山东济南市2025-2026学年高一下学期7月期末学情检测数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2026年春季学期高一期末学情检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D.6 4.已知5个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5个数的方差为（ ） A.2 B.2.5 C.4 D.5 5.在中，，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 6.为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D，现测得米，在C点测得塔顶A的仰角为，在D点测得塔顶A的仰角为，且，则信号塔的高度为（ ） A.50米 B.100米 C.米 D.200米 7.在正方体中，E，F分别是，中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8.已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是（ ） A.抛掷10次，事件“正面朝上”发生的次数可能是10 B.抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥 C.抛掷2次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为 D.抛掷2次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立 10.已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，l与m，n都相交，则 11.已知圆O的内接四边形，，，与交于点M，则下列说法正确的是（ ） A. B.若，则 C.若，则的最大值为3 D.若，则四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或3”，“向上的点数是1或5”，则______． 13.已知，，且，则向量与的夹角为______． 14.在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； （2）若根据各组频率的比例采用分层抽样的方法，从成绩在，内的志愿者中共抽取6人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法选出2人作为队长，请用适当的符号表示抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率． 16.（15分） 已知复数，，且是纯虚数． （1）求a； （2）求； （3）求的值． 17.（15分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若的角平分线交于点D，且． （ⅰ）求； （ⅱ）求的值． 18.（17分） 如图，已知矩形，，，E是的中点，将沿折起，使得点D到达点P的位置，并连接，． （1）若的中点为F，证明：平面； （2）若四棱锥的体积为． （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． 19.（17分） 2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战袍威风十足．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面向的方向沿直线行走距离r． （1）已知机器人甲位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向，机器人甲执行1次指令，移动到点． （ⅰ）求的值； （ⅱ）机器人甲按照指令继续移动，机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，两机器人恰好移动到同一点T，求的值； （2）已知机器人丙位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向． （ⅰ）若机器人丙连续执行3次（1）中的指令，移动到点M，求点M的坐标； （ⅱ）若机器人丙依次执行99次指令，第i次执行指令，其中，移动到点N，求点N到原点O的距离． 2026年春季学期高一期末数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A C B D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 （1）由频率分布直方图可得，，解得． 所以6组数据，，，，， 的频率依次为0.1，0.15，0.15，0.3，0.25，0.05， 所以前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 故中位数在区间内．设中位数为x， 由，得到．因此，中位数为． （2）根据频率可得，数在，的两组志愿者分别有25人，5人，故按照分层抽样，抽得的志愿者人数为5，分别设为a，b，c，d，e，志愿者人数为1，设为f． 这6人中选出2人，样本空间为， 设选出的两人来自同一组为事件A，则 ，， 故选出的两人来自同一组的概率为． 16.【解析】 （1）由条件可得，若是纯虚数， 则满足，解得． （2）由（1）知，所以， 得到的共轭复数为． （3）由（1）知，根据模的计算公式得，即． 又因为，根据模的计算公式得，即． 所以． 17.【解析】 解：（1）由，可设，，， 则． 因为，所以． （2）因为，所以， 解得．又因为，所以，． 因为，所以， 即，解得． （3）由角平分线定理得，所以，． 在中，． 所以． 18.【解析】 （1）取PA中点L，连接EL，LF，由题意可知，，且， 又因为，且，则，且，则四边形ECFL是平行四边形， 则，又因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE． （2）（ⅰ）取AE中点H，连接PH， 由题意可知，中，，，所以． 设四棱锥的高为h，则． 因为，， 所以求得，即，所以平面ABCE， 因为平面ABCE，所以． 由题意可知，中，，， 所以，所以，又因为，所以平面PAE． （ⅱ）记直线PA与平面PBC所成的角为，点A到平面PBC的距离为d，则． 因为，，所以． 取BC中点G，连接HC，HG，HB， 由题意可知为直角三角形，且，，，所以， 又因为平面ABCE，所以， 因为，所以，同理， 因为，可得， 因为，所以， 所以，即直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为． 19.【解析】（1）（ⅰ），，解得， （ⅱ）由（ⅰ）知：甲初始位置位于点，， 若机器人甲按照指令继续移动，则， 若机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，则， 在中，由余弦定理知：，所以． 由正弦定理知：，解得：，． （2）（ⅰ）指令即，第一次执行指令，移动到点； 第二次执行指令，移动到点； 第三次执行指令，移动到点； 即M点坐标为； （ii）第i次执行指令，即在第次的基础上横坐标增加，纵坐标增加， 则N点横坐标为 则N点纵坐标为 即， 所以点N到原点O的距离为 学科网（北京）股份有限公司 $