湖北咸宁市2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

咸宁市2025—2026学年度下学期高中期末考试 高一数学参考答案 一、二、客观题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A A C D C B BD ACD ABD 三、填空题 12．89 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)【答案】（1） （2） 【分析】 （1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解. （2）根据数量积小于0且不共线，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. （3分） 因为与垂直， 所以, 即，解得, （5分） 故实数m的值为. （6分） 【小问2详解】 , （7分） , （8分） 因为与所成的角为钝角， 所以，且与不共线， （9分） 即，解得. （11分） 当与共线时，，解得 故 （12分） 综上可知，实数的取值范围为. （13分） 16．（15分）【答案】（1）最小正周期为，对称中心为 （2） 【分析】 （1）根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式得到，再根据计算得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由(1)及求出，再由余弦定理，结合基本不等式推出，最后利用△ABC面积公式求出最大值. 【详解】 （1） 解：由条件可知：， （2分） ，即 （4分） 所以的最小正周期为. （5分） 令，，解得， （6分） 所以的对称中心为 （7分） （2） 解：由(1)，而，得， （8分） ， 解得，， 又，可得， （10分） 由，利用余弦定理 可得，即当且仅当时等号成立. （12分） 的面积. （14分） 故的面积的最大值为. （15分） 17．（15分）【答案】（1） （2）该校阅读教育工作不优秀。过程略 （3） 【详解】解： （1）由题意知，， 解得． （2分） 根据频率分布直方图，用样本数据的平均数来估计该校学生每天阅读时间的平均数 所以． （4分） （2）方法一：超过的学生阅读时间在1小时及以上，即为分位数大于等于60， 在的频率为，在的频率为，的频率为0.3<0.4 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以没有超过60%的学生阅读时间是1小时及以上，该校阅读教育工作不优秀。 （8分） 方法二：由频率分布直方图可知阅读时间在1小时以上的有 所以该校的阅读教育工作不优秀. （8分） （3）由频率分布直方图知，落在、的样本数据的频数分别为30、20. （9分） 所以， （11分） . （14分） 故落在样本数据的平均值为60，方差为60． （15分） 18.（17分）【答案】（1） （2） （3） 【详解】 （1）因为， ， （2分） 令， 解得， （4分） 所以的单调递减区间为. （5分） （2）因为，则， （6分） 所以 （8分） 即，故的值域为. （10分） （3）由题意可知， （12分） 令， 令，按根的大小顺序解得，满足 ，所以 . （15分） 则，即. （16分） 故所有符合的根之和为. （17分） 19．（17分）【答案】（1）略 （2） （3）存在点， 【详解】解： （1）设，连接， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以． （2分） 因为平面，平面，所以平面. （4分） （2）方法一： 设平面与平面的交线为， 又平面，平面，所以． （5分） 因为，，，所以BC⊥平面． （6分） 设O为AB中点，则， 所以PO⊥平面． （7分） 因为平面，所以． 过O作，因为， 所以l⊥平面POH． 连接PH，则， 所以为二面角的平面角． （8分） 因为，所以，即，所以． （9分） 在中，，，，所以， 即二面角的余弦值为． （10分） 方法二： 如图，由题可知，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则. （5分） 平面的一个法向量，， （6分） 设平面的一个法向量，则， 令，则 （8分） （9分） 又由图可知二面角为锐二面角 二面角的余弦值为. （10分） （3）方法一： 线段上存在点, 当，与平面所成角的正切值大小为． （11分） 理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角． 由，即，可得． （14分） 因为与平面所成角的正切值大小为，即 所以． （15分） 在△ACM中，由余弦定理． （16分） 解得. （17分） 方法二： 设存在点满足题意. （11分） 设 设平面的一个法向量，则. 令，则 （13分） 直线与平面所成角（记为）的正切值为 故 即 （15分） （16分） （17分） 一、选择题解析 1．A 【分析】，根据复数的模代入计算． 【详解】∵，则 故选A． 2．B 【分析】由分层抽样方法列方程求解即可． 【详解】设女生总人数为人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：人，所以解得： 故选B. 3．A 【分析】由已知中正△的边长为4，可得正△的面积，进而根据△ABC的直观图△的面积，可得答案 详解】因为△ABC的直观图△的边长为4，故正△的面积 ，又，则△ABC的面积为 故选A． 4．A 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答. 【详解】因为角的终边经过点,所以 故选A． 5．C 【分析】先根据已知条件确定该三角形绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体，据此计算即可求解. 【详解】该三角形绕着直线旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的几何体， 因为，所以圆柱的高为，圆柱底面半径为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选C. 6．D 【分析】设，根据直角三角形边角关系可得，，根据余弦定理列方程可得的值，从而可得建筑物的高度. 【详解】设，因为，，则，， 在中，由余弦定理知， 即，整理得， 解得或（舍），所以建筑物的高度为15. 故选D. 7．C 【分析】 【详解】球的半径为，设正四棱柱的高为，底面边长为， 可得：， 正四棱柱的侧面积为 当且仅当时等号成立，此时正四棱柱的侧面积最大，所以 所以，所以正四棱柱的高和球的半径之比为 故选C. 8．B 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，由数量积公式以及距离公式得出的最小值. 【详解】设点为的中点，为中点，由得，因为，所以点在直线上，建立平面直角坐标系，，当时，最小，的直线方程为，由点到直线的距离公式可得：，即的最小值. 故选B. 二、多项选择题解析 9．BD 【分析】先化简得出z，再逐一判断选项即可． 【详解】， 在复平面内所z对应的点坐标为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 对于D，，则表示复数的点P的集合是以为圆心，3为半径的圆， 而，即为点到点之间的距离， 所以的最大值为，故D正确． 故选BD. 10．ACD 【分析】根据已知条件，结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可. 【详解】将丙组数据从小到大排列为，可得丙组数据的中位数为，A错误． 将甲组数据从小到大排列为，因为，所以甲组数据的分位数是B错误． 易得甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，C正确．甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，D正确． 故选ACD. 11．ABD 【分析】对A：根据面面平行的性质定理分析判断；对B：根据对称性分析判断；对C：延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与交点为N和R，所以MN与平面ABCD所成的角为；对D：取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作于点H，证得平面EMN，利用等面积法运算求解. 【详解】解：对于A：因为点P与点Q和点M与点S分别关于平面对称，可得，故A正确； 对于B：因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，故B正确； 延长SM与DA的延长线交于E，再连接PE，PE与交点为N，同理确定R， 因为，则， 因为，则， 因为，点P为的中点，所以， 同理可得，，所以， 因为平面ABCD，可知MN与平面ABCD所成的角为， 又因为，所以MN与平面ABCD所成的角的正切值为，故C错误； 对于D：取EM的中点为G，连接AG，NG，过A作于点H， 因为，所以， 又因为，且平面NAG，所以平面NAG， 因为平面EMN，所以平面平面NAG， 又因为，平面NAG，且平面平面， 所以平面EMN， 又由，利用等面积法可得，故D正确. 故选ABD. 三、填空题解析 12．89 【分析】根据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】8次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，88，89，90， ，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第7个数据，即89，故答案为89. 13． 【分析】先根据向量的坐标运算，再根据投影向量求解公式运算求解. 【详解】解：由题意可得： 所以在上投影向量. 故答案为. 14． 【分析】由题意可得若以点为球心，为半径的球与该四棱锥的表面、、有交线，其中表面、的交线相同，取的中点，连接，过作//，过作//，过作于，连接，可证得平面，所以可得以点为球心，为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为， 所以以点为球心，为半径的球与该四棱锥的表面、、有交线， 取的中点，连接，过作//，过作//，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为， 所以， 所以，得， 因为，所以, 所以以点为球心，为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，因为，所以 ， 所以，所以， 所以，所以弧的长为， 同理可得以点为球心，1为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，1为半径的球与四棱锥的表面的交线为点为圆心，为半径的四分之一圆，弧的长为， 所以以点为球心，1为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 故答案为. 【点睛】关键点：此题考查棱锥与球的截面问题，解题的关键是找出球在四棱锥表面上的交线，考查空间想象能力，考查计算能力. 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $咸宁市2025一2026学年度下学期高中期末考试 高一数学试卷 (本试卷共4页，时长120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.复数z=1+2i(其中i为虚数单位)，则z-3对 A.2 B.2 C.√10 D.5 2.某中学高二年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，按性别比例，用分层抽样的方 法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生24人，则该校高二年级共有女生 A.520 B.480 C.460 D.400 3.己知△ABC在斜二测画法下的直观图是边长为4的正三角形，则此△ABC的面积为 A.86 B.8V5 c.6 D.3 33 4.已知角a的终边经过点P(亏宁， 则sina= A.-V2 3 B.- c.} D.-1 2 5 5.己知等腰三角形△ABO,AB=L,AO=BO=√2，过点O作直线l∥AB,则三角形△ABO绕着 直线1旋转360°形成的几何体的体积为 7π A.2π B.π C. π 6 D.12 6.如图，为测量河对岸建筑物AB的高度，选取与建筑物底部点A在同一水平面上的C,D两点， 测得CD=30,∠ACB=30°，∠BDA=45°，∠ADC=60°，则建筑物AB的高度为 A.30V3 B.15V5 C.30 D.15 第】页共4页 7.半径为4的球中有-一内接正四棱柱.当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半 径之比为 A. √2 B.1 C.√2 [D.2 2 8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，AD=xAB+yAC,其中4x+y=1,则DADB的最小 值是 A.-3 B.、40 51 C.-4 D.- 13 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分。 9.若复数z满足(2-)z=4+3i（其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是 A.z在复平面内对应的点位于第四象限 B.z·z=5（z是z的共轭复数) C.z2=5+4i D.若z=3,则z1+z的最大值为√5+3 10.已知甲组数据为5,4,3，乙组数据为7,8,9，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则 A.丙组数据的中位数为6 B.甲组数据的70%分位数是3 C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=6,AA=4,P,Q分别为A1D1,D1C的中点，S 为棱BC的三等分点，BS=2,过P,Q,S三点作一个平面a与C,C,AB,A1A分别交于点R, M,N,即得到一个截面PORSMN,则 A.AN=C R B.POI/MS C.MN与平面BCD所成的角的正切值为}D.点A到载面a的距离为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某射击运动员8次的训练成绩分别为：85,86,87,88,88,88,89,90，则这8次成绩的 第80百分位数为 13.若a=(1,-2),b=(2,-1),则6在a上投影向量的坐标为 14.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为“方锥”.若方锥的所有棱长均为1，以底 面某一顶点为球心，】为半径的球与该方锥的所有表面的交线总长为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知向量a=(2,1),b=(2,-3) (1)若(a-b)L(a+入b),求实数入的值： (2)若ka-b与2a+b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 16.(15分)已知a=(4cosx,4sin),b=(sin(x-),cos(x-),a与6的夹角为0，函数f(x)=2cos0. 6 6 (1)求函数f(x)最小正周期和对称中心： (2)若△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=2,a=√3，求△ABC面积的最大值， 17.(15分)每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中 随机抽取了100名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟)进行调查，并依据样本数据绘制 了如下频率分布直方图. ↑频率/组距 0.015 0.012 a 0.006 0.004 0.003 020406080100120x(分钟) (1)求频率分布直方图中α的值并估计该校学生每天阅读时间的平均值x(同一组中的数据用该 组区间的中点值代表)： (2)若超过60%的学生课外阅读时间在1小时及以上，则认为该校阅读教育工作优秀.请问该校 的阅读教育工作是否优秀？ (3)己知落在40,60)样本数据的平均值是54，方差是4：落在60,80)样本数据的平均值是69， 方差是9.求落在[40,80)样本数据的平均值y和方差s2·(参考公式： S2-NSi+N()+NSi+N()) N,+N2 第3页共4页 18.(17分)已知函数f(x)=2cos2x+2V5 sinxcosx+2. (1)求函数f(x)的单调减区间： (2)当xe 「πT 16'3 时，求f(x)的值域： (3》先将函数y=了()的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右 平移誓个单位得到y=g)的图象，求方程g)=在区间0，上所有根之和。 8 4 19.(I7分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BC=4=2,P,2分别为 4 AC,AA,的中点， (1)求证：AB,∥平面PBC1 (2)设平面PBC,与平面ABB,A的交线为1，求二面角P-1-A的余弦值： (3)在线段C即上是否存在点M,使直线M与平面日CQ所成角的正切值大小为3⑧？若存在， 19 求出CM的长度；若不存在，说明理由， 第4页共4页