精品解析：新疆第三师图木舒克市第一中学2025-2026学年第二学期高二综合素养测评数学试卷

2025-2026学年第二学期高二年级综合素养测评数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 4. 3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 6. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ） A. 第15个数 B. 第12个数 C. 第13个数 D. 第14个数 7. 已知事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当， 时，函数的极大值为 B. 当， 时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为__________________. 13. 在的展开式中，含的项的系数为___________． 14. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为_____________. 四、解答题（15题13分，16题13分，17题15分，18题17分，19题分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 17. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 18. 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． （1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； （2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 19. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级综合素养测评数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，解得，所以函数的单调递增区间为. 3. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 4. 3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】5个空位中，2个空位恰好相邻的组合为：，共4种； 剩余3个座位安排3人进行全排列，共有：种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为：． 5. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【详解】 ， ， ， ， ， 故选项D正确. 6. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ） A. 第15个数 B. 第12个数 C. 第13个数 D. 第14个数 【答案】D 【解析】 【分析】先计算千位小于7的无重复四位数总数，再计算千位为7时小于7052的数的个数，求和后加1即为答案. 【详解】当四位数千位为2时，剩余三位从0、5、7中全排列，排列数为个； 当四位数千位为5时，剩余三位从0、2、7中全排列，排列数为个. 当四位数千位为7时，小于的数字只有一个，故7052是第14个数字. 7. 已知事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率的对立性质、乘法公式、全概率公式、和事件概率公式分析即可. 【详解】选项D，由，故D错误； 选项B，根据条件概率的对立事件性质得：，故B错误； 选项C，因为， 所以，故C正确； 选项A，由，故A错误. 8. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解析】 【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可. 【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确； 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先应用换元法计算得出，应用通项公式计算判断B，再应用赋值法计算判断A，C，最后求出导函数应用赋值法计算判断D. 【详解】令，原式转化为， A选项：令得，故A错误； B选项：最高次项为，故，B正确； C选项：令得，故，C正确； D项：等式两边对求导后代入，得，D正确. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当， 时，函数的极大值为 B. 当， 时，函数存在零点 C. 当，不等式恒成立，则 的取值范围为 D. 若函数与的图象有交点，则 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数研究函数单调性极值即可；对于C，根据恒成立，即，令，利用导数研究函数单调性极值即可；对于D，当时函数与的图象有交点，等价于，令，利用导数求解. 【详解】对于A，当， 时，， 定义域为，则， 因为， 则，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以函数的极大值点为 ，极大值为，A正确； 对于B，当， 时，， 则， 当 时， ，当时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以，所以函数不存在零点，B错误； 对于C，当，， 因为不等式恒成立，即，也就是， 令，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即 的取值范围为，C正确； 对于D，当时函数与的图象有交点， 即， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意， 所以 的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，由，得，则点， 由，求导得，则，于是， 所以该曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 13. 在的展开式中，含的项的系数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合分步乘法计数原理求解. 【详解】在的展开式中， 从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘的积即可得含的项， 所以含的项的系数为. 故答案为： 14. 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为_____________. 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理、组合以及古典概型的概率公式计算可求得结果. 【详解】质点从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次， 可能的结果共有种情况， 若质点回到原点，则向左移动3次向右移动3次，共有种情况， 所以质点回到原点的概率为. 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16题13分，17题15分，18题17分，19题分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解； （2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算． 【小问1详解】 由题意可得， ． ． 【小问2详解】 从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为． 由已知得， 则． 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】（1）504 （2）360 （3）1140种 【解析】 【分析】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【小问1详解】 依题得，共有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 17. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 【答案】（1） （2） ． （3） 【解析】 【分析】． （1）根据题意，第一轮中小张只答对2道则被终止比赛，计算概率即可； （2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望； （3）分析出小张同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可． 【小问1详解】 从类道题中任选道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以小张同学被终止比赛的概率为． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． 【小问3详解】 小张获得三等奖，共有两种情况， ①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为； ②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为， 所以小张同学获得三等奖的概率为． 18. 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． （1）现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； （2）有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 【答案】（1） （i）； （ii） （2）选方案一 【解析】 【分析】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【小问1详解】 （i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； 【小问2详解】 记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 19. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 【答案】（I）在内单调递增.； （II）（i）见解析；（ii）见解析. 【解析】 【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； （ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】（I）解：由已知，的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以在内单调递增. （II）证明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在内单调递减， 又，且， 故在内有唯一解， 从而在内有唯一解，不妨设为， 则，当时，， 所以在内单调递增； 当时，， 所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 令，则当时，，故在内单调递减， 从而当时，，所以， 从而， 又因为，所以在内有唯一零点， 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点. （ii）由题意，，即， 从而，即， 因为当时，，又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $