精品解析：江西赣州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

赣州市学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 2026年7月 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，得，即. 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数为增函数，以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】由，得， 取，，此时满足，但是不满足， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知变量和的成对数据的线性回归方程是，且，，则系数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 且，所以，解得. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】注意到，，故， 由于幂函数在上单调递增，故， 而，所以. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， 故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误； 当时，恒成立，的符号由决定， 当时，，故，图象在轴下方； 当时，，故图象在轴上方； 当时，，故，故C错误； D选项图象符合以上特征，故D正确． 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 7. 已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列， 通项为，已知，则，解得，故， 故，则是首项为4，公差为3的等差数列， 故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1， 故公共项为，即，则． 8. 已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过等式转化，将等式转换为函数，进而得出参数之间关系，根据参数关系，利用基本不等式即可求解. 【详解】由诱导公式有，， 因此原式转化为， 故令，则， 而，因为，，则， 因为当时，且，故， 即在上单调递增， 又因，则，即， 则，当且仅当时取等， 故的最小值为5. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数的图象关于直线对称 B. 幂函数过点，则 C. 函数（且）恒过定点 D. 命题“，都有”的否定是“，使得” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据反函数性质判断A，利用解析式求函数值判断BC，利用命题的否定的定义判断D. 【详解】对A，函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，A正确； 对B，若，则，B错； 对C，，，C正确； 对D，根据命题的否定的定义知D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 的图象关于点中心对称 C. 有个零点 D. 直线是的一条切线 【答案】BD 【解析】 【分析】求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判断B；令，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判断D. 【详解】A. ， 令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，A错误； B．法一：（图象平移）设， 此函数为奇函数，关于成中心对称， 因此的图象是向上平移2个单位得到的， 故关于成中心对称， 法二：（中心对称定义）由中心对称的定义， 得到=， 所以关于成中心对称，B正确； C. 因为， 令，得或，所以有2个零点，C错误; D.因为，设切点为，则切线斜率为 ，解得或， 当时，，切线方程为 ，即，D正确. 11. 已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（ ） A. 若，则对任意，数列都不是“加速数列” B. 若，且数列是“加速数列”，则实数满足 C. 若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有 D. 若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设，则，进而得到即可判断；对于B，，则，进而得到；对于C，由题可知，则，再求和即可得到；对于D，设，则，进而得到． 【详解】设，对于任意的，都有成立，， 对于A：，， 因为，所以，所以成立， 即，因为，所以存在，使得数列是“-加速数列”，故A错误； 对于B，，由于， 则，因为，所以数列是递增数列， 故当时，，所以实数的取值范围是，故B正确； 对于C，因为数列是“-加速数列”，则，, 所以， 所以，故C正确； 对于D，设，则， 由于，代入得， 所以， 当时，，符合题意，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题共分） 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 13. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 设函数的个零点为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将函数的零点转化为两个方程①或②的根，再分别构造函数，，用导数判断函数的正数零点的个数，再对方程分别取自然对数进而可得两个函数零点的值满足的值，从而可得结果. 【详解】原函数可整理为关于的二次三项式： 则等价于①或②，且所有零点都满足（保证 有意义）： 对①：设 ，求导得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以时函数有最小值，故①只有个零点. 对等式两边取对数得 ，，所以③. 对②：设 ，求导得 ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以有最小值， 且 时，时，故②有个零点. 对等式两边取自然对数得，即 所以对②任意零点都满足 ，因此，④. 所以函数共有个正数零点，由③④得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列 （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公差为，利用等比中项及等差数列的性质列出方程组即可求解； （2）写出的通项公式，利用错位相减法即可求解． 【小问1详解】 设的公差为，由题意得， 解得（负值舍去），因此． 【小问2详解】 由题意得， 故， ， 两式相减得， 因此． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后利用单调性分析可得； （2）求导后分析单调性得到最小值，再利用恒成立问题可得. 【小问1详解】 当时，，则， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为对定义域内任意的x都有恒成立， 所以， 又，所以. 17. 为推进“书香校园”建设，某校对学生每周课外阅读时长进行抽样调查，随机抽取200名学生，对“是否参与学校书香校园主题活动”与“每周课外阅读是否达到3小时”两个维度进行统计得到如下数据（单位：人）： 每周阅读小时 每周阅读<3小时 参与书香校园活动 40 60 未参与书香校园活动 25 75 （1）试问：参与书香校园活动是否与学生每周阅读达3小时有关？ （2）该校统计了若干组数据，用最小二乘法得到了班级图书角的投入资金X（单位：百元）与学生每周阅读时长Y（单位：小时）的线性回归方程为．已知学生每周阅读时长Y的方差为，投入资金X的方差为．求Y与X间的样本相关系数r，并据此判断阅读时长Y与投入资金X的线性相关性强弱． 附：（i），其中； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （ii）在线性回归方程中，； （iii）相关系数，若，可认为与线性相关程度较强． 【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为参与书香校园活动与学生每周阅读达3小时有关； （2）样本相关系数，与的线性相关程度较强. 【解析】 【分析】（1）代入卡方公式计算后与临界值比较可得； （2）计算相关系数后可得. 【小问1详解】 由题意可得， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为参与书香校园活动与学生每周阅读达3小时有关. 【小问2详解】 设，， 由题意可得，且，样本方差满足，所以， 代入相关系数公式， 将，代入可得， 因为，故与的线性相关程度较强. 18. 某公交站点的候车拥挤度分为拥挤和宽松两种状态，现统计了一个月内每日拥挤度的变化满足：第天拥挤的概率为，若第天拥挤，则第天拥挤的概率为；若第天宽松，则第天拥挤的概率为．记第天该站点拥挤的概率为． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，都是离散型随机变量，则，记前天拥挤的天数为，求． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由全概率公式得，再代入值计算可得； （2）由概率的递推关系，构造等比数列，进而可得通项公式； （3）设变量表示第天拥挤，变量表示第天宽松，再结合期望的线性性质得 ，再由等比数列前项和公式可得. 【小问1详解】 根据全概率公式，第天拥挤的概率为：， 已知，代入得， 【小问2详解】 由递推关系，整理得， 设，展开得， 整理得对比系数，得. 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即. 因此数列的通项公式为 【小问3详解】 设变量表示第天拥挤，变量表示第天宽松. 则前天拥挤的天数为. 由期望的线性性质得 ， 因此. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）当时，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，无递减区间 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用求导直接求解不含参的函数的单调区间； （2）（i）将极值点问题转化为方程的解的问题，再转化为函数图像交点问题，结合导数分类讨论，分析函数单调性即可得出结果；（ii）结合已知条件，化简构造函数，判断单调性，结合双极值点换元模型分析单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 令，则， 令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又， 所以，， 所以单调递增区间为，无递减区间. 【小问2详解】 （i）由题知，， 若，恒成立，无极值； 若，则，即有两个不同实根，，且， 显然，令，则， 代入上式得，， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 若，则， 又，， 所以，，； 若，， 则，在上单调递增， 又， 即时，， 此时最多只有一个解，不满足题意，舍去. 综上，的取值范围为. （ii）设，由， 两式相除得，，即， 又，代入得，即， 而代入得，，则， 所以， 记， 令，则， 令，则， 又，所以，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 且， 所以，即. 【点睛】方法点睛：导数压轴双变量题目，通用解题逻辑有：导数判断单调性，二阶导辅助分析一阶导最值；分离参数与图像交点，解决双极值点参数范围；比值换元齐次消参，双变量转单变量，利用单调性、边界值来确定区间等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 2026年7月 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知变量和的成对数据的线性回归方程是，且，，则系数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数的图象关于直线对称 B. 幂函数过点，则 C. 函数（且）恒过定点 D. 命题“，都有”的否定是“，使得” 10. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 的图象关于点中心对称 C. 有个零点 D. 直线是的一条切线 11. 已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（ ） A. 若，则对任意，数列都不是“加速数列” B. 若，且数列是“加速数列”，则实数满足 C. 若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有 D. 若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是 第Ⅱ卷（非选择题共分） 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 已知函数，则____________． 13. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 14. 设函数的个零点为，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列 （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围． 17. 为推进“书香校园”建设，某校对学生每周课外阅读时长进行抽样调查，随机抽取200名学生，对“是否参与学校书香校园主题活动”与“每周课外阅读是否达到3小时”两个维度进行统计得到如下数据（单位：人）： 每周阅读小时 每周阅读<3小时 参与书香校园活动 40 60 未参与书香校园活动 25 75 （1）试问：参与书香校园活动是否与学生每周阅读达3小时有关？ （2）该校统计了若干组数据，用最小二乘法得到了班级图书角的投入资金X（单位：百元）与学生每周阅读时长Y（单位：小时）的线性回归方程为．已知学生每周阅读时长Y的方差为，投入资金X的方差为．求Y与X间的样本相关系数r，并据此判断阅读时长Y与投入资金X的线性相关性强弱． 附：（i），其中； 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 k 0.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （ii）在线性回归方程中，； （iii）相关系数，若，可认为与线性相关程度较强． 18. 某公交站点的候车拥挤度分为拥挤和宽松两种状态，现统计了一个月内每日拥挤度的变化满足：第天拥挤的概率为，若第天拥挤，则第天拥挤的概率为；若第天宽松，则第天拥挤的概率为．记第天该站点拥挤的概率为． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，都是离散型随机变量，则，记前天拥挤的天数为，求． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个极值点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $