2.7 导数的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.7    导数的应用

[课时跟踪检测]

1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V（x）=x2（0<x<60），则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为              （　　）

A.30 B.40

C.50 D.55

解析：选B　由题意得V'（x）=-x2+60x=-x（x-40），因为0<x<60，所以当0<x<40时，V'（x）>0，V（x）单调递增；当40<x<60时，V'（x）<0，V（x）单调递减.所以V（40）是V（x）的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40.

2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 （　　）

A.6 m B.8 m 

C.4 m D.2 m

解析：选C　设水箱的底面边长为x m，高为h m，则有x2h=256，所以h=.

设所用材料的面积为S m2，则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2，

所以S'=2x-，令S'=0，得x=8，

当x∈（0，8）时，S'<0，当x∈（8，+∞）时，S'>0，即x=8时S取得最小值.

因此当h==4，即高为4 m时，所用材料最省.

3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于              （　　）

A. B.

C. D.

解析：选C　设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，则圆柱形工件的体积为V（h）=πr2h=πh，则V'（h）=π，令V'（h）=0得h=R或-R（舍）.当0<h<

R时，V'（h）>0，当h>R时，V'（h）<0，所以当h=R时，圆柱的体积最大，最大值为π· R·= R3，所以材料利用率为=.

4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器，大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体，底面半径原为12 cm，且以1 cm/s等速率缩小，而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中，底面半径为10 cm时，体积最大，则其体积最小时底面半径为              （　　）

A.7 cm B.6 cm

C.5 cm D.4 cm

解析：选D　设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm，t s时的体积为V（t），

则V（t）=π（12-t）2（a+20t），0≤t≤8.

所以V'（t）=[-2（12-t）（a+20t）+20（12-t）2]π.

令12-t=10，解得t=2，因为当底面半径为10 cm时，V（t）最大，所以V'（2）=0，得a=60.

所以V（t）=20π（12-t）2（3+t），0≤t≤8，V'（t）=60π（t-12）（t-2）.

当V'（t）>0，即t∈（0，2）时，V（t）单调递增；

当V'（t）<0，即t∈（2，8）时，V（t）单调递减.

因为V（0）=8 640π，V（8）=3 520π，所以当t=8时，V（t）有最小值3 520π，此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm.

5.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1 200+x3，P=，则总利润最大时，x=              （　　）

A.25 B.26 

C.24 D.28

解析：选A　总利润L（x）=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200（x>0），

由L'（x）=-x2+=0，得x=25.

令L'（x）>0，得0<x<25，令L'（x）<0，得x>25.