一元二次不等式与高次不等式解法-2026年初升高数学衔接

一元二次不等式与高次不等式 一元二次不等式 一般式 二次函数[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:Z.xx.k.Com] 一元二次方程[来源:学科网] 一元二次不等式 图像与解 x y O x1 x2 或 x y O x0 无解 x y O 无解 R 无解 表中， 注：如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 恒成立问题 恒成立 恒成立 区间的表示方法 设，且，则： 集合表示 名称 区间表示 双闭区间 左闭右开区间 双开区间 例1、用区间表示下列集合： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）[-3,4] （2）[2,7) （3）(-∞，3] （4）(0,+∞) 例2、用区间表示下列集合： （1） （2） 【答案】(1) [-4,1)∪（1，+∞） （2）[2,8]∪{1} 例3、解下列不等式： （1） 第一步：化为一般式：， 第二步：求根：， ______；______， 【法1】：利用口诀“大于取两边，小于取中间” 【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. （2） 【解答】 第一步：将开口向下化为开口向上：________， 第二步：求根：______；______， 【法1】利用口诀：“大于取两边，小于取中间”【法2】：作出二次函数图像，数形结合 得出答案：_____________. （3） （4） （5） 【答案】(1)(2)(3)（4）无解 （5）R 【分析】(1)不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； (2) 不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； (3) 不等式可化为，求对应的方程的解，结合函数图象求不等式解集； 【详解】（1）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为； （2）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为； （3）不等式，可化为， 方程的解为或， 作函数的图象可得， 观察图象可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为. （4）无解 （5）原不等式化为， 又 ， 所以 的解集为R. 例4、解关于x的不等式（可因式分解） 解：原不等式可以化为： 若即则或 若即则 若即则或 例5、解关于的一元二次不等式（不可因式分解）为实数). 【答案】见解析 【分析】 对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式的符号，而这里的是关于未知系数的代数式， 的符号取决于未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对的符号进行分类讨论. 【解析】: ， ①当 所以，原不等式的解集为 或； ②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－； ③当为一切实数 . 综上，当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是 或； 当为一切实数． 例6、已知不等式的解是求不等式的解． 解：由不等式的解为，可知 ，且方程的两根分别为2和3， ∴， 即 ． 由于，所以不等式可变为 ， 即 － 整理，得 所以，不等式的解是 x＜－1，或x＞． 例7、若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 高次不等式的解法——穿根法 高次不等式常用数轴穿根法，又称穿针引线法。 步骤如下： ①移项,把不等式右边变为0且最高次项的系数为正，对不等式左边分解因式，分解到不能再分为止。 ②将不等号换成等号解出方程的所有实数根，并在数轴上表示出来。 ③由右上方穿线，经过数轴上表示各实数根的点。 ④若不等式是“＞0”，则找“线”在x轴上方的部分；若不等式是“＜0”，则找“线”在x轴下方的部分。 注：当左侧有因式（x-x1）n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴； n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴；即为“奇穿偶不穿”。 例1、解不等式：（1） 【解析】①检查各因式中x的符号均为正； ②方程（x-1）（x+2)（x-3)=0的实数根是-2,1,3，在数轴上表示出这三个数， ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(如图）， ④若不等式是“＞0”，则找“线”在x轴上方的区间。 由图可知，原不等式的解为-2＜x＜1或x＞3，故解集为（-2,1）∪（3，） （2） （x-2）2(x-3)3(x+1)＜0 【解析】①检查各因式中x的符号均为正； ②求得相应方程的实数根是-1,2,3（注意：2是二重根，3是三重根）， ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），由于3是三重根，所以在C处穿三次，而2是二重根，则在B处穿两次，结果相当于没穿，如图； ④由图可知，原不等式的解为-1＜x＜2或2＜x＜3，故解集为（-1,2）∪（2，3） （3）. 不等式即，注意到奇穿偶不穿， 利用数轴穿根法可知不等式解集为. （4） 【答案】 课后练习 1.用区间表示下列集合： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）.（-1,5] （2）.[-4,2] (3).(10,) (4).(-,1] 2.用区间表示下列集合： （1） （2） 【答案】 (1) .(-,-4)∪（-4,1） （2）[-3,1）∪{} 3.解不等式 （1） 【答案】(1). 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）原不等式化为 ， 即 ， 所以 ， 故不等式的解集为 . （2） 【答案】（1）x>2或x<-2 【详解】（1）x>2或x<-2 （3） 【答案】 【详解】原不等式等价于： 解得： 所以原不等式解集为： （4） 【答案】 【详解】原不等式等价于： 即 解得：或 所以原不等式的解集为： (5) 【答案】 【详解】， 整理得， 解得， 即不等式的解集为. （6）； 【答案】； 【解析】由题意，可得，所以不等式的解集为； （7）． 【答案】或. 【解析】由不等式，可化为，即， 所以不等式的解集为或. 4．若不等式 的解为 ，则不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】根据不等式的解集可知 ，解得 ，即不等式为 ，所以不等式的解集为. 5．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】当时，不等式化为恒成立，当时，不等式化为不恒成立（舍）， 当时，要使不等式恒成立， 则，解得，综上所述， . 6.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）． 【答案】见解析 【解析】 不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0， （1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a； （2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； （3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a． 综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1； 当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a． 7. 已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】 显然不合题意，于是： 8.解高次不等式（1） 【解析】 由图可知，原不等式的解为1＜x＜2或3＜x，故解集为（1,2）∪（3，+） （2） 【解析】 由图可知，原不等式的解为x≤-3或x≥2或x=-2，故解集为（,-3]∪[2，+）∪{-2} （3） 【解析】 由图可知，原不等式的解为-1≤x≤4或x≥6，故解集为[-1,4]∪[6，+） （4） 【解析】由不等式x3-3x+4＜0，可化为（x+1）（x-2）2＜0， 由图可知，原不等式的解为x＜-1，故解集为（-,-1) 1 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次不等式与高次不等式 一元二次不等式 二 次函数 元二次方程 元二次不等式 饕 y=ax2+bx+c 4=b2-4ac ax2+bx+c=O ax2+bx+c>Oax2+bx+c<O (a>0) (a>0) (a>0) a>0 X=X1:X=X2 X1<x2或 △>0 (x1<x2 X1<X<X2 X1>X2 0 图像与解 △=0 ==品 X≠X0 无解 0 △<0 无解 R 无解 表中x1=b-Vb2-4ac x=-b+Vb2-40c 2a 2a 注：如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以一1，将不等式变成二次项系数大 于零的形式，再利用上面的结论去解不等式 恒成立问题 x2+bx+o>01o≠0恒成立台iQ>0iid r2+bx+ec0lak0恒成立台(la<0iid 区间的表示方法 设a,beR,且a<b,则： 集合表示 名称 区间表示 a≤x≤b 双闭区间 [a,b] a≤x<b} 左闭右开区间 [a,b) a<x<bj 双开区间 (a,b) <a) (-0,a) r≥a} [a,+o) 例1、用区间表示下列集合： (1) 3≤x≤4} （2)sx<7} (3)钟r≤3y (4) >0} 例2、用区间表示下列集合：· (1) ≥4且x≠} (2)体=12sx≤8 例3、解下列不等式： 2 (1)x2<3x+4 第一步：化为一般式：x2-3x-4<0, 第二步：求根：（x-4x+1)<0, X1三 X2= 【法1】：利用口诀“大于取两边，小 于取中间” 【法2】：作出二次函数图像，数形结 合 得出答案： (2)2+x-x2≥0 【解答】 第一步：将开口向下化为开口向上： 第二步：求根：X2；X2 【法1】利用口诀：“大于取两边，小 于取中间”【法2】：作出二次函数图 像，数形结合 得出答案： (3)x(9-x)>0 (4)x2+2x+1<0 (5)-x2+2x-3<0 例4、解关于x的不等式（可因式分解）X2-X一a(a-1>0 4 例5、解关于x的一元二次不等式（不可因式分解）t+r+1>0(a为实数. 例6、已知不等式r+br+C<0a≠0)的解是r<2,或x>3求不等式br+ax+c>0的解 例7、若不等式ax+2ax-4<2x+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（) A（-2,2)B.（-∞，-2)U(2,+∞)C.（-2,2]D.（-∞，2] 高次不等式的解法一一穿根法 高次不等式常用数轴穿根法，又称穿针引线法。 步骤如下：①移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正，对不等式左边分解因式，分解到不能再 分为止。 ②将不等号换成等号解出方程的所有实数根，并在数轴上表示出来。 ③由右上方穿线，经过数轴上表示各实数根的点。 ④若不等式是“>0”，则找“线”在x轴上方的部分：若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的部 分。 X2 Xn-i Xn 注：当左侧有因式(x-x1)时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴： 为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴：即为“奇穿偶不穿”。 例1、解不等式：(1)（x一1)(x十2)(x-3)>0. (2)（x-2)2(x-3)3(x+1)<0 (3)(1-2x(x-1)°(x+1)2<0 (4)(-40x-6}s0 课后练习 1用区间表示下列集合： ()41<xs5y a)-4sxs23)年>10 4钟s 2用区间表示下列集合： 6 ()钟<1且x≠-4 （2)中=22+1减-35x<1 3.解不等式 (1)3r2-7xs10 (2)2-4>0 (3)Y+x-6s0 (4)6-2r2-x<0 5-0x-2<x(2x-5)+3 (6)x+x+1>0: )3x-0x+)>4 4若不等式知2+bx+2>0的解为方X分，则不等式2+bx+a<0的解集是 5.关于x的不等式(a-r-(a-)-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是 6.解关于x的不等式x+2x+1一a2≤0(a为常数)· 7.已知对于任意实数”，公-2x+K恒为正数，求实数人的取值范围. 8解高次不等式(1)(x-1)(x-2)(x-3)>0: (2(x+2)2(x+3)(c-2)≥0 3)(x+1)(c-4)(6-x)≤0： 8 (4)x3-3x2+4≤0 9