2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册 第七章 7.3 7.3.1　离散型随机变量的均值

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过掷硬币、商业获利等实例导入，结合定义、性质及分布列构建知识支架，衔接概率分布与实际应用，帮助学生逐步理解均值的概念与计算。 其亮点在于以“猜猪”“电器促销”等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过“确定取值 - 计算概率 - 列分布列 - 求均值”四步培养数学思维，用分布列和公式表达数量关系发展数学语言。方法总结与当堂即练结合，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 [目标导航] 课标要求 1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值的概念 2.能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 离散型随机变量的均值 (1)定义:若离散型随机变量X的分布列为 x1p1+x2p2+…+xnpn X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)意义:它反映了随机变量取值的 . (3)性质:若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aX+b)= . 平均水平 aE(X)+b 小试身手 1.投掷一枚质地均匀的硬币,规定正面向上得 1分,反面向上得-1分,则X的期望E(X)=　　　.  0 2.在一次商业活动中,某人获利300元的概率为0.6,亏损100元的概率为0.4,此人在这样的一次商业活动中获利的均值是　　　　　　　.  140 解析:设此人获利为随机变量X,则X的取值是300,-100. 其概率分布列为 X 300 -100 P 0.6 0.4 所以E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140. 课堂探究·素养培育 求离散型随机变量的均值 所以X的分布列为 求期望的关键是写出分布列,一般分四步 (1)确定X可能的取值. (2)计算出P(X=k). (3)写出分布列. (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ). 所以ξ的分布列为 均值问题的实际应用 [例2] 国庆期间,某电器商场为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种,方案一:消费每满 8 000元,可减 800元.方案二:消费金额超过8 000元(含 8 000 元),可抽取小球三次,其规则是依次从装有 2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子,装有 2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子,装有 1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球(这些小球除颜色外完全相同),其优惠情况为:若抽出3个红色小球则打六折;若抽出2个红色小球则打七折;若抽出1个红色小球则打八折;若没有抽出红色小球则不打折. (1)若有两名顾客恰好消费8 000元,他们都选中第二方案,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率; (2)若你家人在该商场消费了1万元,请用所学知识帮助你家人分析一下应选择哪种付款方案. 故X的分布列为 利用均值解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据均值的定义、公式求出相应的均值. (4)依据均值的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释. 即时训练2-1:某地拟在该地一水库上建造一座水电站,用泄流水量发电,下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量K(单位:万立方 米)的频率分布直方图(不完整),已知X∈[0,120],历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156,一年按364天计. (1)请把频率分布直方图补充完整. (2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行,但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机,如60≤X<90时才够运行两台发电机,若运行一台发电机,每天可获利润为4 000元;若不运行,则该台发电机每天亏损500元.以各段的频率作为相应段的概率,以水电站日利润的期望值为决策依据,问:为使水电站日利润的期望值最大,则该水电站应安装多少台发电机? ①若安装一台发电机,则Y的所有可能取值为-500,4 000,其分布列为 ②若安装两台发电机,则Y的所有可能取值为-1 000,3 500,8 000,其分布列为 ③若安装三台发电机,则Y的所有可能取值为-1 500,3 000,7 500,12 000,其分布列为 当堂即练·素养达成 当堂即练 1.已知ξ的分布列为 D 2.口袋中有编号分别为1,2,3的3个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为(　 　) D 则a=　　　　,b=　　　　.  课堂小结 1.对于离散型随机变量的均值,要理解随机变量的均值E(ξ)是一个数值,是随机变量ξ本身所固有的一个数学特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 2.求随机变量的期望关键是写出分布列,一般分为四步:(1)确定ξ的可能取值; (2)计算出P(ξ=k); (3)写出分布列; (4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ). 3.随机变量ξ的线性函数η=aξ+b(其中a,b是常数)的期望等于该随机变量的期望的线性函数,即E(η)=aE(ξ)+b. 感谢观看 则称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望. 3.对某个数学题,甲解出的概率为,乙解出的概率为,两人独立解题.记X为解出该题的人数,则E(X)=　　　　.  解析:P(X=0)=×=,P(X=1)=×+×=,P(X=2)=×=,E(X)==. [例1] 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,要是三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该猜题环节中所得分数的分布列与均值. 解:根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”,则X的可能取值为-4,1,3,6. 所以P(X=-4)=(1-)×(1-)×(1-)=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=3)=××+××+××=, P(X=6)=××==. X -4 1 3 6 P 所以E(X)=(-4)×+1×+3×+6×=. 即时训练1-1:某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时. 解:(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元,40元,80元. 两人都付0元的概率为P1=×=, 两人都付40元的概率为P2=×=, 两人都付80元的概率为P3=(1--)×(1--)=×=, 则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=. 解: (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ,则ξ的可能取值为0,40,80,120,160,则 P(ξ=0)=×=, P(ξ=40)=×+×=, P(ξ=80)=×+×+×=, P(ξ=120)=×+×=,P(ξ=160)=×=. ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80. 解:(1)根据题意得要使方案二比方案一优惠,则需要抽出至少一个红球, 设“没有抽出红色小球”为事件A, 则P(A)=××=,所以所求概率P=1-P(A)P(A)=1-()2=. 解: (2)若选择方案一,则需付款10 000-800=9 200(元); 若选择方案二,设付款金额为X元,则X可取6 000,7 000,8 000,10 000, P(X=6 000)=××=,P(X=7 000)=××+××+××=, P(X=8 000)=××+××+××=,P(X=10 000)=, X 6 000 7 000 8 000 10 000 P 所以E(X)=6 000×+7 000×+8 000×+10 000×=7 937.5(元), 因为9 200>7 937.5, 所以选择方案二更划算. 解:(1)在区间[30,60)的频率为=, ==. 设在区间[0,30)上,=a, 则(a+++)×30=1,解得a=. 补充完整的频率分布直方图如图所示. 解:(2)记水电站日利润为Y元.由(1)知,无法运行发电机的概率为,恰好运行一台发电机的概率为,恰好运行两台发电机的概率为,恰好运行三台发电机的概率为. Y -500 4 000 P E(Y)=-500×+4 000×=, Y -1 000 3 500 8 000 P E(Y)=-1 000×+3 500×+8 000×=, Y -1 500 3 000 7 500 12 000 P E(Y)=-1 500×+3 000×+7 500×+12 000×=.因为>>. 所以要使水电站日利润的期望值最大,该水电站应安装三台发电机. ξ -1 0 1 2 P 则ξ的均值为(　 　) A.0 B.-1 C. D. 解析:E(ξ)=-1×+0×+1×+2×=. 解析:X的可能取值为2,3,所以P(X=2)==,P(X=3)==. 所以E(X)=2×+3×=. A. B. C.2 D. 3.已知某离散型随机变量X的均值E(X)=,X的分布列如下表 X 0 1 2 3 P a b 解析:依题意 解得 $