河北邯郸冀南新区凌云中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

**基本信息** 高一期末数学试卷，覆盖复数、向量、统计等知识，通过四棱锥证明、统计分析等综合性大题，考查空间观念、数据意识及推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭虚部、向量共线、百分位数|基础巩固，如第3题统计数据处理| |多选|3/18|复数几何意义、独立事件、线面角|能力提升，如第11题正方体线面关系| |填空|3/15|圆锥体积、概率计算、锐角三角形范围|知识应用，如第14题解三角形| |解答|5/77|复数纯虚数、向量夹角、统计直方图、四棱锥证明|创新综合，如19题线面垂直证明与二面角计算，体现空间观念与推理能力|

高一期末考试 数学试卷 班级 姓名」 考号 考场号 座位号 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的。 1.复数z满足z(3+2i)=13,则复数z的共轭复数的虚部为() A.-2 B.2 C.-2i D.2i 2.已知向量a=(1,x),b=(3,4x+2),若a/b,则实数x=() A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.某市交通部门在早高峰时段，记录了15辆私家车通过某路口的排队等待时间（单位：秒）： 12,18,22,45,38,30,32,35,28,15,48,50,25,20,40,则该组数据的第60百分位 数为() A.32 B.33.5 C.35 D.38 4.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（) A.若⊥，m⊥B,则a/1B B.若m/1a,n/,则/1n C.若⊥a,⊥n,则n//a D.若⊥B,⊥B,则//a 数学试卷第1 5.如图，AOAB是△OAB的直观图，若O'A=√2，A'B=√M0,则OB= B () A.8 B.4 c.4W2 D.22 知事件A,8互斥，PAUB),且PA=3PB),则P团三 A. 17 B.11 9 C. D. 3 20 20 20 20 7.如图，两座山峰的高分别为AM=200m,CN=300m,为测量峰顶M 和峰顶N之间的距离，测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得 M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且∠MBN=30°，则两座山峰峰顶 之间的距离MW=() A.2001m B.200√3m C.400m D.600m 8.如图，在△ABC中，∠BAC-写D=2D,P为cD上-点，且-AC+亚，则只 的值为() 3 A. 4 B. 2 6 c. D. D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若复数z= 3-2i 1+i ,则() A.z的实部是} 牛9 C.z-z=-21 D.z在复平面内对应的点位于第四象限 10.设AB是两个随机事件，且P④)分P(®)兮则下列结论正确的是() A,若A,B是互斥事件，则P(AUB)=6 B.若BcA则P(AUB)= C.若4B是相互独立事件，则P(AUB)=子D.若P(4)}则4B是相互独立事件 页（共2页） 11.如图，己知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，则下列命题中正确的是() D A.直线BC与平面ABCA所成角的正弦值为5 B.异面直线DC和BC所成的角为 C.四棱锥C-ABC,D的体积为 D.二面角C-BC,-D的平面角的余弦值为 B 3 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2√3的半圆，则该圆锥的体积是 13.甲、乙两人向月一日标各射击1次，已知甲、乙命中目标的餐率分别为}，专，则目标至 少被击中1次的概率为一· 14.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c(cosB-cosA=a-b,则 sinA+cosB+sinC的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 15.(13分)复平面内表示复数z=（m-2-3)+-3)的点为Z. (1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部： (2)当点Z位于二、四象限时，求实数m的取值范围； 16.(15分)已知向量a=(-1,2),b=(2,2). (1)若a11B,求的值： (2)若a-=a+可，求实数2的值： (3)若ā与b的夹角是钝角，求实数1的取值范围. 数学试卷第2 17.(15分)某校AI社团组织全校学生参加A虹伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和 决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测 试成绩，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分 布直方图。 ◆频率/组距 (1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数： 0.035 0.030 (2)己知落在[80,90)内的平均成绩是85分，方差是6， 大 「90,100]内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后 0.010 0.005 的平均数币和方差52 5060708090100分数 18.(17分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2W3且 cosC+(cosB-v3sinB)cos4=0. (1)求角A的大小： (2)若b=2√2，求△ABC的面积； (3)求b+c的取值范围. 图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC,ADL DC,BC=CDA P AD的中点，PA⊥平面ABCD (1)证明：AB∥平面PCE (2)求证：平面PAB⊥平面PBD B (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所 成角的正切值， 页（共2页） 高一期末考试 数学试卷 班级 姓名 考号 考场号 座位号 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第百分位数为（    ） A． B． C． D． 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，是的直观图，若，则（    ） A．8 B．4 C． D． 6．已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 8．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（   ） A．若是互斥事件，则 B．若则 C．若是相互独立事件，则 D．若，则是相互独立事件 11．如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．异面直线和所成的角为 C．四棱锥的体积为 D．二面角的平面角的余弦值为 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______． 13．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.（13分）复平面内表示复数的点为. （1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部； （2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围； 16.（15分）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17.（15分）某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计考核得分的第70百分位数； (2)已知落在内的平均成绩是85分，方差是6，内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18．（17分）在锐角中，角的对边分别为，，，已知且． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围． 19.（17分）如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 数学试卷 第 1 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $■13■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣▣ 高一期末考试 音 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 L0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 1 改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 3] 答题区域书写无效。 4 [4] [5] 67 [6] 正确填涂 ■ 缺考标记 [7] 8] 87 8] 87 8] [8] 9] 9 9] 9] 9] 97 [9] 97 [9] [9] 、 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、 多项选择题（每小题6分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) 囚囚■ ■ ■ 18.(17分) ■ 囚■囚 ■ ▣ 19.(17分) B× C D 囚■囚 ■ 高一期末考试参考答案 1．B 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2．D 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3．B 【分析】先将数据从小到大排序，再按照百分位数的计算规则求解即可. 【详解】首先将个数据从小到大排序为：。 则位置索引，为整数， 排序后第个数据为，第个数据为， 因此第百分位数为. 4．A 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可得，故A正确； 对于B，若，则或相交或异面，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 5．A 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 解得，所以. 故选：A 6．B 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 7．A 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 8．C 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 9．AD 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10．ACD 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确； B选项，时，，B选项错误； C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确； D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确. 故选：ACD 11．ABD 【详解】对于A，连接交于， 在正方体中，，即， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 则就是直线与平面所成角，，故A正确； ，就是异面直线和所成角或其补角， 又，所以，故B正确； 平面，，故C错误； 对于D，连接，又，所以， 又，所以就是二面角的平面角， ，，     故选：ABD. 12． 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：， ，该圆锥的体积是． 故答案为：. 13．/0.95 【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，， 所以目标至少被击中1次的概率 ； 方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，，，， 所以目标没有被击中的概率为， 目标至少被击中1次的概率为 故答案为：. 14． 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得， 所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以. 15．（1）时，复数是纯虚数，虚部为 （2） 【详解】（1）当且， 即时，复数是纯虚数，虚部为-4； （2）或解得; 所以当时，点位于二、四象限； 16．(1) (2) (3) 【详解】（1），，，，， ，. （2），两边同平方得，则化简得， ，，. （3）与的夹角是钝角，，且与不反向共线， 即，由（1）可知， 则，且，故实数的取值范围为. 17．(1) ，第 百分位数为 ； (2)平均数 ，方差 . 【详解】（1）由频率分布直方图,得，因此； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为，因此考核得分的第70百分位数， 由，解得， 所以考核得分的第70百分位数为. （2）依题意，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为， 所以，. 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 且，则，可得， 整理得，所以. （2）由余弦定理，即， 解得或（舍去）， 所以的面积. （3）由正弦定理，可得， 则 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得， 则 所以的取值范围为. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $