1.5.1相似三角形中对应线段的比-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形中对应线段的比”，核心知识点为相似三角形对应高、中线、角平分线及周长的比等于相似比。课堂导入先回顾性质定理，通过“探究新知”中对应高的证明推理，延伸至角平分线、中线的比，结合基础巩固、能力提升、拓展应用分层练习，构建递进式学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过证明过程（如对应角平分线比的推导）培养推理能力，“议一议”活动引导学生自主探究中线比，发展抽象与创新意识（数学眼光）。融入“小孔成像”“葡萄酒庄展台设计”等实例，体现模型与应用意识（数学语言）。分层训练与系统小结帮助学生提升逻辑推理和实际应用能力，为教师提供完整教学资源，提高教学效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.5.1相似三角形中对应线段的比 第1章 图形的相似 相似三角形中对应线段的比 练习题 ### 核心知识点回顾 相似三角形对应线段性质定理：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 1. 对应高的比 = 对应中线的比 = 对应角平分线的比 = 相似比； 2. 相似三角形周长的比 = 相似比； 3. 易错点：只有对应的高、中线、角平分线才满足比值等于相似比，非对应线段不成立；面积比不等于相似比，而是相似比的平方。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 已知两个相似三角形的相似比为2:5，求它们对应高的比。 2. 相似三角形相似比为3:4，求对应角平分线的比和周长比。 3. 两个相似三角形对应中线的比为1:3，求它们的相似比。 4. 判断正误：相似三角形的高的比一定等于周长比。 5. △ABC∽△A'B'C'，相似比为4:7，若△ABC的一条高为8cm，求△A'B'C'对应高的长。 6. 若两相似三角形周长比为2:3，求对应中线的比。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 已知△ABC∽△DEF，对应高之比为5:2，若△ABC的周长为25cm，求△DEF的周长。 2. 两个相似三角形对应角平分线分别为6cm和9cm，其中较小三角形的中线长4cm，求较大三角形对应中线的长。 3. 相似三角形周长比为4:5，求对应高的比、对应中线的比。 4. 已知△ABC∽△MNP，对应中线之比为2:3，△ABC周长18，求△MNP周长。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为2:3，已知△ADE的高为4cm，求梯形DBCE的高。 2. 两个相似三角形，对应角平分线的长分别为8cm和12cm，若大三角形周长为36cm，求小三角形周长。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：相似三角形对应高的比等于相似比，故对应高的比为2:5。 2. 解：对应角平分线的比=相似比=3:4，周长比=相似比=3:4。 3. 解：对应中线的比等于相似比，故相似比为1:3。 4. 解：正确。相似三角形对应高的比、周长比均等于相似比，二者相等。 5. 解：设对应高为x cm，$$\frac{4}{7}=\frac{8}{x}$$，解得x=14cm。 6. 解：对应中线的比=周长比=2:3。 #### 能力提升题解析 1. 解：高之比=相似比=5:2，周长比=5:2。设DEF周长为x，$$\frac{25}{x}=\frac{5}{2}$$，解得x=10cm。 2. 解：角平分线比=6:9=2:3，相似比2:3。设大中线长x，$$\frac{4}{x}=\frac{2}{3}$$，x=6cm。 3. 解：相似三角形所有对应线段比、周长比均等于相似比，故对应高、中线比均为4:5。 4. 解：中线比=相似比=2:3，周长比=2:3。$$\frac{18}{C}=\frac{2}{3}$$，C=27。△MNP周长为27。 #### 拓展应用题解析 1. 解：相似比2:3，对应高之比2:3。设△ABC高为h，$$\frac{4}{h}=\frac{2}{3}$$，h=6cm。梯形高=6−4=2cm。 2. 解：角平分线比=8:12=2:3，周长比=2:3。设小周长为x，$$\frac{x}{36}=\frac{2}{3}$$，x=24cm。小三角形周长为24cm。 探究新知 思 考 如图1.5-1，已知△ABC∽△A'B'C'，AH，A'H'分别对应边BC，B'C'上的高，那么 吗？ A B C H A' B' C' H' 图 1.5-1 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B=∠B′. 又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°， 所以△AHB∽∠A′H′B′. 类似地，可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P， A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. A B C D E P Q 解 因为 AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 如图1.5-2 过点C作CD⊥PQ，交PQ的延长线于点D. 设CD交AB的延长线于点E， 因此 CE⊥AB，DE=40. 图 1.5-2 例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P， A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离. 又 AB=100，PQ=120，DE=40， 因此CD = 240. 即点C到直线PQ的距离是240. 由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得， 于是 A B C D E P Q 图 1.5-2 例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分 别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证： 证明 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， 于是∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′， 因此 △ABT∽△A′B′T′， A B C T A' B' C' T' 图 1.5-3 同样可以证明其余两组对应角平分线的比也等于相似比. 例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分 别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证： A B C T A' B' C' T' 图 1.5-3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？ A B C D A' B' C' D' 图 1.5-4 如图1.5-4 由 △ABC∽△A′B′C′可得 ∠B=∠B′， 从而△ABD∽△A′B′D′. 所以 又 则 于是 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？ A B C D A' B' C' D' 图 1.5-4 类似地，我们可以得到另外两组对应边上的中线也等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 随堂诊断 1.如图①，矩形EFGH内接于三角形ABC，且边FG落在BC上.若AD⊥BC，BC=6，AD=4，3EF=2EH，则EH的长为多少？ A B C D E F G H M 解: 如图①，设AD与EH交于点M，EH=x. 因为四边形EFGH是矩形， 所以 EH∥BC. 因为 AD⊥BC， 所以 AD⊥EH. 因为 3EF=2EH， 所以 所以 A B C D E F G H M 因为 EH∥BC. 所以△AEH∽△ABC. 所以 所以 解得 x =3，即EH = 3. 解：（1）因为 CD⊥AB， 所以∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°. 在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，所以△ADC∽△ACB， 同理可知，△CDB∽△ACB. 所以△ADC∽△CDB. 所以图中有三对相似三角形. 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. （2）因为△ACD∽△CBD， 所以 ，即 所以 BD = 4 cm. 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. 所以 ，即 （3）因为△CBD∽△ABC， 2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形； （2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD； （3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD. 所以 BD = 9 cm. 练习 1.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. 所以 DN = 3cm. 解: 因为△ABC∽△DEF， 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm， 所以 即 2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC 的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且 AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长. 因为 AD=4， A′D′=3， BE=6， 所以B′E′=4.5. 因为 △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是 △ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是 △A′B′C′的高和中线， A B C D E A' B' C' D' E' 知识点1 相似三角形对应线段的比 1. 若，相似比为 ，则对应高 的比为( ) A A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的对应边之比为 ，其中一 个三角形的一个内角平分线长为7，则另一个三角形对应角 平分线的长为( ) C A. B. C. 或 D. 无法确定 返回 中考考法 17 3. 如图，在中，,分别是, 上的点，且 ，,分别是, 的中点．若 ，，，则 的值为___． 返回 中考考法 18 知识点2 相似三角形对应线段比的应用 4. 图①是《墨 经》中记载的“小孔成像” 实验图，图②是其示意图， 其中物距 ，像距 C A. B. C. D. .若像的高度是，则物体的高度 为( ) 返回 中考考法 19 5. [石家庄桥西区模拟] 如图， 在中，直尺的一边与 重合，另一边分别交， D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 于点，，其中点，，， 处的读数分别为8，16， ，，已知直尺宽为3，则中 边上的高为 ( ) 返回 中考考法 20 6. 如图①，是的高，点， 分别 在边和上，且 .由“相似三角形对应高的比等于 对应边的比”可以得到以下结论： . 中考考法 21 （1）如图②,在中，， 边上的高为8，在 内放一个正方形,使其一边在上，点, 分别在,上，则正方形的边长 ___. 中考考法 22 （2）某葡萄酒庄欲在展厅 的一面墙上，布置一个腰 长为 ,底边长为 的等腰三角形展台， 现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔 分隔出一层， 再将每一层尽可能多地分隔成若干个开口为正方形的长方体 格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图③ 所示，将底边 的长度看作是第0层隔板的长度. 中考考法 23 ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行 于底边的隔板长度（单位： ）随着层数（单位：层）的变 化而变化，请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/ 120 _____ ____ ____ … 105 90 75 中考考法 24 【点拨】如图，过点作于点 因为 ， ，所以 .所以 解得.,解得 . .设第1层、第2层、第3层隔板 的长度分别为,, ,则 ,解得 . , 中考考法 25 ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡 萄酒？ 【解】该展台最多可以摆放40瓶葡萄酒. 返回 中考考法 26 课堂小结 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. $