精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

重庆八中2025−2026学年度（下）初一年级期末考试 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “华，夏，儿，女”四字的篆体形式中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方、合并同类项法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，A计算错误，不符合题意； B、，B计算错误，不符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、，D计算正确，符合题意． 3. 若三角形的两条边长分别为和，则第三边的值可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设第三边的长为，根据三角形三边关系可得，结合选项即可求解． 【详解】解：设第三边的长为，则， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 4. 如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 5. 在一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球为红球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果的总数，再确定符合摸出红球条件的结果数，代入公式计算即可． 【详解】∵袋子中球的总个数为，其中红球的个数为， ∴根据概率公式可得，从中随机摸出一个球为红球的概率为． 6. 变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（ ） A. 增加了 B. 增加了 C. 增加了 D. 增加了 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，时的值即可得到的变化情况． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当的大小从变化到时，增加了． 7. 已知，则实数的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小估算的取值范围，即可得到结果． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 实数的值在和之间． 8. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 由发射塔到三个村庄的距离相等，即其在三边的垂直平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，符合题意． 故选D． 9. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，先求出x的值，再代入求出y的值，最后计算得到结果． 【详解】∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， ∴且， 可得， 将代入原式得， ∴． 10. 在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可． 【详解】解：如图所示， 以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，， 以AB为公共边的全等三角形有一个为， ∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 人体中红细胞的直径约为0.00007m，数据 0.00007 用科学记数法表示为__________． 【答案】7×10-5. 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答. 【详解】数据 0.00007 用科学记数法表示为: 0.00007=7×10-5. 故答案为7×10-5. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 13. 如图，等边三角形中，是上的高，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可． 【详解】解：∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是上的高， ∴． 故答案为：1． 14. 如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 三、解答题：（本大题共4个小题，15题共18分，16、17题各8分，18题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）3 （2）3 （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式； 【小问5详解】 解：原式 ； 【小问6详解】 解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项，再除以单项式进行化简，最后代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时原式 ． 17. 心理学家发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间满足如下表关系（其中）．（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上述反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________，因变量是________； （2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为________分钟时，学生的接受能力最强． （3）从表格中可知，当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】（1）提出概念所用时间；对概念的接受能力 （2） （3）当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步降低 【解析】 【分析】（1）根据变量的定义即可确定； （2）根据表格中时，的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据，当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步降低，即可得结论． 【小问1详解】 解：由题意可得，自变量是提出概念所用时间，因变量是对概念的接受能力． 【小问2详解】 解：∵当时，的值最大是59.9， ∴提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． 【小问3详解】 解：由表格中数据可知：当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步降低． 18. 我校开展“五育润心，阳光护航”心理健康宣传活动，在活动期间连续开展了多项游园活动，帮助学生释放压力，治愈内心．活动结束后，在校园内随机抽取了部分学生，就对游园活动中的项目的满意情况进行问卷调查，问卷有以下四个选项：．非常喜欢；．喜欢；．比较喜欢；．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有________人；图中的值是________． （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中，对应扇形的圆心角为________度． （3）如果该校共有名学生，请你估计该校学生对游园活动中的项目非常喜欢的同学大约有多少人？ 【答案】（1）， （2）补全条形图如下： （3）人 【解析】 【分析】（）根据选项的人数和占比算出总人数为，再由选项人数算出其占比； （）用总人数减去的人数得到的人数，补全条形图;再用的占比乘得到圆心角； （）用样本中选项的占比估计全校，算出约有人． 【小问1详解】 解：∵条形统计图中选项有人，扇形统计图中选项占总人数的， ∴被抽取的总人数为：人； ∵条形统计图中选项有人，占比为， ∴； 【小问2详解】 解：选项的人数为：人，据此补充条形统计图； 扇形统计图中选项对应圆心角为：； 【小问3详解】 解：“非常喜欢”（选项）占总调查人数的比例为， ∴估计全校名学生中，非常喜欢的人数为： 人． B卷（50分） 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 19. 如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 20. （多选）已知关于的二次多项式，其中是任意实数，是正整数，，下列选项正确的是（ ） A. 当时，得到的多项式不含一次项， B. 当时，是完全平方式， C. 若是二次二项式，或 D. 若能被整除，或 【答案】AD 【解析】 【分析】结合多项式运算、完全平方式、因式整除的性质，分情况讨论各选项，题干隐含条件为M是二次多项式，因此自然数． 【详解】因为是关于的二次多项式，是自然数，可得只能取，下面逐个判定选项： 选项A：当时，，计算，多项式不含一次项则一次项系数为，即，解得，因此A正确； 选项B：当时，，若是完全平方式，满足，得，不是只有，因此B错误； 选项C：， 分情况得：当时，得，； 当时，无符合二次二项式要求的解，因此C错误； 选项D：若能被整除， 当时，得，，； 当时，得，，， 因此或，D正确． 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 21. 若实数、满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式代入已知条件求出，再代入完全平方和公式求出，根据平方根的性质得到的两个取值． 【详解】解：∵ ，，， ∴， 则， 又∵， 将，代入得，， ∴． 22. 如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点G，作于点H，由轴对称的性质得，，由角平分线的性质得，然后根据求解即可． 【详解】解：作于点G，作于点H， ∵点关于的对称点恰好是中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为4． 23. 在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则，证明，所以，，设，则，，又，即，解得，所以，，通过直角三角形性质可得，最后通过即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 24. 综合与实践 学习了尺规作图后，小达进行了拓展性探究．成功找到了用尺规作出线段三等分点的方案． 【问题提出】 如图，中，，，他要作出线段的三等分点，并给出几何证明． 【动手操作】 作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（只保留作图痕迹）； （2）请你帮助小达完成以上猜想的证明． 【答案】（1） （2）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， 中，， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，连接这两点分别交于点，交于点，连接； （2）利用等边对等角，垂直平分线的性质以及直角三角形中所对的边是斜边的一半证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知A，B两地之间有一条公路，甲车从A地匀速前往B地，乙车从B地匀速前往A地，两车同时出发，各自到达目的地后即停止相应的运动．出发18分钟后，甲与乙第一次相遇，相遇后甲再行驶分钟到达目的地B处．当甲到达目的地时，乙刚好到达加油站，用了6分钟排队加油，加满油后，乙按照加油前的速度继续前行到达目的地A．甲乙两车之间的距离与运动时间的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）AB两地相距________千米，甲车的速度为________千米/分钟，乙车的速度为________千米/分钟； （2）________，________，________； （3）在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，求出此时的值． 【答案】（1），， （2），， （3）在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，此时的值为8分钟或者36分钟 【解析】 【分析】（1）图像时，直接得AB总路程；两车18分钟相遇，速度和总路程；乙全程从B到A共用60分钟，可先求乙速度，再求甲速度． （2）：相遇后甲走的路程=相遇前乙走的路程，用路程÷甲速得； ：甲走完全程总时间=，即； ：时甲到达B停止，此时乙行驶了分钟，乙已走路程． （3）分三个阶段讨论：①相遇前：两车未碰面，距离=总路程−两车路程和；②相遇后、甲到达B前：两车错开背向，距离=两车路程和−总路程；③甲到达B后、乙加油阶段：甲停在B，只有乙向前走；④乙加油结束后：甲静止，乙继续向A走．分别列方程求解，舍去不在区间内的解． 【小问1详解】 解：时两车未出发，距离即为全程：． 乙从到全程用时分钟，匀速： ， 出发分钟相遇，路程和=，设甲速度： ， 代入： ， ， ． 【小问2详解】 解：相遇前乙18分钟走的路程：km，这是相遇后甲要走完的路程： ， 甲走完全程总时间： ， 时甲到达B停止，乙持续行驶分钟，乙走过路程： ． 【小问3详解】 解：已知，，总路程． 阶段1：相遇前，两车距离， 令：解得，有效解． 阶段2：相遇后，甲到B前，， 令：解得，，超出区间，舍去； 阶段3：甲已到B，乙加油时段， 甲静止在B，两车距离，不为，舍去； 阶段4：乙加油结束后， 甲静止在B，乙继续向A走，两车距离为， 令，得，有效解． 所以在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，此时的值为8分钟或者36分钟． 26. 如图，在中，，点是边上的动点，连接，点是平面内一点，，． （1）如图，点在的内部，且在上，求的度数； （2）如图，点在边上，连接，平分，求证； （3）如图，在（1）问的条件下，点是边上的动点，且，连接，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：延长至点，使得，连接，在上截取，连接， ， ． ，， ，． 平分， ． ， ， ，，． ， ， ． ，， ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用等腰内角和表示，求出． （2）先表示，利用得底角；由平分得等角，结合平角、三角形内角证明． （3）将逆时针旋转得到，过点作直线，作关于直线对称的，连接，得到当为的中点时最小，即可求． 【小问1详解】 解：设，则． ， ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕点C逆时针旋转得到，过点作直线，作关于直线对称的，连接， 则有， ， 当点共线时，取得最小值， 此时， ， 又， ， 为的中点， ， 为的中点， 是的中线， 为中线的交点， 连接交于点， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025−2026学年度（下）初一年级期末考试 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “华，夏，儿，女”四字的篆体形式中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的两条边长分别为和，则第三边的值可能是( ) A. B. C. D. 4. 如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球为红球的概率是（ ）． A. B. C. D. 6. 变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（ ） A. 增加了 B. 增加了 C. 增加了 D. 增加了 7. 已知，则实数的值应在（ ）． A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 9. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 人体中红细胞的直径约为0.00007m，数据 0.00007 用科学记数法表示为__________． 12. 若，则的值为________． 13. 如图，等边三角形中，是上的高，，则______． 14. 如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 三、解答题：（本大题共4个小题，15题共18分，16、17题各8分，18题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 心理学家发现，学生对一个新概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间满足如下表关系（其中）．（注：接受能力值越大，说明学生的接受能力越强） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上述反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________，因变量是________； （2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为________分钟时，学生的接受能力最强． （3）从表格中可知，当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ 18. 我校开展“五育润心，阳光护航”心理健康宣传活动，在活动期间连续开展了多项游园活动，帮助学生释放压力，治愈内心．活动结束后，在校园内随机抽取了部分学生，就对游园活动中的项目的满意情况进行问卷调查，问卷有以下四个选项：．非常喜欢；．喜欢；．比较喜欢；．不太了解（每名被调查的学生必选且只能选择一项）现将调查的结果绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）被抽取的学生共有________人；图中的值是________． （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中，对应扇形的圆心角为________度． （3）如果该校共有名学生，请你估计该校学生对游园活动中的项目非常喜欢的同学大约有多少人？ B卷（50分） 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 19. 如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（ ） A. B. C. D. 20. （多选）已知关于的二次多项式，其中是任意实数，是正整数，，下列选项正确的是（ ） A. 当时，得到的多项式不含一次项， B. 当时，是完全平方式， C. 若是二次二项式，或 D. 若能被整除，或 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 21. 若实数、满足，，则________． 22. 如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 23. 在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 24. 综合与实践 学习了尺规作图后，小达进行了拓展性探究．成功找到了用尺规作出线段三等分点的方案． 【问题提出】 如图，中，，，他要作出线段的三等分点，并给出几何证明． 【动手操作】 作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（只保留作图痕迹）； （2）请你帮助小达完成以上猜想的证明． 25. 已知A，B两地之间有一条公路，甲车从A地匀速前往B地，乙车从B地匀速前往A地，两车同时出发，各自到达目的地后即停止相应的运动．出发18分钟后，甲与乙第一次相遇，相遇后甲再行驶分钟到达目的地B处．当甲到达目的地时，乙刚好到达加油站，用了6分钟排队加油，加满油后，乙按照加油前的速度继续前行到达目的地A．甲乙两车之间的距离与运动时间的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）AB两地相距________千米，甲车的速度为________千米/分钟，乙车的速度为________千米/分钟； （2）________，________，________； （3）在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，求出此时的值． 26. 如图，在中，，点是边上的动点，连接，点是平面内一点，，． （1）如图，点在的内部，且在上，求的度数； （2）如图，点在边上，连接，平分，求证； （3）如图，在（1）问的条件下，点是边上的动点，且，连接，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $