4.3 教材回归专题(9) 因式分解的应用（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本初中数学讲义聚焦因式分解的应用，以教材母题“相邻偶数平方差是否为4的倍数”为起点，通过设未知数、平方差公式分解建立基础模型，再通过同类变式、简化计算、配成完全平方式、降次应用等变式，构建从原理到多场景应用的学习支架。 资料以“问题情境—原理应用—拓展延伸”为主线，母题设连续偶数培养抽象能力，变式1证明连续整数平方和倍数关系发展推理意识，变式3配方法体现模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过不同变式练习巩固因式分解方法，弥补应用盲点。

教材回归专题(九)　因式分解的应用 【教材母题】 (教材P111目标与评定第10题) 把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗?为什么? 解：一定是4的倍数。理由如下： 设两个连续偶数为2n，2n＋2(n为整数)。 ∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2)＝4(2n＋1)，4(2n＋1)能被4整除， ∴把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数。 【思想方法】 利用因式分解把所求的代数式变形，从而使问题简化。 【变式1】 (同类变式) 1.发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数。 验证 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍? (2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数。 延伸 (3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几?请说明理由。 解：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍。 (2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2， 它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10。 ∵5n2＋10＝5(n2＋2)，n是整数， ∴n2＋2是整数， ∴五个连续整数的平方和是5的倍数。 (3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2。理由如下： 设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数分别是n－1，n＋1， 它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2。 ∵n是整数，∴n2是整数， ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2。 【变式2】 (利用因式分解简化计算) 2.按要求计算。 (1)利用完全平方公式计算：5012。 (2)利用平方差公式计算：8892－8882。 解：(1)原式＝(500＋1)2＝250 000＋1 000＋1＝251 001。 (2)原式＝(889＋888)×(889－888)＝1 777。 【变式3】 (利用因式分解化成完全平方式) 3.(1)分解因式： ①4x2－12xy＋9y2＝　(2x－3y)2　。  ②y2＋4y＋4＝　(y＋2)2　。  (2)根据以上两式，试求当x，y各取何值时，4x2－12xy＋10y2＋4y＋9的值最小?请求出最小值。 解：(2)4x2－12xy＋10y2＋4y＋9 ＝4x2－12xy＋9y2＋y2＋4y＋4＋5 ＝(2x－3y)2＋(y＋2)2＋5。 ∵(2x－3y)2≥0，(y＋2)2≥0， ∴当2x－3y＝0，y＋2＝0， 即x＝－3，y＝－2时，4x2－12xy＋10y2＋4y＋9的值最小，最小值为5。 【变式4】 (利用因式分解降次) 4.阅读材料： 已知实数x满足x2＝2x＋1，则 x3＝x·x2＝x(2x＋1) ＝2x2＋x ＝2(2x＋1)＋x＝5x＋2。 解决问题： 已知实数x满足x2－3x＋1＝0，求x3－8x的值。 解：∵x2－3x＋1＝0，∴x2＝3x－1， ∴x3－8x＝x·x2－8x＝x(3x－1)－8x＝3x2－9x＝3(3x－1)－9x＝－3。 1.在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，用以简化要分解的多项式的结构，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元法对多项式(x2－4x＋1)(x2－4x＋7)＋9进行因式分解的过程。 解：设x2－4x＝y。 原式＝(y＋1)(y＋7)＋9 ＝y2＋8y＋16 ＝(y＋4)2 ＝(x2－4x＋4)2。 请根据上述材料，回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　(x－2)4　。  (2)请你用换元法对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解。 解：(2)设x2＋2x＝y。 原式＝y(y＋2)＋1 ＝y2＋2y＋1 ＝(y＋1)2 ＝(x2＋2x＋1)2 ＝(x＋1)4。 2.常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：x2－4y2＋2x－4y。细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，故可以尝试按如下方法分解： x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)…分组 ＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)…组内分解因式 ＝(x－2y)(x＋2y＋2)。…整体思想提取公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题。 (1)分解因式：16x2－8x＋2y－y2。 (2)已知a，b，c满足a2－2ac＋c2＝ab－bc，且a≠c，试判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由。 解：(1)16x2－8x＋2y－y2＝(16x2－y2)－(8x－2y) ＝(4x＋y)(4x－y)－2(4x－y) ＝(4x－y)(4x＋y－2)。 (2)a＝b＋c。理由如下： ∵a2－2ac＋c2＝ab－bc， ∴a2－2ac＋c2－ab＋bc＝0， ∴(a－c)2－b(a－c)＝0， ∴(a－c)(a－c－b)＝0， ∴a－c＝0或a－c－b＝0。 又∵a≠c，∴a＝b＋c。 3.根据多项式的乘法法则，可知(ax＋p)(bx＋q)＝abx2＋aqx＋bpx＋pq＝abx2＋(aq＋bp)x＋pq。那么，反过来，也有abx2＋(aq＋bp)x＋pq＝(ax＋p)(bx＋q)。具体分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘再求和，使其等于一次项系数。例如： 因式分解：2x2－x－3。 第一步：分解二次项系数，2＝1×2； 第二步：分解常数项，－3＝－1×3＝1×(－3)； 第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”： 第3题图 ③1×(－3)＋2×1＝－1。 发现③中“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，故将十字交叉线上的数对应写在两个相乘的多项式中，得2x2－x－3＝(x＋1)·(2x－3)。这种因式分解的方法称为十字相乘法。 (1)用“十字相乘法”分解因式：3x2－5x－2。 (2)因式分解：(x2＋x)2－(x2＋x)－2。 (3)因式分解：x2y＋x2－3xy＋xy2－4y2。 解：(1)分解二次项系数，3＝1×3； 分解常数项，－2＝－1×2＝1×(－2)； 如答图所示，验算“交叉相乘之和”： 第3题答图 ④1×1＋3×(－2)＝－5。 发现④中“交叉相乘之和”的结果为－5，等于一次项系数， ∴3x2－5x－2＝(x－2)(3x＋1)。 (2)(x2＋x)2－(x2＋x)－2 ＝(x2＋x＋1)(x2＋x－2) ＝(x2＋x＋1)(x－1)(x＋2)。 (3)x2y＋x2－3xy＋xy2－4y2 ＝(x2y＋xy2)＋(x2－3xy－4y2) ＝xy(x＋y)＋(x＋y)(x－4y) ＝(x＋y)(xy＋x－4y)。 学科网（北京）股份有限公司 $