1.5 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高、中线、角平分线的性质，核心知识点为其比等于相似比。导入通过复习相似三角形定义，结合思考几何量引出新问题，再用量一量猜一猜搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过合作探究和推理证明培养数学思维，典例（如正方形边长求解）及变式训练渗透方程与分类思想，课堂小结分点清晰。助力学生发展推理能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

1.5 相似三角形的性质 第1章 图形的相似 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题1： △ABC 与 △A1B1C1 相似吗？ 复习导入 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. △ABC ∽ △A1B1C1 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量猜一猜 D1 A1 C1 B1 ∟ A C B D ∟ △ABC ∽ △A1B1C1 CD 和 C1D1 分别是它们的高，你知道 等于多少吗？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比 探究新知 1 相似三角形对应高的比等于相似比 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A'H' 分别为对应边 BC，B′C′上的高，那么 吗？ 思 考 A B C H A′ B′ C′ H′ 探究新知 A B C H A′ B′ C′ H′ 因为△ABC∽△A′B′C′， 所以∠B =∠B′. 又 ∠AHB =∠A′H′B′ = 90°， 因此△ABH∽∠A′B′H′. 类似地，可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 所以 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 知识要点 1. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1 边上的高，已知 AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 . 8 : 3 练一练 2.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E， 例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离. A B C D E P Q 解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 因此 CE⊥AB，DE = 40. 典例精析 又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40， 因此 CD = 240. 即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 . A B C D E P Q 由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得， 于是 例2 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长. S R Q P E D C B A 解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°. ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC. ∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高. S R Q P E D C B A (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ 解：△ASR 与 △ABC 相似. 理由： ∵ SR∥BC， ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴ △ASR 与 △ABC 相似. (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ S R Q P E D C B A 是方程思想哦！ 解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD 分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高， ∴ . 设 PQ = x cm， 则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm . ∴ . 解得 x = 24. ∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm. S R Q P E D C B A (3) 求正方形 PQRS 的边长. BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. 变式：如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍， 你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm. 设 SP = x cm，则 SR = 2x cm. 得到 . 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 . 分析： 情况一：SR = 2SP S R Q P E D C B A 设 SR = x cm，则 SP = 2x cm. 得到 . 所以 x = 2.5， 2x = 5. S矩形PQRS = 2.5×5 = 12.5 cm2 . 原来是分类思想呀！ 分析：情况二：SP = 2SR 如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm. S R Q P E D C B A 相似三角形对应角平分线、中线的比都等于相似比 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中 △ABC 和 △A′B′C′ 相似，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线，BE、B′E′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 2 22 例3 如图， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′ 分别为对应△ABC，△A′B′C′ 的角平分线. A′ B′ C′ T′ A B C T 证明 因为 △ABC∽△A′B′C′， 所以∠B =∠B′，∠BAC =∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， 于是∠BAT = ∠BAC = ∠B′A′C′ =∠B′A′T′， 因此△ABT∽△A′B′T′， 求证： 所以 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 知识要点 议一议 已知△ABC∽△A′B′C′，若 AD，A'D' 分别为△ABC，△A′B′C′ 的中线，则 成立吗？由此你能得出什么结论？ A′ B′ C′ D′ A B C D 证明 如图，△ABC∽△A′B′C′， 可得∠B =∠B′， . 从而△ABD∽△A′B′D′. 又 则 于是 所以 由此得到： 相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比． 知识要点 例2 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为 x cm， 则由相似性质有 解得 x＝18. 较长的角平分线长为 24 cm. 故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm. 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 练一练 3. 两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为______ . 2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 2 : 3 1. 两个相似三角形的相似比为 ，则对应高的比为________， 则对应中线的比为_________. 课堂练习 29 4.如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当 时，求 DE 的长.如果 呢？ 　 ∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. (相似三角形对应高的比等于相似比). B A E R C D S 当 时，得 解得 当 时，得 解得 B A E R C D S 选做题：5. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （1） F G B A C E D （2） 相信自己是最棒的！ 32 6. AD 是 △ABC 的高，BC = 60 cm，AD = 40 cm，求图中小正方形的边长. 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 课堂小结 $