第一章 专题微课 构造法求数列通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦构造法求数列通项公式，系统梳理形如a_{n+1}=pa_n+q、a_n=pa_{n-1}+p^n及分式递推关系的三大题型，通过待定系数法、同除p^n、取倒数等构造策略，搭建从基础到复杂的学习支架。 资料以“思维建模”提炼方法步骤，助力学生用数学眼光抽象问题本质，通过例题推理培养数学思维的严谨性，用符号语言规范表达构造过程。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过针对训练巩固，有效查漏补缺。

专题微课　构造法求数列通项公式 数列构造法是一种常用的数学解题方法，通常用于解决一些看似复杂或难以直接解决的问题，其核心思想是将原问题转化为一个等差或等比数列问题，通过数列的性质规律求解. 题型（一）　形如an+1=pan+q的递推关系求通项公式 [例1]　已知数列{an}满足a1=，an+1=（an+1），求通项公式an. 解：∵an+1=an+， ∴an+1-1=（an-1）. 又a1-1=-. ∴数列{an-1}是首项为-，公比为的等比数列. ∴an-1=-×， ∴an=1-×. 　　|思|维|建|模| 　　形如=pan+q（其中p，q为常数，且pq（p-1）≠0）可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： （1）假设递推公式可改写为+t=p（an+t）. （2）由待定系数法，解得t=. （3）写出数列的通项公式. （4）写出数列{an}的通项公式. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}满足=2an+2，且a1=1，则 （　　） A.{an}是等差数列　　　 B.{an}是等比数列 C.{an+1}是等比数列 D.{an+2}是等比数列 解析：选D　由=2an+2，可得+2=2（an+2），所以=2. 又由a1=1，得a1+2=3，所以{an+2}是首项为3，公比为2的等比数列. 所以an+2=3×，an=3×-2，=3×2n-2，-an=3×2n-2-（3×-2）=3×，所以{an}不是等差数列；=不等于常数，所以{an}不是等比数列；=不等于常数，所以{an+1}不是等比数列. 2.已知数列{an}满足a1=1，=2an+1，求{an}的通项公式. 解：∵=2an+1，令+t=2（an+t），即=2an+t，∴t=1，即+1=2（an+1）， ∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an+1=2×=2n，∴an=2n-1. 题型（二）　形如an=p+pn的递推关系求通项公式 [例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解：因为an=2an-1+2n（n≥2），等式两边同时除以2n，得=+1，即-=1， 又=，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即=+（n-1）×1， 所以an=×2n. 　　[变式拓展] 　本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式. 解：等式两边同时除以2n，得=+2， 即-=2，又=， 所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以=+（n-1）×2，即an=×2n. 　　|思|维|建|模| 　　形如an=pan-1+pn（p≠0且p≠1）的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来. 第二步：写出数列的通项公式. 第三步：写出数列{an}的通项公式. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}满足=+，且a1=1，求数列{an}的通项公式. 解：由题意，等式两边同乘2n，得=+1， 即-=1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以=2+（n-1）×1=n+1，即an=. 4.已知数列{an}中，a1=3，an+1=3an+2×3n+1，n∈N+，求数列{an}的通项公式. 解：由an+1=3an+2×3n+1，得=+2，∴-=2，又=1， 即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴=2n-1，得an=（2n-1）·3n. 题型（三）　形如an+1=（A，B，C为常数）的递推关系求通项公式 [例3]　已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N+），则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析：因为an+1=，a1=1，所以an≠0，所以=+，即-=.又a1=1，则=1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以=+（n-1）×=+.所以an=. 答案： 　　|思|维|建|模| 　　形如an+1=（A，B，C为常数且A≠0）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 　　[针对训练] 5.[多选]已知数列{an}满足a1=1，=（n∈N+），则下列结论正确的有 （　　） A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4 解析：选ABD　因为an+1=（n∈N+）， 得=+3， 可转化为+3=2， 所以是以+3=4为首项，2为公比的等比数列，故+3=4·2n-1=2n+1，所以=2n+1-3， 所以an=.易知{an}为递减数列，故A、B正确，C错误.的前n项和Tn=-3n=2n+2-3n-4，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $