天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高一数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D D B D C A A C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10． 11． 12． 13． 14．166 15． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16（本小题满分11分） 解(Ⅰ) 由已知条件， 根据余弦定理， ………………………1分 所以， ………………………3分 因为，所以； ………………………5分 (Ⅱ)因为，且， 所以， ………………………7分 由正弦定理得：， ………………………8分 即， ………………………10分 解得：． ………………………11分 17（本小题满分12分） 解(Ⅰ) 设,连接,如图所示: 因为分别为,的中点,所以,……………………3分 又因为平面,平面, 所以平面． ………………………6分 (Ⅱ)连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, ……………………7分 又因为四边形为菱形,所以, ………………………8分 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面,……………………10分 所以平面平面． ………………………12分 18（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) ………………………2分 解得 ………………………4分 (Ⅱ)深度用户中银牌与金牌的频率比为： 银牌:金牌 ………………………5分 抽取 5 人，按比例分配： 银牌： 5×0.6=3 人,金牌： 5×0.4=2 人， ………………………6分 记银牌3人分别为，金牌2人分别为，则样本空间 ………………………8分 从 5 人中随机选取 2 人，设事件A= "恰有 1 名金牌深度用户"： ……………10分 所以，恰有 1 名金牌深度用户的概率为. ………………………12分 19（本小题满分12分） 解(Ⅰ) 取中点,连接，如图所示： 在正方体中， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以， ………………………1分 在中，为棱,的中点, 所以,所以 ………………………2分 所以为异面直线与所成的角， ………………………3分 由为棱,的中点，正方体的棱长为， 则， ………………………4分 ， ………………………5分 所以在中，由余弦定理得：. 所以异面直线与所成角的余弦值为. ………………………7分 (Ⅱ)因为在平面内，平面与平面的交线为， 所以延长，交于的延长线于点，连接， ……………………9分 如图所示： 在正方体中，由，，且为棱的中点， 所以， 所以，所以， ………………………11分 在中， 所以. ………………………12分 20（本小题满分13分） 解(Ⅰ) 由及正弦定理得， ………………………2分 即有，又三角形内角和为，所以， 即有， ………………………4分 因为，所以， ………………………5分 即. ………………………6分 (Ⅱ)由余弦定理得，…………………7分 又基本不等式得， 故有，当且仅当时取等， ………………………9分 由得， ………………………10分 即，…………………12分 所以的最小值是. ………………………13分 高一数学 第1页 共2页 高一数学 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共36分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图为矩形，其中，则原平面图形的周长为（ ） A． B． C． D． 3．i为虚数单位，复数的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 4．在某次考试后，数学老师随机抽取了5名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，1，3，则这组数据的平均数和分位数分别为（ ） A．5，1 B．5，3 C．4，3 D．5，5 5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则甲获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，某球体建筑物置于水平地面上，与地面相切于点，在地面上沿过点的某一直线上取，两点（点在，之间），分别在，处测得该球体建筑物的最大仰角为和．已知，则该球体建筑物的体积为（ ）注：本题仰角是指观测点到切点（视线与球面相切处）的连线与水平面的夹角． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10．为虚数单位，计算：________． 11．正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为________． 12．《易经》是中国传统文化的重要组成部分．如图是《易经》中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率为________． 13．在中，，，，则的面积为________． 14．某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本以调查学生的身高信息（单位：）．已知男生样本的平均身高为，女生样本的平均身高为，则总样本的平均身高为________． 15．已知为坐标原点，为平面内一定点，且，平面内的动点满足：存在实数，使，记点构成的平面区域为，则的面积为________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16（本小题满分11分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求． 17（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 18（本小题满分12分） 某人工智能平台为了解用户每日使用时长情况，从平台用户中随机抽取了200名用户进行调查．将日均使用时长（单位：小时，精确到0.5小时）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．已知平台将日均使用时长不低于2小时的用户定义为深度用户，其中为银牌深度用户，为金牌深度用户． （Ⅰ）求图中的值； （Ⅱ）采用分层抽样的方法从深度用户中随机抽取5名用户，再从这5人中随机选取2人进行深度访谈，求恰有1人是金牌深度用户的概率． 19（本小题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点． （Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）设直线与平面交于点，请在答题卡上作出线段，叙述作图依据，并求线段的长． 20（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $