广西壮族自治区南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

南宁三中2025~2026学年度下学期高二期考 数学试题 2026.7 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.类合M==} V={x2-2x-3≤0以，则MnN=() A.(3,+o) B.3,+m) c.[0,3] D.(0,3 2.已知随机事件A与B满足P(A)-}P(B)-子且P4U)-3则P(lA=（) B c.4 D. 3.已知随机变量x服从=项分布B(p),财p-子是方差D(X)-=Gn的() 16 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2+m(为常数)，则f(-2)=() A.4 B.7 C.-7 D.8 5.若函数f(x)=(a-2)(e+e)+x+b有奇数个零点，则4a2+b2的最小值是() A.6 B.8 C.16 D.18 6.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个 节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有()种： A.216 B.360 C.432 D.672 7.若直线I同时是曲线f(x)=ae(a>1)和曲线g(x)=e+a的切线，则l斜率的最小值为() A.1 B.e C.e2 D.2e 8.已知函数f(x)=3 14:+L*5 3 ,若f(x)=m有四个零点出，为，5，七4，且满足￥<光<<4， 1og2,>0 则-为3+4+m的取值范围是() A.(-4,-2] c.[-2-1) 高二期考数学试题第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有() A.一组数据1,2,3,4,5,6,7,8的第30百分位数为3 B.若随机变量X~B4, 则E(X)=2 C.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件 D.若事件A,B满足P(AB)=P(AB),则事件A,B相互独立 10.已知x+3 的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是() A.n=7 B.展开式中存在常数项 C.展开式的所有项的系数和为128 D.27-6能被7整除 11.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且g(2-x)+f(x)=1,g(x)-f(x-1)=-1,若y=f(x)的 图象关于直线x=1对称，则() A.f(2026-x)+f(x-2025)=2 .③+（③)-1 C.g(x)是奇函数 D.三/0例=2026 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为 13.己知函数f(x)=d-ax,若f(x)>0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为 14.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每 次抽取后不放回，记X为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则X的数学期望E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题 17分，第19题17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2a-c)c0sB=bc0sC. (I)求角B的大小： (2)若a=2,c=3,点D在边AC上，且BD平分∠ABC,求BD的长. 高二期考数学试题第2页共4页 16.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育 锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表， 年龄 [20,30) 次数 [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 33 22 22 23 每周3~4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 (1)若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值=0.01的独立性检验 判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联： (2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽 取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分别为X,Y,5=X-Y, 求的分布列与期望； 参考公式：X= n(ad-be) n =a +b +c +d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 附： 9 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二期考数学试题第3页共4页 17.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，PA=1,AB=2,PB=√5， 平面PAB⊥底面ABCD,直线PC与底面ABCD所成的角为30°. (1)证明：平面PAD⊥平面PAC: (2)求二面角B-PC-D的余弦值. 18.已知椭圆r:+上=1的左、右顶点分别为4,4，上、下顶点分别为B,B,记四边形AB4,B,的 12 4 内切圆为C,P为T上任意一点，过P作C的两条切线分别交T于M,N两点. (1)求C的标准方程； (2)求证：OP⊥OM; (3)求MP+NP最小值. 19.已知函数f(x)=lnx-x+1. (1)求f(x)的极值： (2)若f(x)+c≤xnx+I恒成立，求实数k的取值范围： (3)当a21时，讨论g(x)=f(e)+axcosx在区间-元，)上零点的个数. 高二期考数学试题第4页共4页 南宁三中2025~2026学年度下学期高二期考 数学试题参考答案 题号 2 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B B C ABD AD ABD 1.D【详解】由题意可得M= (0,+0),解x2-2x-3≤0，得(x-3)(x+1)≤0，则-1≤x≤3， 故N={xx2-2x-3≤0}=[-1,3]，故M⌒N=(0,3]. 2.C根据公式PAUB)=P(4+P(B)-P(AB),即}+P(AB),解得P(B)=2所以 234 a小智 4 3,A【详解】若随机交强X服从二项分布8小，且P子则DX)=-),若流肌变 量x服从二项分布B红p小，且D(x话，则m0-P),解得p或2-子所以P 3 1 是~方若D()=的充分不必要条作 4.C【详解】由己知得f(0)=0,则m=-1,所以当x≥0时，f(x)=x2+2x-1,所以f(2)=7,故 f(-2)=-f(2)=-7. 5.B【详解】f(x)=(a-2)(e+e)+x+b=(a-2)(e*+e)++b=f(x),又f(x)定义域为R, 则函数f(x)为偶函数，由函数f(x)有奇数个零点，则f(0)=2(a-2)+b=0,即2a+b=4,所以 4r+6≥2a+b_168,当且仅当2a=b,即a=1,=2时等号成立，即4d+公的最小值是8 2 2 6.C【详解】步骤1：先排4个歌舞节目：A4=24,排好后会产生5个空位（包括两端）：步骤2： 将2个机器人节目插入空位：A=20;步骤3：排除“前3个节目全是歌舞的情况：先从4个歌 舞节目中选3个排在前3个位置，有A=24种方法，剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后 3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有A?=2种方法.故不满足 高二期考数学答案第1页共10页 条件的情况有A·A2=48.故总数为：24×20-48=432 7.B【详解】设直线l与f(x)=ae(a>l)切于(5，ae),与g(r)=e+a切于(，e+a).求导得 f'(x)=a,g'(x)=e，因此公切线斜率k=ae=e,整理得e-=a→x2-x=lna①.f(x)的 切线方程为y=x+k1-x1);8(x)的切线方程为y=+kQ-x2)+a.同一直线截距相等，消去同类 项得(5-)=a②，将@代入②，得k关于a的函数k=a>)对@求导得k(a)=血a, (Ina)2 令k'(a=0,得na=1三a=e,当1<a<e时，K'(a)<0,k(a)单调递减；当a>e时，k'(d>0, e二e. (a单调递增.因此a=e时k(@取最小值，即kain Ine yf(x) 8.C【详解】作出函数f(x)的图象，如图：因为∫(x)=m有四个零 y-m 八-2-1 点，所以0<m≤1，因为考<1<x4,1og2x=1og2x4,所以 X1-3 X2OX3 X4 -l0g253=10g2x4,即1og2%3+log2x4=0,所以53·4=1，则5-为3+3x4+m=-x2+1+m,因为x1,x3 是方程)-加的根。即式+专+1-=0的根，所以天+6=4专=33m,又<5，所 3 以5-5=-√(x+5)-4x5=-V(-4)-4(3-3m)=-2W1+3,令y=-x3+1+,则 y=-2+3m+1+孤，m∈(0,1，令t=+3m,t∈，2]，则m=F,所以 3 =-a1+兮-3妒e2]因为-了在0习上单调道减所以v[2-0. 即x-5+x4+的取值范围是[-2，-1). 9.ABD【详解】对于选项A,可知8×30%=2.4，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3， 所以A正确：对于选项B,由二项分布可知E(X)=4×】=2,所以B正确：对于选项C,由 P(A)+P(B)=1无法得出P(AB)=0,所以无法判定A与B是否是对立事件，所以C错误；对于选 D,知r4BPa5PWP容1）P2-P14 1-P(B) P(B) 1-P(B) ,化 简得P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B相互独立，所以D正确： 高二期考数学答案第2页共10页 10.AD【详解】由题意得，c:=n2-少-21，得n=7,负值舍去，故A正确：通项为 2 TH=C7x- =2Cx-2”,r=0,1,7,因为7-2r≠0，所以展开式中不存在常数项，故B错误： 令x=1,则展开式的所有项的系数和为(1+2)'=2187，故C错误： 27-6=(4×7-1)-6=C9(4×7)-C1(4×7)°+…+C(4×7}-C7-6 =C(4×7)}'-C(4×7)°++C(4×7)}-7,故27-6能被7整除，故D正确. g(2-x)+f(x)=1 11.ABD【详解】由y=f(x)关于x=1对称，得f(2-x)=f(x),已知 8(f(x-1)=-1'将第二 个式子换元x→2-x,代入化简得f(x)+f(1-x)=2,因为f(2-x)=f(x),则 f(2-x)+f(1-x)=2,将1-x用x替换，可得f(x+1)+f(x)=2,将x用x+1替换，得 f(x+2)+f(x+1)=2,即f(x+2)=2-f(x+1)=2-[2-f(x)】=f(x),故f(x)周期为T=2.又 因为f(2-x)=f(x),则f(-x)=f(2-x)=f(x),即f(x)是偶函数.由g(x)=f(x-1)-1和 f(x-1)=2-f(c),得g(x)=1-f(),且g(-)=1-f(-x)=1-f(c)=g(x),故g(x)是偶函数 选项A,f(2026-x)=f(-x+2×1013)=f(-x)=f(x),f(x-2025)=f(x-1-2×1012)=f(x-1), 由f(x)+f(x-1)=2,得f(2026-x)+f(x-2025)=2,A正确：选项B,对任意x, )+g)=〔)+0-J)-山，故/)[)1，B正确：选项C,推号得g(-)-g, g(x)是偶函数不是奇函数，C错误；选项D,求和分组方式为f(I)+f(2)为一组，f(3)+f(4)为 下一组，以此类推，直至f(2025)+f(2026),每组和为2，共1013组，总和为1013×2=2026，即 f()=2026,D正确 2026 12.y=x+1 In2 In3 13. 2,3 【详解】令gx)血叫，当0<<I时，nr<0,因此g问=血 ,求导可得 g(y)=血x<0,则g(田)在(0,1上单调递减，值域为(0，+∞），但区间(0,1)内不存在正整数，不会 x2 高二期考数学答案第3页共10页 有整数解：当x21时，血20，此时)=，则8)=V，当1≤x<c时，g(y)>0 即g(x)在1，e)上单调递增；当x>e时，g'(x)<0,即g(x)在(e,+o)上单调递减：此时g(x)在x=e 处取得极大值，也是最大值，为8(e)。则函数g(y在，+)上的图象如下图所示：若f(x)>0 有且只有一个整数解，即不等式a”x儿-四) 、只有一个整数解，又易知3>2，即n32>n2，可得33>2， 结合图象可知不等式的整数解一定为3，又因为血3、n2_血4， 3>2=4' 2 因此可得a∈ In 2 In 3 2’3 14. 【详解】由题可得：X可能取值为：23,4,5，X=2:表示前两次都抽到红色， 64 PX=2)=A-21 :305X=3:表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球， P(X=3)=4×2x2_16_2 A12015,X=4:表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次 抽的全是白色Px==C×2×A经A1 324 A A 2015,X=5:表示前四次都抽到一红三白，第五次 抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球，则 P(X=5)=Cix2xA1 Cix2xA38 A话 A 4+5× 25+3×名t4 7205所以(X)=2x 8.64 15 151515 15.【详解】(1)将(2a-c)cosB=bc0sC展开，得2 acosB=ccosB+bcosC, 即2si4cosB=sinCcosB+n=sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0，则cosB=) 又因为B∈(0，m),所以B=60°； B (2)设BD=x, 3 因为B=60°，BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=30°， 又因为SABc=SAo+Sc0, 32.51 2 3x2x月 22 22 解得x=2,故BD-3 5 高二期考数学答案第4页共10页 16.【详解】(1)零假设H,:体育锻炼频率的高低与年龄无关 由题得2×2列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 x2= 200×(55×65-45×35 ≈8.081>6.635， 100×100×90×110 根据小概率值=0.01的独立性检验推断H,不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. (2)由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30,40)，[50,60]内的人数分别为1,2， 依题意，5的所有可能取值为0,1,2， 所以P(G=o)=ccC,ccC20 P(e-1)-ccci cec ccc C56' P(5=2)=9CC5 C 56, 所以5的分布列： 5 0 1 2 20 5 站 所以5的数学期望为B(G)=0x20+1x3引+2x3-4 56T156 5656 高二期考数学答案第5页共10页 17.(1)证明如下：因为PA=1,AB=2,PB=√5，所以PA2+AB2=PB2,则PA⊥AB. 又因为平面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PA⊥平面ABCD 而ACC平面ABCD,所以PA⊥AC.于是∠PCA即为PC与底面ABCD所成的角，即∠PCA=30°. 因为PA=1,所以AC=V3,PC=2,由∠ADC=60°，DC=AB=2,得 AC2=AD+DC2-2·AD.DC.cos60°，解得AD=1,从而AD+AC2=DC2,于是AD⊥AC, 因为ADOPA=A,且AD,PAC平面PAD,所以AC⊥平面PAD. 而ACc平面PAC,所以平面PAD⊥平面PAC.(2)由(1)知AC、AD、AP两两垂直，分别以AC、 AD、AP所在直线为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为P(0,0,1),C(V3,0,0),B(V3,-1,0),D0,10), 所以PC-（N3,0,1),PB=(V5,1,-1,PD=(01,-1), [元.PB=V3x-y-z=0 设平面PBC的一个法向量为元=(x,y,),则 npc=√3r-z=0 m·PD=b-c=0 故可设：n=(1,0,5).设平面PDC的一个法向量为m=(a,b,c),则 m.PC=√3a-c=01 故可设：m=(1,V5,V5).令二面角B-PC-D为日，由图可知8为钝角，则 杭.i c0S0= 同网列 动 7,所以二面角B-PC-D的余弦值为-2 7 18.【详解】1)由题意知：T:+少-1中，d=12,公=4， 2+4 故4(-25,0)，423,0)，B(0,2),B2(0,-2): 根据对称性可知，四边形ABA,B2为平行四边形，其内切圆圆心在原点， B2 直线4因：2污宁1，整理得：+-25=0： A2罗 -2W5 半径为r= =√3 B V-1)'+5 故圆C的标准方程为：x2+y=3 高二期考数学答案第6页共10页 (2)(方法一) ①P在顶点时，由(1)知OP⊥OM成立； B M ②P不在顶点时，设PM:x+y=1,因为PM与曲线C相切， 1 则 =5,即成+i- m2+记 x+y=1 联立x2 y =1 0124 即5+号=0m-w→0or3任+女12-10， 2 u:是该方程的两根，则k人L2m2 -=-1 12n2-312n2-3 即OP⊥OM. (方法二) ①PM的斜率不存在时，则P在直线x=±√3上， 当P在直线x=√5上时，P点坐标为(5，V),M(5,-5), 此时OP.OM=0,OP⊥OM; 根据对称性可知，PM的斜率不存在时，OP⊥OM恒成立； ②PM的斜率存在时，设PM:y=a+m，P(:,),M(s,为). v=kx+m 联立 +y=1即(3+)×+m+3m2-12=0 124 则x+X= 32+1:青书=3m12 6km 30+i,5=m-12k2 3k2+1 则Op.0M=x2+yy2= 4m2-12k2-12 3k2+1 又因为直线PM与曲线C相切，即5，解得：m-+3: √k2+1 代入上式得OP.OM=0,即OP⊥OM (3)由(2)知OP⊥OM,同理OP⊥ON,则M、ON三点共线，即MP=NP. 高二期考数学答案第7页共10页 ①P在顶点时，则MP+NP=2Wa2+b2=2x√12+4=8： 「y=x ②P不在顶点时，设OM:y=,联立+上=1' 124 可得：(3+1)r2-12=0,解得：X=,12 32+1y2= 12k2 3k2+1 则oM=2+y-12t12,同理：or- 12+12k2 3k2+1 1)2 3+k2 +1 则m-w-02wf+p-:e2 3+k2 ++39月 3k2+1 3+k2 =2W31+ 2+332+1 +1≥23√1+2+1=4W3 k2+13+k2 ≥4V3,当且仅当+-老，即=1时，等号成立. 综上：MP+NP的最小值为4√3. 高二期考数学答案第8页共10页 19.【详解】(1)由f=h-x+1,则f)=1-1==x,x∈(0，+o), 12 当x∈(0,1)时，f'(x)>0;当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单 调递减，所以∫(x)的极大值为∫(1)=0，无极小值： (2)f(x)=nx-x+1,此时f(x)+r≤xhx+l→lnx-x+kx≤xhx, 法一：分离参数法，从而x≤(x-1)血x+x→k≤1+n-血x, 令a()=1+hx-nx,则i(x)=11-血x-x+nx-1, x2 所以h(x)>0→x>1:(x)<0→0<x<1, 所以h(x)在(0,1)单调递减，在(1，+o)单调递增， 因此h(I)n=h()=1,故k的取值范围为(-oo,1]: 法二：必要性探路， x-lnx-1≥xc-xnx-1→(x-1)lnx+(1-k)x≥0， 令h(x)=(x-1)x+(1-k)x,h(1)=1-k20→k≤1， 下证：k≤1，x>0时，h(x)≥0恒成立， 由一次函数m(k)=(x-1)lnr+x-c在(-o,1上递减， 则m(k)≥m(1)→(x-1)lnx+x-c≥(x-1)nx, 在x∈(0,1)和x∈(1，+o)上(x-1)lnx>0恒成立，且x=1时(x-1)lnx=0, 所以h(x)≥0恒成立，故k的取值范围为(-∞，]； （3)g(四=-e+1cosx在区间-到上有3个零点 理由如下：由于g(0)=0,所以x=0是函数g(x)的一个零点， g'(x)=1-e*-a(xsinx-cosx), ①当c（经0时，此时ar<0恒成立，又x+1-。<0恒成立， 高二期考数学答案第9页共10页 从而g(x)<0恒成立，所以g(x)在区间x∈ 上没有零点： @当e0引听，此时g0-a0, 1-e2_ m(x)=g'(x)=1-e'-a(xsinx-cosx),m(x)=-e*+a(-2sinx-xcosx), 由于2simc+0sx>0恒成立，所以i()<0,即m()-g(y在（0习 上单调递减， 从而存在x,∈0，二 2 使得g(:)=0, 即g(y在区间Q)上递增，区间，习 上递减，从而g(:)>g(0)=0, s)0. 所以8()在受）有唯一零点，即在0到 上有唯一零点， 2 时，此时cosx-xsinx<0,a≥1， 所以a(cosr-sinr)≤cosx-sinx 从而g'(y=1-e+a(cos.x-xsin.x)≤l-e+(cosx-xsinx), x<simx,sinr<0,所以xsinx>sim2x, g'(x)=1-e*+a(cosx-xsinx)s1-e*+(cosx-xsinx) <1-e*-sin2x+cosx=-e*+(cos2 x+cosx), 又cosx+cosx=cosx·(C0sx+l)<0,从而g()<0在x∈ 上恒成立， 所以g(e在区间x(元习上单调递减。 因为引受+l-e0,8元1-e+m=a-1-e0, 因此g(在区间（元 上有唯一零点， 综上所述，函数g(x)在区间 -2 上有3个零点 高二期考数学答案第10页共10页