甘一t=B”一的形式·也可以解题。 (An+B)],则 解得A=一1即 A-2B=1, B=-1。 类型4am+1=入a(n∈N") am+1+n+2=3(am+n+1),且a1+1+1= 例4在数列{a.}中，a1=2,a+1= 6≠0，所以{a。十n十1}是以6为首项，3为公 比的等比数列。因此am十n十1=6·3”-1，即 a ,求{am}的通项公式。 am=2·3”-n-1。 评析：aw+1=入am十An十B配凑成aw+1 解：因为aw+1= √2，所以a.>0。两边 [A(n+1)+B]=A[am-(An+B)],变量n 的“分配”不同于常数，为保持通项形式的一 取对数，得1gam+1=1g√2 ,即l1gaw+1= 致性，a+1对应n十1，a。对应n,构造出等比 1 数列{an一(An十B)}。 ga。一lg2),构造为lgam+1十1g2= 37 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年6月 子ga,十1g2)的形式。 a=·()八累加得a- 因为lga1十lg2=2lg2≠0，所以{1gam+ 1-() 1g2)是以21g2为首项，号为公比的等比数 9 (n≥2)。当n=1时也满足 1 1一3 列.即ka,+1g2=2g2·(分)》。 。 上式-（兮）广 3 因此a.=2-1。 评析：二阶齐次线性递推数列am+1= 评析：对am+1=入a”两边取对数，得 入am十uam-1可配凑为a+1一qa。=p(am lgaw+1=rlga。十lg入，配凑为lga+1一t= p十q=入， r(lgam一t),可得等比数列(lgam一t}。 qw-1)。由系数对应相等得 解 p·g=一l, 类型5am+1=Aan十uaa-1(n∈N",n≥2) 得p、q,构造出等比数列(am一gam-1》,再用累 例5在数列(an}中，已知a,=号 加法求解。 39 f(n)a 4 1 a:=g号且a+1=子a.3an≥2，求 类型6am+1 ia。+g(n)n∈N') {am}的通项公式。 例6 在数列(an}中，已知a=2, 4 1 解：已知a+1=3a。一3a-1,可设a+1一 an+1 3(n十1)a,求(a.}的通项公式。 2an 4 b+q=3’ qam=b(a。-qam-1),所以 解：将a=3》两边求倒数，得 2am十n -g=1 3 1 2 a一3(n十1)a.+3+D。两边同时乘以 1 ①当p=1,q= 3时，a+1-3a,=a +1将品+号构造可得出- an+l au+l 3a=a- 1 3a。-1,即a+1- 3a1=1,因此 =号公-).因为是-1=一言≠0：所以 an+1- -(.-): -1是以一专为首项，了为公比的等比数 因为一 ≠0，所以.-}是 1 列，即-1=一·（），解得 以一 为首项，号为公比的等比数列，即 n·3" 3”一1 a.- -() f(n)a 评析：分式型递推数列a+1一a,十g( 两边求倒数，所得等式两边再同乘一个合理 的h(n),等式可以化为b+1=Abn十B的结构 ②当p= 1 3g=1时，aw+1一an=3d (a- 形式，以下易解。 a.)。因为a-a,= ≠0，所以{aw+1一an}是 本文对常见递推数列作了详细梳理，虽 9 然递推数列形式各异，但是构造法具有比较 以写为首项，号为公比的等比数列，即a1 一致的一般规律，即运用化归的数学思想，通 过同减、同除、取对数或求倒数等方法把递推 a=日·(）。因此- 1 a-1= 数列构造成等差或等比数列的整体结构，进 而求得答案。 (责任编辑徐利杰) 38