4.3 对数 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学对数单元复习讲义通过知识框架图系统构建了对数的知识体系，从对数的概念、两个重要对数（常用对数与自然对数）到基本性质、运算性质及换底公式，用对比表格归纳了对数底数与真数的限制条件，清晰呈现知识脉络与内在逻辑，突出换底公式及其推论等重难点。 讲义亮点在于“题型分层训练”设计，题型一至五覆盖概念辨析（如使对数式有意义的取值范围）、性质应用（如声强级公式计算）、换底公式化简（如已知对数式求代数式值）等，培养数学思维与运算能力。每个题型配有例题精讲与方法总结，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化逻辑推理，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

4.3 对数 题型一 对数的概念与求值 2 题型二 指数与对数的互化 3 题型三 对数性质的应用 4 题型四 对数的化简与运算 5 题型五 利用换底公式的化简 6 课时精练 7 【基础回顾】 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1：对数的概念 一般地，如果 ，那么数 叫作以 为底 的对数，记作 . 其中 叫作对数的底数， 叫作真数。 当 ，且 时， . 知识点 2：两个重要对数 （1）常用对数：以 10 为底的对数叫作常用对数，并把 记为 . （2）自然对数：以 是无理数， 为底的对数叫作自然对数，并把 记作 . 知识点 3：对数的基本性质 注意： 在对数 中规定 且 的原因 （1）若 ，则 为某些数值时， 不存在，如式子 没有实数解，所以 不存在。 因此规定 不能小于 0 . （2）当 且 时， 不存在；当 ， 时， 有无数个值， 不能确定。 因此规定 . （3）当 且 时， 不存在；而当 ， 时， 可以为任何实数，不能确定。 因此规定 . （4）当 ，且 时，由 ，知当 与 确定之后， 唯一确定。 因此规定 ，且 . 知识点 4：对数的运算性质 如果 ，且 那么有以下公式： (1) ; (2) ; (3) . 知识点 5：对数的换底公式 (1) ; （其中， ，且 ，且 ) （2）转换成自然对数或常用对数 . 知识点 6：换底公式的常用推论 (1) ; (2) ; (3) 或 ; (4) . 对于上述结论， 都可采用换底公式证出， 以（4）为例， 证明如下： 【练题型】 题型一 对数的概念与求值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．0或1 题型二 指数与对数的互化 【例题精讲】 1．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津·月考）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 8．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东菏泽·期末）实数满足，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 题型三 对数性质的应用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·云南昆明·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 4．（2026·江苏·模拟预测）一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来.当然，涉及的全体数都是整数.某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案.事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）. 11 12 13 14 15 16 17 18 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.20 1.23 1.26 那么，观众准备的题目的正确答案为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（2026·四川内江·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一下·江苏盐城·月考）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 9．（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 题型四 对数的化简与运算 利用对数运算法则解决相关问题的思路： （1）利用对数运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；② 正用公式： 将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简； ③逆用公式： 将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根， 然后化简求值。 (2）一些常见结论，如 等。 【例题精讲】 1．（2026高三·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高一下·新疆和田·月考）计算： (1) (2)； 3．（25-26高一上·广东揭阳·月考）计算下列各式的值： (1)； (2). 4．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 6．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）计算； （2）计算． 7．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 8．（25-26高一下·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 9．（25-26高一上·山东菏泽·月考）化简或计算： (1) (2) 10．（25-26高一上·江西南昌·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 题型五 利用换底公式的化简 【例题精讲】 1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一下·湖北十堰·月考）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 （多选）9．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）下列运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． （多选）10．（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 课时精练 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 3．（25-26高二下·湖南永州·期中）若为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 5．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南·月考）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 7．（2026·云南红河·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2026·陕西商洛·二模）已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． （多选）10．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． （多选）11．（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 13．（25-26高一下·湖北·期中）计算：的结果为_______. 14．（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 四、解答题 15．（2026高三·全国·专题练习）求的值． 16．（25-26高一下·江苏盐城·月考）计算： (1). (2). 17．（25-26高一上·广东汕头·期末）计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤) (1) (2) 18．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）求下列各式的值： (1). (2)已知，求的值. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. $ 4.3 对数 题型一 对数的概念与求值 1． 【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 题型二 指数与对数的互化 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】B 题型三 对数性质的应用 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】A 10．【答案】D 题型四 对数的化简与运算 1．【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算法则运算即可. 【详解】（1）由题意得． （2）由题意得． （3）方法一：． 方法二：． 2．【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 3．【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） . 4．【答案】(1)； (2)； (3)4； (4)． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式=． 5．【答案】(1)70；(2) 【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值． （2）利用对数运算公式化简. 【详解】（1） ； （2） 6．【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则求解； （2）根据对数运算法则求解. 【详解】（1） ； （2）． 7．【答案】(1)4 (2)16 (3)． 【分析】（1）应用基本不等式计算乘积的最小值； （2）应用常值代换应用基本不等式计算求解； （3）先应用指对数转化，再应用对数运算律计算求值. 【详解】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4． （2），当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得． 8．【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 9．【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用指数幂的运算性质进行求解即可； （2）运用对数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 10．【答案】（1）7（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可； （2）利用对数的运算法则和换底公式计算即得. 【详解】（1）由，可得， 故； （2）原式． 题型五 利用换底公式的化简 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】BCD 9．【答案】ABD 10．【答案】AB 课时精练 ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】ABC 10．【答案】AB 11．【答案】BCD 12．【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 13．【答案】 【详解】依题意，. 14．【答案】 【详解】，，， ，， ，，，， ，. 15．【答案】 【分析】方法一：统一换底数；方法二：常用对数换底. 【详解】（方法一）； （方法二）． 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 17．【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式= （2）原式 18．【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则根据即可求解； （2）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【详解】（1） . （2）因为，则， 即， 则， 即， 所以. 19．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. $ 4.3 对数 题型一 对数的概念与求值 3 题型二 指数与对数的互化 4 题型三 对数性质的应用 7 题型四 对数的化简与运算 10 题型五 利用换底公式的化简 15 课时精练 19 【基础回顾】 ( 1 / 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1：对数的概念 一般地，如果 ，那么数 叫作以 为底 的对数，记作 . 其中 叫作对数的底数， 叫作真数。 当 ，且 时， . 知识点 2：两个重要对数 （1）常用对数：以 10 为底的对数叫作常用对数，并把 记为 . （2）自然对数：以 是无理数， 为底的对数叫作自然对数，并把 记作 . 知识点 3：对数的基本性质 注意： 在对数 中规定 且 的原因 （1）若 ，则 为某些数值时， 不存在，如式子 没有实数解，所以 不存在。 因此规定 不能小于 0 . （2）当 且 时， 不存在；当 ， 时， 有无数个值， 不能确定。 因此规定 . （3）当 且 时， 不存在；而当 ， 时， 可以为任何实数，不能确定。 因此规定 . （4）当 ，且 时，由 ，知当 与 确定之后， 唯一确定。 因此规定 ，且 . 知识点 4：对数的运算性质 如果 ，且 那么有以下公式： (1) ; (2) ; (3) . 知识点 5：对数的换底公式 (1) ; （其中， ，且 ，且 ) （2）转换成自然对数或常用对数 . 知识点 6：换底公式的常用推论 (1) ; (2) ; (3) 或 ; (4) . 对于上述结论， 都可采用换底公式证出， 以（4）为例， 证明如下： 【练题型】 题型一 对数的概念与求值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为 所以，. 3．（25-26高一上·江苏·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B 4．（2025·天津·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数相等，指数相等及对数的概念即可判断. 【详解】若，则，所以， 反之，若，则，当时，没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 题型二 指数与对数的互化 【例题精讲】 1．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式与指数的互化可得出的值. 【详解】由可得，故. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 6．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 7．（25-26高三上·天津·月考）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 8．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据指对数互化的方法，可得，根据指数函数的单调性，结合特殊值，分析即可得答案. 【详解】令，得， 由在R上单调递增，则可通过比较与3的大小来确定x的范围， 由，则，所以， 由，则， 又，所以，则， 所以，所以，则小数点后第一位数字是5. 故选：B 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以 ， 又，，则，所以. 故选：C 10．（25-26高三上·山东菏泽·期末）实数满足，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用其单调性，将两个已知方程转化为函数值相等的形式，从而找到与的关系. 【详解】设函数，该函数在上单调递增. ，即. ，化简得，即. 令，则，代入上式得，即. 因为，且单调递增，所以，因此. 将代入，可得：. 故选：B 题型三 对数性质的应用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·云南昆明·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， ． 2．（2026·河北保定·二模）生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7， 所以有 . 3．（25-26高一下·浙江·期中）已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【详解】由得， ， 所以. 4．（2026·江苏·模拟预测）一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来.当然，涉及的全体数都是整数.某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案.事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）. 11 12 13 14 15 16 17 18 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.20 1.23 1.26 那么，观众准备的题目的正确答案为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意可得，即可求出，根据表即可求出. 【详解】设正整数的31次方是一个35位数， 则，可得， 即，对照表格可知只有时符合该范围，故. 5．（2026·四川内江·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．（25-26高一下·江苏盐城·月考）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 8．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【详解】因为函数，且， 所以，即得 则. 9．（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 10．（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 题型四 对数的化简与运算 利用对数运算法则解决相关问题的思路： （1）利用对数运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；② 正用公式： 将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则化为对数的和、差、积、商再化简； ③逆用公式： 将式中对数的和、差、积、商运用对数运算法则化为真数的积、商、幂、方根， 然后化简求值。 (2）一些常见结论，如 等。 【例题精讲】 1．（2026高三·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算法则运算即可. 【详解】（1）由题意得． （2）由题意得． （3）方法一：． 方法二：． 2．（25-26高一下·新疆和田·月考）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据对数的运算公式计算化简即可； （2）根据指数幂的运算公式计算化简即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）由题意得 ． 3．（25-26高一上·广东揭阳·月考）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） . 4．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 【答案】(1)； (2)； (3)4； (4)． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式=． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1） （2） 【答案】(1)70；(2) 【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值． （2）利用对数运算公式化简. 【详解】（1） ； （2） 6．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据分数指数幂运算法则求解； （2）根据对数运算法则求解. 【详解】（1） ； （2）． 7．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知正实数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的值. 【答案】(1)4 (2)16 (3)． 【分析】（1）应用基本不等式计算乘积的最小值； （2）应用常值代换应用基本不等式计算求解； （3）先应用指对数转化，再应用对数运算律计算求值. 【详解】（1），即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为4． （2），当且仅当，时，等号成立，故的最小值为16． （3）因为，所以． 因为，所以，即， 解得． 8．（25-26高一下·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 9．（25-26高一上·山东菏泽·月考）化简或计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用指数幂的运算性质进行求解即可； （2）运用对数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 10．（25-26高一上·江西南昌·期末）（1）已知，求的值； （2）计算：． 【答案】（1）7（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算结合完全平方公式计算即可； （2）利用对数的运算法则和换底公式计算即得. 【详解】（1）由，可得， 故； （2）原式． 题型五 利用换底公式的化简 【例题精讲】 1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 2．（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知当时，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换底公式可求，再由，可得，求得，，即可求解. 【详解】因为，所以或. 因为，所以，所以，即 ①. 所以，所以 ②. 由①②得：，. 所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、运算法则和基本不等式可得，利用指对互化即可得解. 【详解】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为 ， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D 5．（25-26高一上·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解． 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 6．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 7．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式以及对数的运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：C. （多选）8．（25-26高一下·湖北十堰·月考）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】A，，故A错误； B，，故B正确； C，，故C正确； D，，所以，故D正确. （多选）9．（25-26高一下·广东揭阳·开学考试）下列运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】AB 【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D错误. 故选：AB. 课时精练 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 2．（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】由题知，，则定义域为， 所以， ，经检验满足题意， 又， 所以． 3．（25-26高二下·湖南永州·期中）若为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于为奇函数，故. 4．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义在R上且周期为3的奇函数， 所以. 5．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 6．（25-26高一下·河南·月考）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 7．（2026·云南红河·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 由得， 因为实数，为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 此时的最小值为6. 8．（2026·陕西商洛·二模）已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】C 【详解】， 由基本不等式得，，即， 又因为恒成立，所以， 故即， 所以． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. （多选）10．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，由可得（又，等号不成立），所以，故B正确； 对于选项C，由，由，可得，所以，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D错误. （多选）11．（25-26高一上·山东枣庄·期末）（多选）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则以及换底公式逐项分析即可.. 【详解】由，故A选项不正确； 由，则 ，故B选项正确； 由， 故C选项正确； 选项 ，故D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 13．（25-26高一下·湖北·期中）计算：的结果为_______. 【答案】 【详解】依题意，. 14．（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【答案】 【详解】，，， ，， ，，，， ，. 四、解答题 15．（2026高三·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【分析】方法一：统一换底数；方法二：常用对数换底. 【详解】（方法一）； （方法二）． 16．（25-26高一下·江苏盐城·月考）计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 17．（25-26高一上·广东汕头·期末）计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤) (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式= （2）原式 18．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）求下列各式的值： (1). (2)已知，求的值. 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则根据即可求解； （2）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【详解】（1） . （2）因为，则， 即， 则， 即， 所以. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题设，，； （2）由题设，且，故， 所以，可得或（舍），故. $