2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册 第六章 6.2 6.2.3—6.2.4　第2课时　组合的应用

该高中数学课件聚焦组合的应用，通过“小试身手”中医疗小组组建等实例导入，结合新知梳理的排列组合公式及性质，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是以现实问题为载体，如运动员选派、工人分工等实例引导学生用数学眼光发现数量关系，通过直接法、间接法等培养数学思维，用组合公式表达分配方案提升数学语言能力。即时训练和素养演练助力学生实践，为教师提供系统教学流程和方法指导。

第2课时　组合的应用 [目标导航] 课标要求 通过实例掌握常见的组合问题,掌握解决组合问题常用的方法和技巧 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 小试身手 1.现有6名内科医生和4名外科医生,要组成5人医疗小组送医下乡,要求既有内科医生,又有外科医生,则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)  246 3.将4本完全相同的小说和1本诗集全部分给4名同学,每名同学至少得到1本书,则不同的分法有　　　　种.  3或7 16 4.在一次医疗救助活动中,需要从甲医院的6名内科医生、4名外科医生中分别抽调3名内科医生、2名外科医生,且内科医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派方案共有　　　　种.(用数字作答)  60 课堂探究·素养培育 [例1] 男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; 有限制条件的组合问题 (2)队长中至少有1人参加; (3)既要有队长,又要有女运动员. 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法(即先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不满足条件的选法)的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此. 即时训练1-1:某工厂对35件产品进行抽样检查,已知其中有15件次品.现从35件产品中选取3件. (1)其中某1件次品必须在内,不同的取法有多少种? (2)恰有2件次品在内,不同的取法有多少种? (3)至多有2件次品在内,不同的取法有多少种? 组合中的多面手问题 [例2] 车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名既能做钳工又能做车工,从中选出4名钳工和4名车工,问有多少种不同的选法? 分类问题找准标准是关键,对于多面手问题,在弄清楚多面手的人数后,只需按照多面手参加其中某项活动的人数来分类,剩余多面手在另一种活动中待选,这样可以做到不重不漏. 即时训练2-1:有12名外语翻译人员,其中 8名会翻译英语,6名会翻译韩语,从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译韩语,这两个小组能同时工作,问这样的分配名单共可开出多少种? 排列组合的综合应用 [例3] (1)从1,2,3,4,5,6,7这7个数字中任取2个奇数和2个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为(　　) A.432 B.288 C.216 D.108 C (2)有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是(　　) A.24 B.48 C.72 D.96 B (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点: ①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题. ②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步.这是处理排列、组合综合问题的一般方法. 即时训练3-1:(1)6名学生到甲、乙、丙、丁4个值勤岗亭做志愿者,每名学生只去 1个值勤岗亭,且每个值勤岗亭均有志愿者值勤.若甲值勤岗亭安排3名志愿者,则不同的安排方法共有(　　) A.60种 B.96种 C.120种 D.240种 C (2)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A,B,C三个场馆参加活动,要求每个场馆都有人去,且这四人都在这三个场馆,则甲和乙都没被安排去C馆的种数为(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 B 分组分配问题 一、非均匀分组 所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组. 例如7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法? (1)分成三组,分别为1人,2人,4人; (2)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人. 二、均匀分组 所谓“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组. 1.全部均匀分组 例如从7个参加义务劳动的人中,选出 6个人,分成两组,每组都是3人,有多少种不同的分法? 分析:记7个人为a,b,c,d,e,f,g,写出一些组来考查. 选3人 再选3人 分组方法种数 abc def def abc 这两种只能算一种分法 abc deg deg abc 这两种只能算一种分法 … … … 2.部分均匀分组 例如将10个不同的零件分成四堆,每堆分别有2个、2个、2个、4个,有多少种不同的分法? 分析:记10个零件为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,写出一些组来考查. [典例] 某学校派出5名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有(　　) A.80种 B.90种 C.120种 D.150种 D 素养演练:某运动会期间,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任A、B和C三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排1人,每人只能安排到1个项目,则所有排法的总数为(　　) A.60 B.120 C.150 D.240 C 当堂即练·素养达成 当堂即练 D 1.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某比赛,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有(　 　) A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有(　 　) A.252种 B.112种 C.20种 D.56种 B 3.平面内有四个红点,六个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任意三点不共线,过这十个点中的任意两点所确定的直线中,至少过一个红点的直线的条数是(　 　) A.30 B.29 C.28 D.27 B 4.甲、乙、丙3个公司承包5项不同工程,甲、乙公司均承包2项,丙公司承包1项,则共有　　　　种承包方式.  30 课堂小结 1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数. 2.区分一个问题属于排列问题还是组合问题,关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合. 感谢观看 + 1.排列数公式(用阶乘表示):= ;组合数公式:= . 2.全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列. 在排列数公式中,当m=n时,即有=n(n-1)·(n-2)·…·3·2·1,称为n的阶乘. 3.组合数的性质:(1)= ; (2)= . 解析:法一　既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生分别选1人,2人,3人,4人,相应地,外科医生分别选4人,3人,2人,1人,有+++=246种选派方法. 法二　若从反面考虑,则有-=246种选派方法. 2.已知=,则k=　　　　　　.  解析:内科医生中唯一的主任医师必须参加,则从剩余5名内科医生中选2名,从4名外科医生中选2名,共有=10×6=60(种)不同的选派方案. 解:(1)分两步完成: 第1步,选3名男运动员,有种选法; 第2步,选2名女运动员,有种选法. 由分步乘法计数原理可得,共有·=120种选法. 解: (2)法一(直接法)　可分类求解: “只有男队长”的选法种数为; “只有女队长”的选法种数为; “男、女队长都入选”的选法种数为, 所以共有2+=196种选法. 法二(间接法)　从10人中任选5人有种选法, 其中不选队长的方法有种.所以至少有1名队长参加的选法有-= 196种. 解: (3)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有种选法,其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有(-)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有+- =191种. 解:(1)从余下的34件产品中,选取2件有=561种取法,所以某1件次品必须在内的不同取法有561种. 解: (2)从20件正品中选取1件,从15件次品中选取2件有=2 100种取法.所以恰有2件次品在内的不同的取法有 2 100 种. 解: (3)选取3件的取法总数为,选取3件次品的取法有种,因此共有选取方式-=6 545-455=6 090(种). 所以至多有2件次品在内的不同的取法有6 090 种. 解:法一　以“既能做钳工又能做车工”的 2人(记为A,B)来考虑分类,A,B都不在内,有=5种选法;A,B都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一个做钳工一个做车工”三类,共有++=120种选法;A,B仅有一人在内,又有“做钳工”和“做车工”两种选择,此时有+=60种选法.由分类加法计数原理,共有5+120+60=185(种)不同的选法. 法二　　从“只会钳工”的5人入选情况来考虑, 5人中选4人,有=75种选法; 5人中选3人,有=100种选法; 5人中选2人,有=10种选法. 所以共有75+100+10=185(种)不同的选法. 解:依题意,这12人中既会英语又会韩语的有 2人,可以按“既会翻译英语又会翻译韩语”的人的参与情况进行分类. 第一类,既会翻译英语又会翻译韩语的两位都不参加, 这时分配名单有=15种; 第二类,既会翻译英语又会翻译韩语的两位中有一人入选,这时又有该人参加英语和韩语翻译两种可能,因此分配名单有+=160种; 第三类,既会翻译英语又会翻译韩语的两位均入选,这时又分三种情况:两人 都翻译英语、两人都翻译韩语、两人各翻译一种语种,因此分配名单有++=265种. 综上,共可开出15+160+265=440(种)分配名单. 解析: (1)因为奇数有4个,偶数有3个,所以要想从取出的4个数字中组成没有重复数字的四位数且是奇数,个位数字必须是奇数,因而这样的奇数有=216个.故选C. 解析: (2)根据题意可先摆放2本语文书,当1本物理书在2本语文书之间时,只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可,此时共有种摆放方法;当1本物理书放在2本语文书一侧时,共有种不同的摆放方法,由分类加法计数原理可得,共有+=48种摆放方法.故选B. 解析:(1)依题意,完成安排方法这件事需要两步:先从6人中任取3人去甲值勤岗亭,有种方法, 再将余下3人分别安排到另外3个值勤岗亭,每个值勤岗亭1人,有种方法, 由分步乘法计数原理得=120种, 所以不同的安排方法共有120种.故选C. 解析: (2)因甲和乙都没去C馆, 若有两个人去C馆,则肯定是丙、丁,即甲、乙分别去A馆与B馆,有=2种; 若有一个人去C馆,从丙、丁中选,有=2种,然后剩下的一个人和甲、乙被安排去A馆与B馆, 有=6种,则共有2×6=12(种), 综上可得,甲和乙都没被安排去C馆的种数为12+2=14.故选B. 选2个 再选 2个 又选 2个 剩下 4个 分组方法数 ab ab cd cd ef ef cd ef ab ef ab cd ef cd ef ab cd ab ghij ghij ghij ghij ghij ghij 这种只能算一种 … … … … … 解析:分两类:一类,第一步将5名教师按2,2,1分成 3组,其分法有(种),第二步将分好的3组分派到 3所学校,则有·=90种分派方法; 另一类,第一步将5名教师按3,1,1分成3组,其分法有种,第二步将分好的3组分派到3所学校,则有·=60种分派方法. 所以不同的分派方法有90+60=150(种).故选D. (1)对于整体均分问题,往往是先分组再排列.在解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数. (2)对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!. (3)对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题. 解析:当分组为1人,1人,3人时, 有·=10×6=60(种), 当分组为1人,2人,2人时, 有·=90种, 所以共有60+90=150(种)排法.故选C. 解析:从7人中选4人,共有=35种选法,4人全是男生的选法有=1种.故 4人中既有男生又有女生的选法共有35-1=34(种).故选D. 解析:每个宿舍至少2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2人,3人,4人,5人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以有+++=112种分配方案. 解析:过一个红点有-1=23条直线;过两个红点有=6条直线,所以共有23+6=29(条)直线,故选B. 解析:依题意,计算承包方式的种数需要3步:先从5项工程中任取2项给甲,有种方法, 再从余下3项工程中任取2项给乙,有种方法,然后将最后1项工程给丙,有 1种方法,由分步乘法计数原理得,××1=10×3=30, 所以共有30种承包方式. $