4.1.2 垂线-课件-2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心知识点，涵盖定义、性质、点到直线距离等内容。课堂导入通过观察图片中直线位置关系，结合转动木条操作，引导学生从直观感知夹角变化过渡到抽象概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以操作探究和生活应用为特色，通过转动木条观察90°位置培养几何直观，作图实践强化空间观念，生活应用题如村庄修最短小路发展模型意识。分层练习与易错点解析帮助学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

华东师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 4.1.2 垂线 第四章 相交线和平行线 核心知识点梳理：1. 垂线定义：两条直线相交，如果夹角为$$90^\circ$$，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。2. 垂线基本性质（两大必考）：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上、直线外）；②垂线段最短。3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（易错：距离是长度，不是线段本身）4. 垂线段与垂线区别：垂线是直线，无限延伸；垂线段是线段，可度量长度。5. 垂直符号：用“⊥”表示，如$$a\perp b$$。6. 高频易错点：混淆垂线段和点到直线的距离、认为过一点可作多条垂线、分不清垂线与垂线段。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 两条直线互相垂直，它们的夹角是（） A. $$60^\circ$$ B. $$90^\circ$$ C. $$120^\circ$$ D. $$180^\circ$$ 2. 关于垂线的说法正确的是（） A. 过一点可以作无数条直线与已知直线垂直 B. 垂线是可以测量长度的线段 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 不相交的两条直线就是垂线 3. 点到直线的距离是指（） A. 点到直线的任意线段 B. 点到直线的垂线段的长度 C. 点到直线的垂线段 D. 直线的长度 4. 从直线外一点向直线连线，最短的是（） A. 斜线段 B. 垂线段 C. 任意线段 D. 无法确定 5. 若直线$$AB\perp CD$$，垂足为O，则下列角度正确的是（） A. $$\angle AOC=90^\circ$$ B. $$\angle AOC=60^\circ$$ C. $$\angle BOD=45^\circ$$ D. $$\angle AOD=120^\circ$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两条直线相交成________度时，两条直线互相垂直。 2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短。 3. 过一点有________条直线与已知直线垂直。 4. 点到直线的距离是指垂线段的________，不是垂线段本身。 5. 若直线$$a\perp b$$，则两条直线的夹角为________°。 三、解答题（共60分） 解题要求：区分垂线、垂线段、点到直线距离概念，熟练运用垂线性质解题 1.（20分）基础计算题： 直线AB、CD相交于点O，$$AB\perp CD$$，求∠AOC、∠BOD、∠BOC的度数。 2.（20分）概念简答题： 请说明“垂线段”和“点到直线的距离”的区别与联系。 3.（20分）生活应用题： 要从村庄P修一条最短的小路通向公路，应该怎么修？依据什么数学原理？ 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：垂直的定义：两直线相交夹角为90°，互相垂直。 2. C 解析：垂线核心性质，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线是直线，不可度量。 3. B 解析：距离是长度，属于数值，不是图形，特指垂线段的长度。 4. B 解析：垂线段最短是垂线核心定理，所有连线中垂线段长度最小。 5. A 解析：两直线垂直，四个夹角均为90°。 二、填空题 1. 90 2. 垂线段 3. 且只有一 4. 长度 5. 90 三、解答题 1. 解： ∵$$AB\perp CD$$，垂足为O ∴$$\angle AOC=\angle BOD=\angle BOC=90^\circ$$ 答：三个角的度数均为90°。 2. 解：区别：垂线段是几何图形（线段）；点到直线的距离是垂线段的长度（数值），不是图形。 联系：点到直线的距离，依托垂线段定义，距离的数值就是垂线段的长度。 3. 解：修路方法：从村庄P向公路作垂线段，沿着这条垂线段修路最短。 依据：垂线段最短。 总结：本节核心口诀：九十度角叫垂直，过点垂线唯一出；垂线段短是定理，距离是长不是图。重点掌握垂直定义、两大垂线性质、距离概念辨析，是几何作图、生活应用题、角度计算高频考点，也是后续平行线学习的基础。 观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？ 情景引入 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b a b ） α 垂线的概念 问题： （1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变 a与b所成的角也随之发生改变 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b 问题： （2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？ a b ） α a与b垂直 定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直. 记作：AB⊥CD或m⊥l 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2） 垂直的定义及表示方法 A B C D O （2） B C D O （1） A l m 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 记作：AB⊥CD于点O A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时， 那么AB⊥CD. 因为∠AOD=90°（已知） , 所以AB⊥CD（垂直的定义） 垂线的判定 符号语言： 若直线AB与CD垂直,垂足为O， 则∠AOD=90° 因为 AB⊥CD （已知） , 所以 ∠AOD=90°（垂直的定义） (或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) A B C D O 垂线的性质 7 如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______. 若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______. 如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______. O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 图1 图2 牛刀小试 4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？ 经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？ 垂线的画法及基本事实 试一试 P B A (1) (2) P A B B 问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？ O 如图，已知直线 AB,作AB的垂线. 无数条 1.落 2.靠 3.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线. 根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？ 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 特殊的直线 如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB. A B C D O // // 此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线） 垂直平分线又可称为中垂线 如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上． （1）画直线 DE⊥OB; （2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F． 解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线. （2）如图②所示，直线DF为所求作的直线. 牛刀小试 探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. 1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 简述：垂线段最短. 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. 规定： 作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 垂线段 思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 牛刀小试 知识点1 垂线 （第1题） 1. 如图，直线，相交于点 ，在下列 条件中，能说明 的有( ) B ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 中考考法 21 （第2题） 2. 如图是光的反射规律 示意图.是入射光线， 是反射光 线，法线， . 若，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 22 （第2题） 【点拨】设 ，则 .因为 ， 所以 ， ，所以 .所以 . 所以 .所以 . 中考考法 23 3. 已知，直线经过点且 ，则 等于( ) C A. B. C. 或 D. 中考考法 24 【点拨】如图①，当 在 的内部时，因为 ， ，所 如图②，当在 的外部时， . 故选C. 所以 . 以 ， 中考考法 25 知识点2 垂线的画法 4. 下列各图中，过点画直线的垂线 ，用三角板或量角 器操作正确的是( ) B A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 中考考法 26 5. 如图，的一边在网格线上，另一边经过点 ， 点和点 均为格点.请完成下列各题： 中考考法 27 （1）过点作的垂线，垂足为点 ； 【解】如图所示． 中考考法 28 （2）过点作的垂线，交于点 ； 如图所示. 中考考法 29 （3）找出图中与 相等的角 （不再添加字母）：_______，理由是 _________________. 同角的余角相等 【点拨】因为 ,所以 .因为 ,所以 .所以 .所以图中与 相等的角为 .理由是同角的余角相等. 中考考法 30 知识点3 垂线的基本事实 6. 下列说法正确的是( ) D A. 过线段外一点不一定能作出它的垂线 B. 过直线外一点和直线上一点可画一条直线与 垂直 C. 只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直 D. 过任意一点均可作一条直线的垂线 中考考法 31 知识点4 垂直平分线 （第7题） 7. 如图，在三角形中， 的垂直平分 线与边，分别交于点， ，且 .已知三角形与三角形 的 周长分别为和，则 的长为___ ，若，则三角形 的面积 为____ . 4 10 中考考法 32 （第7题） 【点拨】因为是 的垂直平分线，所以 ， .因为三角形 的周长是 ,所以 .因为 ，所 以 ，所以 .因为三角形的周长是 ,所以 ，所以 ，所以 中考考法 33 .因为 , ,所以三角形 的面积为 . （第7题） 中考考法 知识点5 垂线段及点到直线的距离 （第8题） 8. 如图，三角形中， , 于点，若， ， ，则点到直线 的距离是 ( ) A A. B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 35 9. 点为直线外一点，点,,为直线 上三点， ，，，则点到直线 的距离 ( ) D A. 等于 B. 等于 C. 小于 D. 不大于 中考考法 36 10. 如图，平原上有,,, 四个村庄， 为解决当地缺水问题，政府准备投资 修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定 【解】如图，连结，，交于点 ， 则点 为蓄水池的位置，它到四个村庄 的距离之和最小. 蓄水池 的位置，使它到四个村庄的距离之和最小. 中考考法 37 （2）计划把河水引入蓄水池 中， 怎样开渠最短？并说明根据. 如图，过点作,垂足为 ， 则沿 开渠最短.根据：连结直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂 线段最短. 中考考法 38 （第11题） 11. 如图， 是一条水 平线，把一头系着小球的线一端固定 在点处，小球从到 由左向右摆动， 在这一过程中，系小球的线在水平线 下方部分的长度变化是( ) C A. 从大变小 B. 从小变大 C. 从小变大再变小 D. 从大变小再变大 中考考法 39 （第12题） 12. 如图，点 为直线上一点，过点作射线 ， 使 .将直角三角板 绕点旋转一周，当直线与直线 互相垂直时， 的度数是_______ ______. 或 中考考法 40 【点拨】因为 ， 所以 . 当在直线的左侧时，如图②.因为 ，所以 .所以 .故答案 为 或 . 当在直线的右侧时，如图①.因为 ，所以 .所以 ； 中考考法 41 解题时易忽略分 在直线的右侧和 在直线 的左侧两种情况导致漏解. . . . . . . 中考考法 42 课堂小结 垂线 垂线的定义 交角90° 垂线的画法 利用三角板或量角器画：一落、二靠、三移、四画 垂线的性质 有且只有 线段最短 点到直线的距离 垂线段的长度 $