4.2.1　指数函数的概念 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-07-09

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摘要：

该高中数学课件聚焦指数函数概念，通过细胞分裂问题情境导入，从具体分裂次数与个数关系抽象出函数模型，进而明确指数函数定义及底数限制条件，搭建从实例到抽象概念的学习支架。其亮点是结合数学抽象与数学建模，以“想一想”解析底数规定培养数学思维，通过放射性物质剩留量等实例强化应用。采用问题驱动与通性通法总结，学生能深化概念理解与建模能力，教师可高效落实核心素养教学。

内容正文：

4.2.1　指数函数的概念新课程标准解读核心素养 1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念数学抽象 2.能从教材实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用数学建模目录基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习必备知识梳理目录目录【问题】　（1）某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？（2）如果将上述问题改为“经过 x 次分裂，这种细胞能由1个分裂成 y 个”，你能用分裂次数 x 表示个数 y 吗？ ⁠ 目录数学·必修第一册知识点　指数函数的概念　一般地，函数 y ＝（ a ＞0，且 a ≠1）叫做指数函数，其中指数 x 是，定义域是 ⁠. 提醒　指数函数的结构特征 ax 　自变量　 R　目录数学·必修第一册【想一想】　为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必要；当 x ≤0时， ax 无意义. ②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝，，…，该函数无意义. ③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1. 目录数学·必修第一册 1. （多选）下列函数一定是指数函数的是（　　） A. y ＝2 x＋1 B. y ＝3 x C. y ＝3·2 x D. y ＝3－ x 解析：　A： y ＝2 x＋1中指数是 x ＋1，所以不是指数函数，故错误；B： y ＝3 x 是指数函数，故正确；C： y ＝3·2 x 中底数前系数是 3，所以不是指数函数，故错误；D： y ＝3－ x ＝属于指数函数，故正确. 目录数学·必修第一册 2. 函数 y ＝（ a －2） ax 是指数函数，则（　　） A. a ＝1 B. a ＝2 C. a ＝3 D. a ＞0且 a ≠1 解析：　解得 a ＝3. 目录数学·必修第一册解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2， ∴ a ＝，即 f （ x ）＝（） x . （） x 　目录数学·必修第一册典型例题·精研析 02 课堂互动关键能力提升目录目录题型一指数函数的概念【例1】　下列函数中是指数函数的序号是（填序号）. ①② ③ ⑤ ⑥ ⑧ 解析：由指数函数的概念，知下列函数中是指数函数的是②，⑤，⑨. ②，⑤，⑨ 　目录数学·必修第一册通性通法判断一个函数是否为指数函数的方法（1）‌核验基础形式：查看待判定函数的表达式是否完全匹配的形式，同时要满足底数的约束条件：且。；（2）核对专属特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征，只要其中任意一项特征无法满足，就可以直接判定该函数不属于指数函数。. 目录数学·必修第一册【跟踪训练】 1.下列是指数函数的是（　　）解析：　指数函数的特征：系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，所以A不满足，B不满足，C不满足，D满足. 故选：D. A. B. C. D. 目录数学·必修第一册 2.若是指数函数，则有（　　）解析：由根据指数函数的定义，对于函数是指数函数，则有解方程，即，因式分解得，解得或。又因为且，所以. 所以答案为：B. A. B. C. D. 且目录数学·必修第一册题型二指数函数的解析式或求值【例2】若是指数函数，则有（　　） A. 2 B. －2 解析：　因为函数 f （ x ）是指数函数，所以所以 a ＝ 8，所以 f （ x ）＝8 x ， f （）＝＝2 . 目录数学·必修第一册通性通法 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，先按标准形式设出函数式，结合已知条件算出未知参数即可得到完整解析式，核心前提是吃透指数函数的基础定义。. 2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 目录数学·必修第一册【跟踪训练】　若函数是指数函数，则的值为　 ⁠. 解析：函数是指数函数，，，，解得，， . 目录数学·必修第一册题型三实际问题中指数型函数式的求解【例3】　某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84%，则该物质的剩留量y关于经过年数x的函数关系式为___________. 目录数学·必修第一册解析：设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y，经过1年，剩留量；经过2年，剩留量； …… 一般地，经过x年，剩留量，故答案为：. 目录数学·必修第一册通性通法关于函数模型 y ＝ kax 的构建与求解（1）函数 y ＝ kax 是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当 k ＞0时，若 a ＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜ a ＜1，则刻画指数衰减变化规律；（2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 目录数学·必修第一册若是指数函数，则有（　　）解析：因为是指数函数，所以，解得. 故答案为：C. A. B. C. D. 目录数学·必修第一册 2. 已知指数函数，则实数的取值范围是（　　）解析：　由题得 a + 2 > 0 且 a + 2 ≠ 1，所以 a > -2 且 a ≠ -1. 故答案为：C. A . (-2, +∞) B . [-2, +∞) C . (-2, -1) ∪ (-1, +∞) D . (1, 2)∪(2, +∞) 目录数学·必修第一册 3. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度 y （ppm）与排气时间 t （分钟）之间满足函数关系 y ＝ c （ c ， m 为常数），求 c ， m 的值. 解：由题意得解得故 c ， m 的值分别为 128， . 目录数学·必修第一册知能演练·扣课标 03 课后巩固核心素养落地目录目录 1.函数f(x) = (a² - 3a + 3)aˣ是指数函数，则有（　　）解析：由指数函数的定义得：，解得a = 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．a = 1或a = 2 B．a = 1 C．a = 2 D．a>0且a≠1 目录数学·必修第一册 2.已知函数的图象过点，则＝（　）解析：由题意可知，，所以. 故答案为：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B. C. D. -3 目录数学·必修第一册 3. 一种产品的成本是 a 元，今后 m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低 p %，成本 y 是经过年数 x （0＜ x ＜ m ）的函数，其关系式是（　　） A. y ＝ a （1＋ p %） x （0＜ x ＜ m ） B. y ＝ a （1－ p %） x （0＜ x ＜ m ） C. y ＝ a （ p %） x （0＜ x ＜ m ） D. y ＝ a －（ p %） x （0＜ x ＜ m ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录数学·必修第一册解析：　∵产品的成本是 a 元，1年后，成本为 a － p %· a ＝ a （1 － p %）；2年后，成本为 a （1－ p %）－ a （1－ p %）· p %＝ a （1 － p %）2，…，∴ x 年后，成本 y ＝ a （1－ p %） x （0＜ x ＜ m ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录数学·必修第一册 4. 设 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ＞0时， f （ x ）＝2 x － 3，则 f （－1）＝（　　） A. 1 B. －1 解析：　因为 x ＞0时， f （ x ）＝2 x －3，且函数 f （ x ）为奇函数，所以 f （－1）＝－ f （1）＝－（21－3）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录数学·必修第一册 5.若指数函数的图象过点，则的解析式为（）解析：设，因的图象过点，则，得，所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B. C. D. 目录数学·必修第一册 7. 已知函数 y ＝ f （ x ）， x ∈R，且 f （0）＝3，＝2，＝2，…，＝2， n ∈N，f （ x ）= ⁠. f （ x ）＝3×4 x 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录数学·必修第一册解析：由，得. 结合，依次得：，，，…… 对，，故. 验证时，，与一致. 故答案为：. 目录数学·必修第一册谢谢观看！ $

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