1.5 教材回归专题(3) 平行线中的几种常见图形研究（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦初中数学平行线中的角度关系研究，以教材母题为起点，通过“断木”“镊子”“铅笔”三种几何模型搭建学习支架，从基础拐角问题延伸至多拐点角度计算，形成从简单到复杂的知识脉络。 该资料以模型意识为核心，通过作辅助线（如过点作平行线）推导角度关系，如“断木”模型中∠APC=∠A+∠C的推理过程，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过变式练习巩固模型应用，弥补推理漏洞。

教材回归专题(三)　平行线中的几种常见图形研究 【教材母题】 (教材P18课内练习第1题) 如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行。若第一个弯道处∠B＝142°，则第二个弯道处∠C的度数为　142　°。  教材母题图 【思想方法】 平行线中的一些常见图形问题，一般都可以利用“断木”“镊子”“铅笔”三种几何模型来解决。 【变式1】 (“断木”类图形研究) 1.如图，AB∥CD，试探究∠APC与∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由。 第1题图 解：∠APC＝∠A＋∠C。理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB， 则∠A＝∠APE。 ∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD， ∴∠C＝∠CPE。 ∵∠APE＋∠CPE＝∠APC， ∴∠APC＝∠A＋∠C。 第1题答图 2.如图，AB∥CD，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1。若∠P1＝48°，求∠P的度数。 第2题图 解：∵∠ABP与∠CDP的平分线相交于点P1， ∴∠ABP＝2∠ABP1，∠CDP＝2∠CDP1。 易知∠P1＝∠ABP1＋∠CDP1＝48°，∠P＝∠ABP＋∠CDP， ∴∠P＝2∠P1＝96°。 【变式2】 (“镊子”类图形研究) 3.如图，AB∥CD，E在CD下方，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，并说明理由。 第3题图 解：∠CDE＝∠B＋∠BED。理由如下： 如答图，过点E作EF∥AB。 ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°。 又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED， ∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF， 即∠CDE＝∠B＋∠BED。 第3题答图 4.如图，AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，求∠C的度数。 第4题图 解：如答图，过点E作EF∥AB。 ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD，∠AEF＝∠A＝54°， ∴∠C＝∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°。 第4题答图 【变式3】 (“铅笔”类图形研究) 5.如图，AB∥CD，点P位于AB与CD之间，连结PA，PC，试探究∠APC与∠PAB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由。 第5题图 解：∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°。理由如下： 如答图，过点P作PE∥AB。 ∵PE∥AB，∴∠PAB＋∠APE＝180°。 ∵AB∥CD，∴PE∥CD， ∴∠CPE＋∠PCD＝180°， ∴∠PAB＋∠APE＋∠CPE＋∠PCD＝180°＋180°＝360°， ∴∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°。 第5题答图 6.如图，AB∥CD，求∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数。 第6题图 解：如答图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，则AB∥EM∥FN∥CD。 易知∠EAB＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD＝180°×3＝540°。 第6题答图 1.如图，已知∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°。试说明：AD∥CF。 第1题图 解：∵∠A＝114°，∠1＝66°， ∴∠A＋∠1＝180°，∴AD∥BE。 ∵∠C＝135°，∠2＝45°， ∴∠C＋∠2＝180°， ∴BE∥CF，∴AD∥CF。 2.如图，直线l1∥l2，∠A＝135°，∠B＝85°，求∠1＋∠2的度数。 第2题图 解：如答图，分别过点A，B作AC∥l1，BD∥l2。 ∵l1∥l2，∴l1∥AC∥BD∥l2， ∴∠MAC＝∠1，∠2＝∠DBN，∠CAB＋∠ABD＝180°。 ∵∠MAB＋∠ABN＝∠MAC＋∠CAB＋∠ABD＋∠DBN＝∠1＋180°＋∠2＝135°＋85°＝220°， ∴∠1＋∠2＝40°。 第2题答图 3.如图，AB∥CD，ED⊥CD，EF平分∠BED交CD于点F。若∠BED＝60°，求∠ABE，∠CFE的度数。 第3题图 解：∵AB∥CD，∴易知∠BED＝∠ABE－∠EDC。 ∵ED⊥CD，∴∠EDC＝90°， ∴∠ABE＝∠BED＋∠EDC＝150°。 ∵ EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠BED＝30°。 ∵AB∥CD，∴易知∠BEF＝∠ABE－∠CFE， ∴∠CFE＝∠ABE－∠BEF＝120°。 4.如图，AB∥CD，点F在CE上，∠EAF＝∠BAF。若∠AEC＝105°，∠DCE＝115°，求∠AFC的度数。 第4题图 解：∵AB∥CD， ∴易知∠AEC＋∠DCE＋∠BAE＝360°。 又∵∠AEC＝105°，∠DCE＝115°， ∴∠BAE＝140°。 ∵∠EAF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠BAE＝105°。 ∵AB∥CD， ∴易知∠BAF＋∠AFC＋∠DCE＝360°， ∴∠AFC＝360°－105°－115°＝140°。 5.(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何数量关系?请说明理由。 (2)如图2，若AB∥CD，你能得到什么结论?请直接写出结论。 第5题图 解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D。 理由如下：如答图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥CD。 第5题答图 ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D， ∴∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D， 即∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D。 (2)∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En。 学科网（北京）股份有限公司 $