1.2 平行线分线段成比例-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”，核心知识点包括基本定理、三角形推论及逆用。课堂通过“思考”中特殊线段相等（图1.2-1）到“探究”中一般比例关系（图1.2-2）的递进，结合旧知比例线段，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定理形成过程。 其亮点在于分层练习（基础到拓展）与几何证明结合，通过五线谱实例（数学眼光观察现实）、杠杆原理应用（数学语言表达）培养推理能力（数学思维）。课堂小结系统梳理知识，学生能逐步提升解题能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.2 平行线分线段成比例 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学1.2平行线分线段成比例练习题 ### 核心知识点回顾 1. 平行线分线段成比例基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。若直线$$l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$$，截直线m、n，可得对应线段比例式：$$\frac{上}{下}=\frac{上}{下}$$、$$\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$$、$$\frac{下}{全}=\frac{下}{全}$$。 2. 三角形平行线推论（重点）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。该定理是相似三角形判定的基础，解题核心是找准平行线对应的截线段。 3. 定理逆用：若一条直线截三角形的两边，所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边，可用于证明两直线平行。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 已知三条平行线$$l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$$，截两条直线，所得线段分别为AB=4，BC=6，DE=2，求线段EF的长。 2. 在△ABC中，DE∥BC，AD=3cm，DB=6cm，求$$\frac{AD}{AB}$$的值。 3. 在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=1.5，求EC的长度。 4. 已知直线l₁∥l₂∥l₃，AC=10，AB=4，DF=15，求DE的长。 5. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD:DB=1:3，DE∥BC，求AE:EC的值。 6. 判断：在三角形中，只要线段对应成比例，即可推出直线平行于三角形底边（对或错）。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 如图，已知$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，AB=5cm，BC=3cm，EF=4.5cm，求DE的长度。 2. 在△ABC中，DE∥BC，AD:AB=2:5，AC=10cm，求AE和EC的长。 3. 点D在AB的延长线上，DE∥BC，已知AB=8cm，BD=4cm，AE=9cm，求CE的长。 4. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=4，DB=2，AE=6，EC=3，求证：DE∥BC。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，已知AD:DB=2:3，BF=6cm，求四边形DFCE各边的长度。 2. 一组平行线截两条直线，第一条直线上截得的线段长为6cm、9cm，第二条直线上总线段长20cm，求第二条直线上被分割的两条线段的长度。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：由平行线分线段成比例得$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$，代入$$\frac{4}{6}=\frac{2}{EF}$$，解得EF=3。 2. 解：AB=AD+DB=9cm，$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$。 3. 解：由$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$得$$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$$，AC=4.5，EC=4.5-1.5=3。 4. 解：$$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$$，$$\frac{4}{10}=\frac{DE}{15}$$，解得DE=6。 5. 解：由平行线推论，AE:EC=AD:DB=1:3。 6. 解：对。满足三角形平行线定理逆用条件，对应线段成比例，两直线平行。 #### 能力提升题解析 1. 解：$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$，$$\frac{5}{3}=\frac{DE}{4.5}$$，解得DE=7.5cm。 2. 解：DE∥BC，$$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$$，AE=4cm，EC=10-4=6cm。 3. 解：D在AB延长线上，$$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$$，AD=12cm，$$\frac{12}{4}=\frac{9}{CE}$$，解得CE=3cm。 4. 证明：$$\frac{AD}{DB}=\frac{4}{2}=2$$，$$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{3}=2$$，两组对应线段成比例，故DE∥BC。 #### 拓展应用题解析 1. 解：∵DF∥AC，∴$$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{FC}=\frac{3}{2}$$，BF=6cm，得FC=4cm。∵DE∥BC，DF∥AC，四边形DFCE为平行四边形，DE=FC=4cm，DF=EC。又$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$$，可得EC=6cm，DF=6cm。综上，四边为4cm、6cm、4cm、6cm。 2. 解：设两段线段长为x、y，由比例$$\frac{6}{9}=\frac{x}{y}$$，且x+y=20，化简得2y=3x，联立解得x=8cm，y=12cm。 1.求出下列各式的 x∶y. （1）3x = 5y （2） （3）3∶2 = y∶x （4）3∶x = 5∶y 解：x∶y=5∶3 x∶y = 2∶3 x∶y = 2∶3 x∶y = 3∶5 复习导入 解：因为 ， 所以 所以 探究新知 思 考 如图1.2-1，已知直线 a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若AB=BC，则A1B1= B1C1吗？ A B C A1 B1 C1 l1 l2 图1.2-1 a b c A B C A1 B1 C1 l1 l2 l3 A2 图1.2-1 如图1.2-1，过点 B 作直线 l3∥l2 ，分别与直线a，c相交于点 A2，C2，由于a∥b∥c， l3∥l2 ，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知 C2 a b c A2B=A1B1 ， BC2= B1C1. 在△BAA2和△BCC2中， ∠ABA2 = ∠CBC2， BA = BC， ∠BAA2 = ∠BCC2 △BAA2≌△BCC2 从而 A2B=BC2 所以 A1B1= B1C1 由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 随堂诊断 如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 和 DF 被l1， l2， l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则 DE 的长为( ) D A. 2 B. 3 C. 4 D. 探 究 在前面“思考”栏目中，若AB ≠ BC，如图1.2-2所示，则 与 相等吗？任意平移直线 c， 与 还会相等吗？ A B C A1 B1 C1 l1 l2 图1.2-2 a b c A B C A1 B1 C1 l1 l2 图1.2-3 a b c 如图1.2-3 连接AB1，B1C，BA1，BC1 △ABB1底边AB上的高、△BCB1底边BC上的高、 △ACB1底边BC上的高是同一条高线 E 所以 A B C A1 B1 C1 l1 l2 图1.2-3 a b c E 又由于△A1B1B底边A1B1上的高、△B1C1B底边B1C1上的高、 △A1C1B底边A1C1上的高也相同， F 所以 A B C A1 B1 C1 l1 l2 a b c 由于△ABB1， △A1B1B是平行线a、b之间同底等高的两个三角形， 因此 由于△BCB1， △B1C1B是平行线b、c之间同底等高的两个三角形， 因此 ① ② ① + ② 得， 即 A B C A1 B1 C1 l1 l2 a b c 于是 同理可得 由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例. 简称为平行线分线段成比例. 例1 如图1.2-4，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3， A1B1=1.5，求B1C1的长. 解：由平行线分线段成比例可知， 因此， 图1.2-4 例 2 如图1.2-5，在△ABC 中，已知 DE∥BC，求证 证明 如图1.2-5，过点 A 作直线MN，使 MN∥DE. 因为MN∥DE. 所以 MN∥DE∥BC. 因此，AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知 A B C D E M N 图1.2-5 议一议 如图1.2-6，直线 DE 分别与在△ABC 的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则 吗？ A B C D E 则 CD，BE被一组平行线DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知， ①若 DE∥BC， 议一议 如图1.2-6，直线 DE 分别与在△ABC 的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则 吗？ A B C D E ②若 DE与BC不平行， 由此可得以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 A B C D E F l1 l2 l3 l4 l5 A(D) 平移l4 或l5 平移l4 或l5 一般化 特殊化 一般化 特殊化 一般化 特殊化 B C E F l1 l2 l3 l4 l5 A C D B(E) F l1 l2 l3 l4 l5 平移l4或l5 A D B E C F A(D) B E C F D A B(E) C F “A”型 “X”型 知识点1 平行线等分线段 （第1题） 1. 如图，已知在中，, ， ，是 边的四等分点，并且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 17 （第2题） 2. [湘潭模拟] 五线谱是一种记谱法，通过 在五根等距离的平行横线上标以不同时值 的音符及其他记号来记载音乐.如图， ， ， 为直线与五线谱横线相交的三个点， 若，则 的长为___． 8 先过点 作平行横线的垂线构造等分线段,再利用平 行线截得的线段间的关系得到含有待求线段和已知线段的比 例式,构造出方程,从而解方程求出线段长. 返回 中考考法 18 知识点2 平行线分线段成比例的基本事实 3. 如图，直线，分别交直线，于点，， ， ，， ，下列结论不正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 19 4. 如图，已知直线，， 分别截直线于点，，，截直线 于点 ，，，且 ．如果 ，，求 的长． 【解】因为，，，所以 ,即 ，解得 ． 返回 中考考法 20 知识点3 平行线分线段成比例的基本事实的推论 （第5题） 5. 如图，在平面直角坐标 系中，已知，.以点 为圆心， 适当长为半径作弧，交轴于， 两点；分 别以点，为圆心，大于 的长为半径 作弧，两弧相交于，两点，作直线 . 点 是点关于直线 的对称点， C A. B. C. D. 连接交于点，则点 的坐标是 ( ) 中考考法 21 【点拨】如图，设与交于点 ，由作 图知，垂直平分，所以易知 . 因为，所以点 的纵坐标为2.因为点 是点关于直线的对称点， ， 所以，.因为，所以 .所 以.所以 . 返回 中考考法 22 6. 如图，在中，是上一点，与 相交于点 ，的延长线与的延长线相交于点，若 ， ，则__， 的长为___. 5 （第6题） 返回 中考考法 23 （第7题） 7. 如图，点 是一根质地均 匀的直木棍的中点，如果以 点为支 点，在处需用 的力竖直向上拉才能 保持木棍不动，根据杠杆原理可得木棍 所受的重力 的大小是______. 中考考法 24 （第7题） 【点拨】因为, ,所以 ,所以.又因为是 的 中点，所以是 的中点，即 .根据杠杆原理,可得 ,所以 ,所以 . 返回 中考考法 25 （第8题） 8. 如图，在 中， ， ，动点 从点出发，沿方向以每秒 的速度向终点运动；同时，动点 从 点出发沿方向以每秒 的速度向 终点运动，将沿翻折，点 B A. B. 2 C. D. 3 的对应点为点，设点运动的时间为，若四边形 为 菱形，则 的值为 ( ) 返回 中考考法 26 9. 如图，在中，是 延长线上一点， 且，过点作，交于点 ， 且，，，则 的长为___. 8 中考考法 27 10. 如图，在中，的平分线为 ， 为的中点，过点作交的延长线于，交 于 ． 中考考法 28 （1）求证： ; 中考考法 29 【证明】方法一:过点作 ，交 的延长线于点，则.因为 平分， ，所以 ， ， ，所以 ， 所以，所以.因为，所以 .因 为为的中点，所以，所以 ，所以 ． 中考考法 30 方法二：如图，过点作交的延长线于 , 所以, . 因为为 的中点， 所以 . 所以 . 所以 . 因为为的平分线，所以 . 中考考法 31 因为,所以, . 所以 . 所以,所以,所以 . 中考考法 （2）若 ，，，求 的长． 中考考法 33 【解】因为 ，，，所以 . 因为，所以，.又因为 ， ，所以， . 所以,解得 . 因为,所以，解得 ． 中考考法 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. $