江西省重点中学盟校2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题

2025~2026学年下学期高二年级期末测试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数之满足之(1十i)一2i=0,则x= A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 2已知集合A=(-1<r<1,B=是<1，则An(【.B)= A.[0,1) B.(-1,1) C.(1,2] D.(-1,2] 3.已知向量a=(一2,1)，b=(3,一4)，若a在b上的投影向量为b,则λ= A.2 R号 c-号 D.-2 4.已知a,b∈R,则“a<b”的一个充分不必要条件是 A日6 B.2<2 C.√a<b D.a<b 5.安排A,B,C等5人周一到周五值班，每人值班1天，每天安排1人，则A周一不值班，B或C周五值班 的概率为 A号 B c号 D 6.已知双曲线C兰云=1(a>0,6>0)的渐近线与圆E:2+(y一2)2-1相切，则C的离心*为 A.2 B.3 c D2 3 7.一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250g.若该药在血液 中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为 (精确到0.1小时，参考数据1g2≈0.3010,1g3≈0.4771) A.5.6小时 B.4.6小时 C.3.8小时 D.2.2小时 【高二年级期末测试·数学第1页（共4页）】 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,若c=2 asin B,则名+号的取值范围为 A2.) C.[2,3) D.(2,+o∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某市为了解市内小微企业的经营发展情况，调查 频率 组距 统计了市内500家小微企业的月收入（单位：万 元)数据，企业月收入均在[10,80]内，分组区间0.020 0.015 为[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)， 0.010 [50,60),[60,70),[70,80],并制成如图所示的0.005 频率分布直方图，则 1020304050607080企业月收入/万元 A.图中a的值为0.025 B.估计这些小微企业的平均月收入约为45万元 C.估计这些企业月收入的中位数为42 D.这500家小微企业中，估计月收入在[60,80]内的有75家 10.如图，在圆锥PO中，AB为底面圆的直径，C为AB的中点，过该圆锥两条母线 的平面α截圆锥PO所得截面的面积记为S,若PB=2,OB=√3，则 A.圆锥PO的侧面积为2√3π B.直线PO与平面PBC所成角的余弦值为 5 C.S的最大值为√3 D.三棱锥P-ABC内切球的半径为号 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)是f(x)的导函数，且Hx>0,f(x)(e+e)十 f(x)(e-er)<0,则 A.f(-1)>f(1) B.xf(x)≤0 C.f(x)存在极值点 D.f(x)仅有1个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(。一是)°的展开式中的常数项为 .(用数字作答) 13.若函数f(x)=3sin(ox十晋)(o>0)在区间(0，x)上仅有两个零点，则u的取值范围为 14,在平面直角坐标系0中，若椭圆C若+茶-1(。>6>0)上存在两点A,B使得0410B且 OA=√3|OB引，则C的离心率的取值范围是 【高二年级期末测试·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在不透明的盒子中装有大小和质地相同的3个红球和5个黑球. (1)从盒子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回，并同时再放入2个与其颜色相同的球，然后再从盒 子中随机摸出1个球，求第二次摸出的球是黑球的概率； (2)从盒子中不放回地依次摸出3个球，记这3个球中红球的个数为X,求X的分布列和数学期望. 16.(本小题满分15分) 在数列{an}中，a1=1,am+1=2an十2m. (1)求{am}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sm Sm+1-1 (3)在(2)的条件下，令6=（十（十2）求数列{6.}的前n项和T: 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，E,F分别是棱AB,PD的中点，M为棱CD 上一点，PB⊥平面ABCD,PB=AB. (1)证明：EF∥平面PBC: (2)若平面BFM与平面PBD的夹角的余弦值为29，求器的值 ④ 【高二年级期末测试·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(x+1)一asin x(a∈R) (1)若a=一1，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若a=1,求f(x)在（一1,0]上的最大值； (3)若n∈N,n≥2，证明：sin是十sin子十十sin <In干 2n n 19.(本小题满分17分) 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(2,m)为E上一点，且|MF|=5,过点F的直线l与 E及圆(x一)广+=依次交于A,D,B,C四点，如图所示. (1)求E的方程： (2)求AB·CD的值； (3)过A,D两点分别作E的切线l1,l2,记l1∩l2=P,求△ABP与 △CDP的面积之和的最小值， 【高二年级期末测试·数学第4页（共4页）】 2025~2026学年下学期高二年级期末测试·数学 参考答案、提示及评分细则 2i2i(1-i) 1.B由题意知，=升十)D=1+i故选B 2.A由2<1，得x<0,或x>2,所以B=(-∞，0)U(2,十∞)，所以CRB=[0,2],所以A∩(CRB)=[0,1).故 选A. 3Cb=V尽中（一①-5由题意得a在b上的投影向量为合岸.6，所以=治-君=一号故选C 1b2-25 4C对于A,若b>0由日>方可得a<b:若od0,由启>名，可得。>b:对于B根据函数)y=2的单调性知，？< 2”是“a<b"的充要条件：对于C,由√a<√b,可得a<b,反之不然，故“√a<√b”是“a<b"的充分不必要条件；对于D, “|a|<|b|”是a<b的既不充分也不必要条件.故选C 5.B总的值班排法有A=120种，A不值周-，B或C值周五的安排方法有CC=36种，故所求概率为踢=品故 选B 6.DC的渐近线方程为y=士分x,即ax士by=0,由渐近线与E相切，得 十。1.所以g-甘所以C的离心 1±2b 奉V4答-2故送n 3 7.D设应该间隔x小时再次向病人血液中补充这种药，由题意知250(1一20%)>150，所以0.8>≥0.6，两边取以10为 旅的对数，得g08g06所以瓷品80号被00品≈2.2放进D 3×0.3010-1 8.A法一：由c=2 asin B,.得asi血B=台，作CD1AB,垂足为D,则CD=asin B=号，过C作直 线l∥AB,分别作AE⊥L,BF⊥I,垂足分别为E,F,因为△ABC为锐角三角形，所以点C在线 段EF上运动，且C不能与E,F和线段EF的中点重合（当点C为EF的中点时，AB边上的中 线CD=AB,∠ACB=90）,点C在从E到F的运动过程中，b由小变大，而a由大变小，所以从E到F的运动过 程中由小变大，所以二 W()+e 5 ()+e -后，且2≠1，设会=则（信）U1w5).且2+ 云=+因为函数f)=+号在0.1D上单调递减，在1，十)上单调递增，又（后）=f5)5,1) 2,所以名+号的取值范围为(2,6)故选A 法二：由c=2asmB及正弦定理，得mC=2 2in Asin B..c=2张mA于是合十号=《=+2asC- ab ab 2 asin B:2simA+2cosC=2sinC+2cosC=2Esin(C+于）.由smC=2 sin Asin B,.得sin(A+B)=2 2sin Asin B. ab sin Acos B+cos Asin B-=2 sin Asin E.两边同除以cos Acos B,得tanA+tanB=2 tan Atan B,所以tanC=-tan(A+B)= 曾是-二当因为△AC是锐角三角形，所以mA0,mD0,所以mC 一.又 1 1 tan Atan B anC>0,所以tan Atan B>1,anC>2=tanC(其中C为锐角)，从而C+平<C+晋<经，所以-3=±amC< 1-tan Co tam(C叶景)K-1.令am(C+年)=，则-3<1<-1,1<r<.由sir(c+)+ m(c+平） tam㎡(c+平） =1,得< 血(C+骨)千品方加(C+)<希所以台+号的取值范图是（色，后）放选A 9.ACD由题意，得(0.005十0.02十0.02+a十0.015十0.01+0.005)×10=1，解得a=0.025,故A正确：0.05×15+0.2 ×25+0.2×35十0.25×45十0.15×55十0.1×65+0.05×75=42.5，故B错误；易知中位数在40~50间，设为x,则 【高二年级期末测试·数学参考答案第1页（共4页）】 0.05十0.2+0.2+0.025(x-40)=0.5,解得x=42,故C正确；0.1+0.05=0.15，所以估计月收入在[60,80]内的小微 企业有(0.1十0.05)×500=75家，故D正确.故选ACD. 10.AB由题意知圆锥PO的侧面积为πX√3×2=2√3π，故A正确；取BC的中点D,连接OD, PD,易证得平面POD⊥平面PBC,所以∠OPD为PO与平面PBC所成的角，易求得OP= 1,PD-√吾，所以cos∠OPD咒=店=平.故B正确：由题意易得∠APE=120,所 PD5 以当平面a过的两条母线相互垂直时，S最大，且Sx=2,故C错误；设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R,易求得 AC=6,所以5w=5,5=35e=Sm=至，又号(5w+5十5+5xR=专5· 3 P0,所以R5+3并元1+3+V万故D错误故选AB 11.ABD令g(x)=f(x)(e十er),因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=一f(x),所以g(一x)= f(-x)(er十e)=-f(x)(e+er)=-g(x),所以g(x)为奇函数.对Hx>0,g'(x)=f(x)(e+er)十 f(x)(e-er)<0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，又因为g(x)为奇函数，g(0)=2f(0)=0,所以g(x)在R 上单调递减，所以g(-1)>g(1),即f(-1)(e十e1)>f(1)(e1+e),所以f(-1)>f(1),故A正确；当x>0 时，g(x)=f(x)(e+ex)<g(0)=0,又e+er>0,所以f(x)<0,所以xf(x)<0;当x=0时，xf(x)=0;当 x<0时，g(x)>g(0)=0,即f(x)(e+e)>0,又e+e>0,所以f(x)>0,所以xf(x)<0,综上所述，xf(x) ≤0，f(x)仅有1个零点，故BD正确；当f(x)=一x时满足题意，但f(x)无极值点，故C错误.故选ABD, 12.60 (-是）广的展开式的通项为T+1=C(-是）厂=(-2)Cx(=0,1…,6),令6-3r=0,得r=2,故 常数项为（一2）2Cg=60. 18(信，号】设+吾=，由xE(0,x),得r+吾∈（各m十吾），即1（告m+吾）要使fx)仅有两个零 点，由函效y=s血t的图象，得2x<wm十吾<3x,解得<w<名 14[夸.)由圈意.设amas03血.B(m(肚受)n(肚受)>0，将A.B的坐标分别代AC的方 3rcos03rsin0-1, 程，得 2sim20+cos20-1. 62 法-：消去.可得3-汽，由桶圆的性质，得C厅<，长<a得歌<<，整理得心≥3，即会< 又一√≥所以写<1放C的离心率的取值范围为[ 法二：消去r,可得29430_94，解得m0-斧考虑到a修0，可得登0即导<分， a2 b2 下同法一 法三OA=a,OB上b时，显然有OA108下书设直线OA,OB的方程分别为y=kxy子，由 y与后+若=1联立解得产群则。所以0十书同理0 a2b 1k2a2+2 1 所以0A十0若令01-ra则0B启所以号-护解得 a2+k2 斧由<<c,解得<，所以导<号e√会≥号又<1，所以<<1故C的离心率 2=4a2b2 的取值范国为[小 15.解：(1)记“第一次摸出的球为红球”为事件A,“第一次摸出的球为黑球”为事件A2,“第二次摸出的球为黑球”为事件 B则PA)=号PA)=音， 3 …2分 P(BlA)=,P(BlA)=品， 7 …4分 由全概率公式，得P(B)=PA)P(BlA)+PCA)P(BA)=音×号+号×品-音 8 …6分 (2)由题意，得X所有可能的取值为0,1,2,3，… …7分 【高二年级期末测试·数学参考答案第2页（共4页）】 p(X=o)e-0PX=1D-是 C 28 …9分 P(X=2)= 56 11分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 15 1 28 28 56 品 。...。eeg。。....。。ee。 12分 所以EK)=0X亮+1x票+2x票+3 1 9 28 56 568 13分 另：因为X服从超几何分布，所以E(X)=3×。=9 88 16.解：1由a1=2a,十2，得岩-会+之， 2分 又=1，号=，所以数列{会}是以受为首项，以号为公差的等差数列： …3分 所以=+"”号- 所以an=nX21. ……5分 (2)Sn=1×20+2×21+3×22+.+(n-1)×2-2+n×2m-1, 两边同乘以2，得2Sn=1X21+2×2十3×23+…十(n-1)×2m-1十nX2m,…7分 两式相减，得一S.=20+2+2++21一mX2=1-2X2-0X20=1-n2-1, 1-2 9分 所以Sn=(n-1)20十1.… 10分 nX2+1 2+22+1 (3)由(2)知S。=(-1)2+1,所以6，=(m)(n+2)=+2+' 12分 所以工=（等-等）+（保-等）+（答-）++（器一器）+（器） 2+2 n+22. … 15分 17.1)证明：取棱PC的中点G,连接FG,BG,则FG∥CD,且FG=号CD, …1分 因为E为AB的中点，四边形ABCD是正方形，所以BE∥CD,且BE-之CD,… 2分 所以BE∥FG,且BE-FG,所以四边形BEFG为平行四边形，…3分 所以BG/∥EF,… …4分 又BGC平面PBC,EF寸平面PBC,所以EF∥平面PBC.…5分 (2)解：易知，直线BC,BA,BP两两垂直，以B为坐标原点，直线BC,BA,BP分别为 x轴，y轴，x轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2,则D(2,2,0), F(1,1,1),P(0,0,2),设M(2,,0)(0≤%≤2)，则BD=(2,2,0),BP= (0,0,2),BF=(1,1,1),BM=(2,%,0).…8分 设平面PBD的-个法向量m=(,》则m:时-0即2十2y-0, m·BP=0,即2=0， 令x=1,解得y=一1,2=0，所以m=(1,一1,0)，… 10分 设平面BM的-个法向量n=(a,6),则n·时0 n.BM=0, 即a十b十c=0:令b=2,解得a=一30，c=为一2，所以n= 'l2a+%b=0, (-0,2,%-2), 12分 设平面PBD与平面BFM的夹角为0，则 cos0=I cos(m.n)I= m·n L%+2 16+2_27 m·n√2×√/4+(-)2+(o-2)726-2%+4 7 解得%=号，或%=6（合）.所以CM=号 所以兴片 …15分 18.(1)解：当a=-1时，f(x)=ln(x+1)+sinx, 由题意知.fx)的定义城为（-一1.十o),且f(x)=十cos,… …2分 【高二年级期末测试·数学参考答案第3页（共4页）】 所以f(0)=1十cos0=2, 又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x.…4分 (2)解：当a=1时，f(x)=ln(x十1)-sinx, f(x)的定义域为(-1，+o∞)，且f(x)=1 71C0Sx,……………5分 当x(-1,0]时，0<x十1<1，>1,60s≤1，所以f(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，…7分 所以f(x)在（一1,0]上单调递增，所以f(x)x=f(0)=0.…8分 (3)证明：由(2)知当x∈(-1,0]时，f(x)≤0，当且仅当x=0时取等号， 所以对vze(-1.0].sin≥n(r+1D.所以-smx=sn(-0≤-n(x+1D=h克当且仅当x=0时取等号. …9分 7n2 2 …11分 所以如2<h发m<h2爱sim是<n款， 22 32 42 n2 17<n（0-0（+d’… 13分 上面各式两边分别相加，得 m安+sn++mn十血<h发3+h爱+hn表+…+na 1 1 22 42 2 (n-2)n +血(m-1)(n+1) h[灵×最×是×…X鲁×w品n西】 32 42 n2 …14分 2X32X4×X（n-1)r、=1n2 =血1X2×3×40×(n-1)2n(n+1) n+1” 所以sim安十血录+叶s加<h 1 2n …17分 19.解：(1)因为M(2,m)在E上，且|MF|=5, 由抛物线的定义，得号+2=5，解得p=6, 所以E的方程为y2=12x.…3分 (2)由1)得F(3,0),圆的方程为(x-3)2+y2=9, 设直线1：x=y十3，A(1,y),D(x2,y), 由123消去x并整理，得了-2y-36=0 ，…5分 显然判别式△>0，y1十次=121,2=一36，…6分 |AB|=|AF-3=3+x1-3=,|CD|=|DF|-3=3+x2-3=x2,…7分 所以AB1.CD1=2=)2-二362=9.…9分 122 122 (3)设切线AP的方程为x=a(y一yⅥ)+x1,代入E的方程，得 y2-12ay+12ay-12m=0.又y7=12,所以y2-12ay+12ay-3y7=0, 则4=(-12a)2-412an-7)=0,解得a=告。 11分 所以AP的方程为父三治y21,…分 同理可求切线DP的方程为x= =6y-x2, AP与DP的方程联立，解得y=当十业=6，x=y=-3,所以P(-3,6). 2 12 故点P到直线1：x=y十3的距离d=-3-60-3=6/中7, 13分 √1+ 所以S△w+S=合|AB1+|CDld=名6+F(n+a)=3VI+F×2(+) 平[(m十2)2-2]=平144r+72)=7(36r+18.… 4 4 …15分 令u=√1+7≥1，则SABr+S△Dr=18(23-u), 令f(u)=18(23-u)(>1),则f(u)=18(62-1)>0,f(u)在[1，+∞)上单调递增， 所以f(u)m=f(1)=18, 所以△ABP与△CDP的面积之和的最小值为18.… …17分 【高二年级期末测试·数学参考答案第4页（共4页）】