2.1 第1课时　不等关系与比较大小 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“不等关系与比较大小”，通过城市楼房高度、限重标志等生活实例导入，引导学生从实际问题中抽象出不等关系，借助符号语言转换、作差法比较大小等支架，衔接等式性质与不等式性质的知识脉络。 其亮点在于模块清晰，含基础知识梳理、典型例题精析及分层演练，通过购车预算、旅游包车优惠等实例，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可依托结构化内容高效开展教学。

2.1　 等式性质与不等式性质 新课程标准解读 核心素养 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象 2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不 等式的性质 逻辑推理 第1课时　 不等关系与比较大小 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　（1）如图，某城市的楼房有高、有矮，有的高度相同； （2）我们经常看到如下标志： 目录 数学·必修第一册 【问题】　它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　不等关系与不等式 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于等于， 至少，不低 于 小于等于， 至多，不超 过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 目录 数学·必修第一册 知识点二　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 如果 a － b 是正数，那么 ⁠ ⁠ a － b ＞0⇔ ⁠ 如果 a － b 等于0，那么 ⁠ a － b ＝0⇔ ⁠ 如果 a － b 是负数，那么 ⁠ ⁠ a － b ＜0⇔ ⁠ a ＞ b 　 a ＞ b 　 a ＝ b 　 a ＝ b 　 a ＜ b 　 a ＜ b 　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化 为完全平方的形式或多个因式的积的形式；（2）对于两个正值，也 可采用作商的方法，比较商与1的大小；（3）对于某些问题也可采用 取中间值的方法比较大小. 目录 数学·必修第一册 知识点三　重要不等式 一般地，∀ a ， b ∈R，有 a2＋ b2≥ ，当且仅当 时， 等号成立. 2 ab 　 a ＝ b 　 1. 某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该 桥，应使车货总质量 T （单位：吨）不超过40，则用不等式表示为 （　　） A. T ＜40 B. T ＞40 C. T ≤40 D. T ≥40 解析： 　限重就是不超过，可以直接建立不等式 T ≤40. 目录 数学·必修第一册 2. 已知 a ∈R， p ＝（ a －1）（ a －3）， q ＝（ a －2）2，则 p 与 q 的 大小关系为（　　） A. p ＞ q B. p ≥ q C. p ＜ q D. p ≤ q 解析： 　因为 p ＝（ a －1）（ a －3）， q ＝（ a －2）2，所以 p － q ＝（ a －1）（ a －3）－（ a －2）2＝ a2－4 a ＋3－（ a2－4 a ＋ 4）＝－1＜0.所以 p ＜ q . 目录 数学·必修第一册 3. 已知 x ， y ∈R，且 x2＋ y2＝4，则 xy 的最大值是 ⁠. 解析：∵ x2＋ y2≥2 xy 且 x2＋ y2＝4，∴2 xy ≤4，即 xy ≤2，∴ xy 的 最大值为2. 2　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超 过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的 A 型汽车和 B 型 汽车，根据需要， A 型汽车至少买5辆， B 型汽车至少买6辆，写出满 足上述所有不等关系的不等式（组）. 解：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、 y 辆，则 目录 数学·必修第一册 通性通法 用不等式（组）表示不等关系的步骤 （1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大 于等； （2）适当地设未知数表示变量； （3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 提醒　此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关 系，如由变量的实际意义限制的范围. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划 从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设 x 个月后他至 少有400元，则可以用于计算所需要的月数 x 的不等式是 ⁠ ⁠. 解析：由题意知， x 个月后所存的钱数为（30 x ＋60）元，由于存的 钱数不少于400元，故不等式为30 x ＋60≥400. 30 x ＋ 60≥400　 目录 数学·必修第一册 题型二 比较两数（式）的大小 【例2】　已知 x ≤1，比较3 x3与3 x2－ x ＋1的大小. 解：3 x3－（3 x2－ x ＋1）＝（3 x3－3 x2）＋（ x －1）＝ 3 x2（ x －1）＋（ x －1）＝（3 x2＋1）（ x －1）. 由 x ≤1得 x －1≤0，而3 x2＋1＞0， ∴（3 x2＋1）（ x －1）≤0， ∴3 x3≤3 x2－ x ＋1. 目录 数学·必修第一册 通性通法 作差法比较大小的步骤 提醒　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方 法、有理化法等. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　比较2 x2＋5 x ＋3与 x2＋4 x ＋2的大小. 解：（2 x2＋5 x ＋3）－（ x2＋4 x ＋2）＝ x2＋ x ＋1＝ ＋ . ∵ ≥0，∴ ＋ ≥ ＞0， ∴（2 x2＋5 x ＋3）－（ x2＋4 x ＋2）＞0， ∴2 x2＋5 x ＋3＞ x2＋4 x ＋2. 目录 数学·必修第一册 题型三 不等关系的实际应用 【例3】　某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如 果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属 团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试 根据单位职工的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 目录 数学·必修第一册 解：设该单位职工有 n 人（ n ∈N*），全票价为 x （ x ＞0）元，坐甲 车队的车需花 y1元，坐乙车队的车需花 y2元. 由题意，得 y1＝ x ＋ x （ n －1）＝ x ＋ nx ， y2＝ nx . 因为 y1－ y2＝ x ＋ nx － nx ＝ x － nx ＝ x ， 当 n ＝5时， y1＝ y2； 当 n ＞5时， y1＜ y2； 当 n ＜5时， y1＞ y2. 所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车 队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后 把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 2. 与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转 化到实际问题中去，得出解决问题的方案. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　某公司有20名技术人员，计划开发 A ， B 两类共50件电子器件，每 类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值 （万元/件） A 类 7.5 B 类 6 目录 数学·必修第一册 今制订计划欲使总产值最高，则 A 类电子器件应开发 件，最高 产值为 万元. 解析：设应开发 A 类电子器件 x 件，则开发 B 类电子器件（50－ x ） 件.根据题意，得 ＋ ≤20，解得 x ≤20.由题意，得总产值 y ＝ 7.5 x ＋6（50－ x ）＝300＋1.5 x ≤330，当且仅当 x ＝20时， y 取最大 值330.所以欲使总产值最高， A 类电子器件应开发20件，最高产值为 330万元. 20　 330　 目录 数学·必修第一册 1. 实数 x 大于 ，用不等式表示为（　　） 目录 数学·必修第一册   解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即 “＞”，∴ 　 目录 数学·必修第一册 3. 不等式 a2＋4≥4 a 中，等号成立的条件为 ⁠. 解析：令 a2＋4＝4 a ，则 a2－4 a ＋4＝0，即（ a －2）2＝0，∴ a ＝2. 4. 已知 a ， b ∈R， x ＝ a3－ b ， y ＝ a2 b － a ，试比较 x 与 y 的大小. 解：因为 x － y ＝ a3－ b － a2 b ＋ a ＝ a2（ a － b ）＋ a － b ＝（ a － b ）（ a2＋1）， 所以当 a ＞ b 时， x － y ＞0， x ＞ y ； 当 a ＝ b 时， x － y ＝0， x ＝ y ； 当 a ＜ b 时， x － y ＜0， x ＜ y . a ＝2　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程 中，同一车道上的车间距 d 不得小于10 m，用不等式表示为（　　） A. v ≤120（km/h）或 d ≥10 （m） C. v ≤120（km/h） D. d ≥10（m） 解析： 　最大限速与车距是同时的，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知 a ＞0， b ＞0， M ＝ ＋ ， N ＝ ，则（　　） A. M ＞ N B. M ＝ N C. M ＜ N D. 不能确定 解析： 　易知 M ＞0， N ＞0，因为 M2－ N2＝（ ＋ ）2－ （ ）2＝2 ＞0，所以 M ＞ N . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （多选）下列说法正确的是（　　） A. 某人月收入 x 不高于2 000元可表示为“ x ＜2 000” B. 小明的体重为 x kg，小华的体重为 y kg，则小明比小华重可表示为 “ x ＞ y ” C. 某变量 x 至少为 a 可表示为“ x ≥ a ” D. 某变量 y 不超过 a 可表示为“ y ≤ a ” 解析： 对于A， x 应满足 x ≤2 000，故A错；B、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知 P ＝ a2－4 a ＋3， Q ＝－4 a ＋1，则 P 与 Q 的大小关系为 ⁠ ⁠. 解析：∵ P － Q ＝（ a2－4 a ＋3）－（－4 a ＋1）＝ a2－4 a ＋3＋4 a －1＝ a2＋2.∵ a2≥0，∴ a2＋2＞0，即 P － Q ＞0，∴ P ＞ Q . P ＞ Q 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知 a ＞0， b ＞0，求证：（ a2＋ b2）2≥4 a2 b2，当且仅当 a ＝ b 时等号成立. 证明：（ a2＋ b2）2－4 a2 b2＝ a4＋ b4＋2 a2 b2－4 a2 b2＝ a4＋ b4－2 a2 b2＝（ a2－ b2）2≥0，当且仅当 a2＝ b2时取等号. 又 a ＞0， b ＞0，∴（ a2＋ b2）2≥4 a2 b2，当且仅当 a ＝ b 时等号 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 四位好朋友在一次聚会上，按照各自的爱好选择了形状不同、内 空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们 约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为 h1， h2， h3， h4，则它们的大小关系正确的是（　　） A. h2＞ h1＞ h4 B. h1＞ h2＞ h3 C. h3＞ h2＞ h4 D. h2＞ h4＞ h1 解析： 　根据四个杯的形状分析易知 h2＞ h1＞ h4， h2＞ h3＞ h4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知 a ， b ∈R，若 ab ＝1，则 a2＋ b2的最小值是 ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时取得最小值. 解析：由重要不等式得 a2＋ b2≥2 ab ＝2，当且仅当 a ＝ b ＝±1时 等号成立. 2　 ±1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商 场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件 优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为 止；乙商场则一律按原价7折酬宾.某单位欲为每位员工购买一件 该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解：设该单位共需购买 x 件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付 款 y 元， z 元. 依题意，有 y ＝ z ＝80×70% x ＝56 x （ x ≥1， x ∈Z）. 若1≤ x ≤10， x ∈Z，则 y － z ＝（80－4 x ） x －56 x ＝4 x （6－ x ）. 当1≤ x ≤5， x ∈Z时，6－ x ＞0，∴ y － z ＞0，即 y ＞ z ； 当 x ＝6时， y － z ＝0，即 y ＝ z ； 当7≤ x ≤10， x ∈Z时，6－ x ＜0，∴ y － z ＜0，即 y ＜ z . 若 x ＞10， x ∈Z，则 y － z ＝40 x －56 x ＝－16 x . ∵－16 x ＜0，∴ y ＜ z . 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰 为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲 商场购买更合算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $