精品解析：广东佛山市2025-2026学年普通高中供题训练高一数学

2025~2026学年普通高中供题训练 高一数学 2026.7 本训练卷共4页，19小题，满分150分，训练用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．训练结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据，，，，，，的中位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，、分别在边和上，与交于点，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最小值为 C. D. 在上单调递增 10. 已知复数，，则下列复数中，在复平面上对应的点位于第一象限的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，则（ ） A. 三棱锥的外接球半径为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 点在正方体的棱上，若，则满足条件的点有6个 D. 点在正方体表面，若，则点的轨迹围成的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，，，均在单位格点上，则__________ ． 13. 一个半径为2的半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为__________． 14. 平面四边形中，，，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，． （1）求四棱台的体积； （2）求点到平面的距离． 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）探究直线与平面的位置关系，并说明理由； （3）求二面角的正弦值． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）若的面积为，是边上的点，且，求的长． 19. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）若在上的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程存在三个相邻实根，，（其中），且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年普通高中供题训练 高一数学 2026.7 本训练卷共4页，19小题，满分150分，训练用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．训练结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故其虚部为 2. 样本数据，，，，，，的中位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排序为：10，12，14，14，16，20，24，样本容量， 故该样本数据的中位数为14. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算的坐标，再代入计算模长即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 4. 如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，平移异面直线，构造三角形求解即可. 【详解】如图所示： 设，由，得. 在长方体中，由、，可得， 因此直线与所成的角为（或其补角）. 在中，，则， 因为为中点，故， 在中，则， 由，，可得， 所以为等边三角形，故，. 因此直线与所成角的余弦值为. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即得， ， 则，得 解得： 故. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 故． 7. 一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 8. 在中，、分别在边和上，与交于点，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由可知，点到的距离是点到距离的，点到的距离是点到距离的，再结合平面向量基本定理得出，即可求解. 【详解】由可知，点到的距离是点到距离的，即， 点到的距离是点到距离的，即， 已知，则， 设，则， 由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得， 所以，即，所以， 设，， 则 由于与共线，则存在实数使得，即，所以，解得， 所以，即，所以， 因此，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最小值为 C. D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可得最小正周期；对于B，由A解析式可得的最小值；对于C，由A解析式结合诱导公式可判断选项正误；对于D，由余弦函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于A，，则其最小正周期为，故A错误； 对于B，当，其中时，有最小值，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，时，，因在上单调递增，则在上单调递增，故D正确. 10. 已知复数，，则下列复数中，在复平面上对应的点位于第一象限的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义求解即可. 【详解】因为复数，， 所以， 对应点为，在第一象限，故A正确； ， 对应点，不在第一象限，B错误； ， 对应点为，在第一象限，C正确； ， 对应点为，不在第一象限，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，则（ ） A. 三棱锥的外接球半径为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 点在正方体的棱上，若，则满足条件的点有6个 D. 点在正方体表面，若，则点的轨迹围成的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算正方体的外接球；B利用等体积思想计算；C分别取的中点即可；D计算的面积即可. 【详解】三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故其半径为，故A正确； 因为， 三棱锥的表面积为， 所以三棱锥的内切球半径为，故B错误； 分别取的中点， 则当点与以上六点重合时，，故C正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证，， 因为平面，所以平面， 因为点在正方体表面，，所以点的轨迹为线段， 则点的轨迹围成的面积为的面积，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，，，，均在单位格点上，则__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】 以点为坐标原点，网格线所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系， 设小正方形的边长为 1, 由图可知,，，，, 所以，。 则 . 13. 一个半径为2的半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为, 由题意可知，半圆的半径即为圆锥的母线长，故； 半圆弧长为圆锥底面的周长，半圆弧长，因此有，解得； 因为，所以. 14. 平面四边形中，，，，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出的最大值为的外接圆和的外接圆的圆心距与两个圆的半径的和，利用已知条件得出的正弦值，再结合正弦定理求出圆的半径即可求解. 【详解】设，，根据题意，，即， 已知，由于是四边形的内角，所以，因为，所以，即是锐角， 由此可得，，， 设的外接圆的圆心为，半径为，的外接圆的圆心为，半径为，如图所示， 由正弦定理，得，解得，，解得， 点在以为弦，半径为的圆弧上，点在以为弦，半径为的圆弧上， 因此的最大值即为这两个圆弧上两点的最大距离，即圆心距与两个半径的和，即， 设圆心到弦的距离为，则， 圆心到弦的距离为，则， 则，则. 即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，． （1）求四棱台的体积； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）利用等体积法及三棱锥的体积公式求解. 【小问1详解】 由题意，上底面正方形的边长，下底面正方形边长， 所以上、下底面积分别为， 又棱台的高， 所以. 【小问2详解】 设点到平面的距离为, 因为底面，底面， 所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以， 在直角梯形中，可得, 由可得，, 即，解得. 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 【答案】（1），平均每周课外阅读时长为小时； （2）人； （3）小时． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合频率分布直方图的平均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2）求得课外阅读时长在和的频率分别为和，结合分层抽样的方法，即可求解； （3）根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 可得， 则平均每周课外阅读时长（小时）. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为， 其中课外阅读时长在的频率为， 若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人. 【小问3详解】 解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为， 前4个矩形的面积之和为， 设第分位数位于，设第分位数为，则， 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面平面； （2）探究直线与平面的位置关系，并说明理由； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面平面； （2）平面，理由如下： 取的中点，连接， 因为，，分别是，，的中点． 所以，，且，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）先得到，⊥，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线线平行，即可证线面平行； （3）作出辅助线，找到二面角的平面角，结合余弦定理求出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，故， 由勾股定理得，， ， 由可知，， 过点作⊥于点，则， 由勾股定理得， 过点作，则⊥， 连接，因为，所以⊥，， 故即为二面角的平面角， 因为，所以，所以， ， 在中，，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，，二面角的正弦值为. 18. 记的内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）若的面积为，是边上的点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给条件及余弦定理求出关系，得到，即可求出； （2）由三角形面积可求出，再由三角形面积公式及即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由余弦定理及可得，， 即，故 所以，又， 所以. 【小问2详解】 由，解得， 则， 因为， 所以 ， 所以. 19. 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）若在上的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程存在三个相邻实根，，（其中），且，求． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）恒等变换得到，从而求出函数对称轴方程； （2）结合余弦函数图象特征得到最值，求出取值范围； （3）求出，得到方程的根，得到相邻两根的差，结合得到方程，求出答案. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，解得， 故的对称轴方程为； 【小问2详解】 由题意得，，， 其中，当，时， 取得最小值，最小值为，此时或， 当，时，取得最大值，最大值为， 此时，得到的取值范围是； 【小问3详解】 由题意得， 即，故， 所以或， 故相邻两根之差为， 或， 三个相邻实根，，（其中），且， 即，故， 其中，若，解得，满足题意； 若，解得，不合题意，舍去； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $