1.卷1 九上第1章 图形的相似 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似的核心知识，涵盖相似判定、性质（周长比、面积比、对应线段比）、位似及黄金分割，通过目录分类与“上分点拨”串联知识点，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点是通过传统文化（剪纸）、跨学科（凸透镜成像）培养数学眼光，以分类讨论（如剪相似直角三角形）发展数学思维，分层题目设计兼顾不同水平学生，有效巩固知识，便于教师开展针对性复习。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷1 九上第1章基础诊断卷（A卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.传统文化 [2026湖南衡阳期末]湖南望城剪纸起源于清初，内容淳朴秀美，具有 浓郁的生活气息.剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙 门”图案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，这体现了数学中 ( ) C A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】 剪纸艺人常为不同用途（如窗花、礼品装饰）创作同款“鲤鱼跃龙门”图 案，其造型完全一致，仅整体尺寸根据需求放大或缩小，即图形形状相同但大小 改变， 图形相似，即体现了数学中图形的相似.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026湖南永州期末]若线段，，，是成比例的线段，且 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，线段，，， 是成比例的线段， ， ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第3题图） 3.[2026浙江绍兴月考]如图，，则 的度 数是( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， . ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.[2026山西吕梁期末]五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距 离、等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线 上的三个点 ，，都在五线谱上．若线段，则线段 的长是( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】五线谱由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即，解得 ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 （第5题图） 5.[2026湖南常德校级期末]如图，四边形 与四边形 位似，其位似中心为点，且 ，则四边形 与四边形 的周长之比是( ) A A. B. C. D. 【解析】四边形与四边形位似，点 是位似 中心，，，，四边形 与四边形 的周长之比为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分点拨 相似多边形的性质——周长比、面积比 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.[2026四川遂宁期末]生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本 身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图， 点是的黄金分割点，如果的长为，那么 的 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】点是的黄金分割点，.又 ， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.[2026甘肃定西期中]如图， ，添加下列一个条件后，不 能判定和 相似的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，当添加时， ， 故A选项不符合题意；当添加时， ， ，故B选项不符合题意；当添加 时， ，故C选项不符合题意；当添加时，不能判定 和 相似，故D选项符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026四川师范大学附属中学期中，中] 如图是物体在焦距为（即 ） 的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点 发 出的平行于的光束折射后经过右焦点 ，而经过光 心点的光束不改变方向，最后点 发出的光会聚于点 D A. B. C. D. ，点发出的光会聚于点，从而得到最清晰的实像．若物距 ，则像 距 为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】由题意可得，，经过点，经过点， 易得 ，，，. ， .设，则， ，解得 ，经检验，是分式方程的解，且符合题意， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.[2026安徽安庆月考，中]如图，已知，，与相交于点 ， 作于点，点是的中点，过点作于点，交于点 .若 ，，则 的值为( ) A （第9题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】，，， ， ，，，， ， ，，.交于点 ， ，，.点是的中点， ， ，，， ， ， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.[2026湖南长沙质检，难]将一张以 为边的矩形纸片，先沿 一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线 剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是 如图所示的四边形纸片，其中 ， ， A A. B. C.10 D. ，， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】①作如图（1）所示的矩形，设， . ，. ， ，，，即 ， ， ，故B、D选项不符合题意.②作如图（2）所示的矩 形，设，. ， .，， ， ，即，， ，故C选项不 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 符合题意.③作如图（3）所示的矩形，易得， ， .故选A. 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分警示 理解题意 题目的提问方式已经暗示有多种“可能的斜边长”，因此需要分类讨论.“剪掉的两个 直角三角形相似”是破题点，意味着需要补全图形且补全方式不止一种，而两个直 角三角形如何相似就是分类讨论的出发点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.[2026四川成都期末]如果，那么 __． 【解析】，设，，则.故答案为． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2026湖南常德校级月考]如果两个相似三角形对应角平分线之比为 ，其中 较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为____. 32 【解析】两个相似三角形对应角平分线之比为， 这两个三角形的相似比为 ，这两个三角形的面积比为.较小的三角形面积为2， 另一个三角形的 面积为32.故答案为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 上分点拨 相似三角形的性质——对应线段比 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第13题图） 13.[2026湖南怀化月考]如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且位似比 为，两个正方形在原点同侧，点，，在 轴上，其余顶点 在第一象限，若正方形的边长为2，则点 的坐标为______． 【解析】正方形与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且位似比 为，，，.正方形 的边长为2， ，，，，，点 的坐标为 ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第14题图） 14.新考法 [2026辽宁大连期中，中]如图，平行于地面的圆桌正 上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在 地面上形成圆形区域，经测量，地面上圆形区域的半径比桌面半 径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则 灯泡到桌面的距离为___米. 3 【解析】构造几何模型如图.依题意知米， （米），米.，， ，即 ，， 灯泡到桌面的距离为3米.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 15.[2026湖南长沙校级期中，中]如图，在中，，是 的角 平分线，作，与的延长线交于点，点,位于直线 的两侧.当 ，时， 的长为_____. （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】如图，连接，过点作于点. ， 平分，， ， ， . ，， ， .设，， ，则 . ，， （负值已经舍去），.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 16.[2026湖南常德期中，偏难]如图，已知在纸板中，， ， ，是上一点，沿过点的直线剪下一个与 相似的小三角形纸板， 如果有4种不同的剪法，那么 长的取值范围是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】如图（1）所示，过作交于或交于 ，则 或，此时 . 图（1） 图（2） 图（3） 如图（2）所示，过作交于.， ，此 时 . 如图（3）所示，过作交于.， ， .当点与点重合时，有最大值，此时 ，即 ，， . 综上所述，长的取值范围是．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南岳阳期末]（6分）如图， ，且 ，求证： . 【证明】 ， .…………（2分） ， ，即 ， …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.[2026陕西宝鸡期末]（8分）如图，在平面直角坐标 系中，的三个顶点的坐标分别为， ， . （1）以原点为位似中心，将 放大为原来的3倍， 在网格中画出放大后的 .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【解】如图所示， 即为所求.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的 .（4分） 【解】如图所示， 即为所求.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 19.[2026山西太原月考]（8分）如图，为等边三角形，点 ， 分别在边，上，且 . （1）求 的度数.（4分） 【解】 为等边三角形， . ， .…………（2分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）若，，求线段 的长.（4分） 【解】 ， ，…………（6分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 20.[2026陕西西安校级期中，中]（8分）小明在学习完 “相似三角形的应用”这节课后，他跟同学来到操场计划 用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学 校给操场上安装了“智慧体育”相关设施，使得他们无法 到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的 处竖立了长为3米的标杆 （米），此时小明站在距离处3.6米的点 处恰好能通过标杆顶端看到旗 杆的顶部点，随后小明站到处恰好通过处放置的平面镜看到旗杆的顶部 点， 经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即 米），同时，，，四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解】连接并延长交于点 ，如图.…………（1分） ，，，且 ， ，四边形为矩形，，四边形 与四边形 都为矩形， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 设，，则 ， .…………（2分） ， ， ， ， 即， .…………（4分） 由题易知.， ， ，即 ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 联立得解得 .…………（7分） 答：旗杆 的高度为12.6米.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2026湖南娄底期末]（10分）如图，在平行四边形 中，点在边上，交于点， . （1）求证： ；（3分） 【证明】四边形是平行四边形，， ， ， . ， ， ， ， ， 即 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）如果 . ①［中］求 的长；（4分） 【解】， ， . ，易得 ， . ， ， ，即 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 ， ， ， ， ， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 ②［中］若，求 的长.（3分） 【解】，.，. ， .，，， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 22.综合与实践 [2026吉林松原期末]（12分）综合与实践：纸张中藏着丰富的数 学奥秘.某数学学习小组围绕“神奇的 纸”开展主题学习. 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性. 纸是我们常见的矩形打印纸， 将纸沿它的一条对称轴折叠（如图（1）），展开后，折痕 两侧的两个 小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形 矩形 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 将纸类似地对折，得到与之相似的纸 纸的大小设计能在纸张的剪裁中 避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感. 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【初探结论】 （1）如图（1），设，求纸的长与宽 的比值.（3分） 【解】设 . 由折叠可得 . 矩形矩形 ， ， ，.，， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【作图再探】 （2）［中］如图（2），在（1）的条件下，连接，过点作交 于点 .求证：为边 的中点.（4分） 【证明】四边形 是矩形， ， . ，，， ， ，…………（5分） ，， . ，，即点为边 的中点.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【拓展应用】 （3）［难］如图（3），在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在 上的点 处，折痕为，连接.试探究线段与 的关系.（5分） 【解】如图，连接交于点 . 由折叠可知， . 设 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 在中， ， ， 解得， . ， ， ， . ，，， . ，， ， . 综上，线段与的关系为， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $