2.7 导数的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.7 导数的应用 [课时跟踪检测] 1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V（x）=x2（0<x<60），则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为 （　　） A.30 B.40 C.50 D.55 解析：选B　由题意得V'（x）=-x2+60x=-x（x-40），因为0<x<60，所以当0<x<40时，V'（x）>0，V（x）单调递增；当40<x<60时，V'（x）<0，V（x）单调递减.所以V（40）是V（x）的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40. 2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 （　　） A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 解析：选C　设水箱的底面边长为x m，高为h m，则有x2h=256，所以h=. 设所用材料的面积为S m2，则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2， 所以S'=2x-，令S'=0，得x=8， 当x∈（0，8）时，S'<0，当x∈（8，+∞）时，S'>0，即x=8时S取得最小值. 因此当h==4，即高为4 m时，所用材料最省. 3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，则圆柱形工件的体积为V（h）=πr2h=πh，则V'（h）=π，令V'（h）=0得h=R或-R（舍）.当0<h<R时，V'（h）>0，当h>R时，V'（h）<0，所以当h=R时，圆柱的体积最大，最大值为π· R·= R3，所以材料利用率为=. 4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器，大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体，底面半径原为12 cm，且以1 cm/s等速率缩小，而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中，底面半径为10 cm时，体积最大，则其体积最小时底面半径为 （　　） A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 解析：选D　设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm，t s时的体积为V（t）， 则V（t）=π（12-t）2（a+20t），0≤t≤8. 所以V'（t）=[-2（12-t）（a+20t）+20（12-t）2]π. 令12-t=10，解得t=2，因为当底面半径为10 cm时，V（t）最大，所以V'（2）=0，得a=60. 所以V（t）=20π（12-t）2（3+t），0≤t≤8，V'（t）=60π（t-12）（t-2）. 当V'（t）>0，即t∈（0，2）时，V（t）单调递增； 当V'（t）<0，即t∈（2，8）时，V（t）单调递减. 因为V（0）=8 640π，V（8）=3 520π，所以当t=8时，V（t）有最小值3 520π，此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm. 5.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1 200+x3，P=，则总利润最大时，x= （　　） A.25 B.26 C.24 D.28 解析：选A　总利润L（x）=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200（x>0）， 由L'（x）=-x2+=0，得x=25. 令L'（x）>0，得0<x<25，令L'（x）<0，得x>25. 所以L（x）在（0，25）上单调递增，在（25，+∞）上单调递减，故当x=25时，总利润最大. 6.（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为　　　　.  解析：不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r，其高为h，则由其容积为27π可得27π=πr2×h，即h=，故该无盖圆柱形水桶的表面积 S=πr2+2πrh=πr2+， 令y=πr2+（r>0），则y'=， 当0<r<3时，y'<0，此时该函数单调递减，当r>3时，y'>0，该函数单调递增， 故当r=3时，y=πr2+（r>0）取得最小值，也即该水桶用料最省. 答案：3 7.（5分）某银行准备开设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x（x∈（0，4.8%）），则使银行获得最大收益的存款利率为　　　　.  解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2， 所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3（x∈（0，4.8%）），故y'=0.096kx-3kx2， 令y'=0，解得x=0.032或x=0（舍去）， 当0<x<0.032时，y'>0， 当0.032<x<0.048时，y'<0. 因此，当x=0.032时，y取得极大值，也是最大值， 即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益. 答案：3.2% 8.（5分）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为　　　　.  解析：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2+h（0<h<2）， 则r2+=1，r2=1-， ∴中空圆柱的体积V=πr2（2+h）=π（2+h）. V'=-π，可得当h∈时，V'>0，当h∈时，V'<0， 则当h=时，V取得最大值为π， 又毛坯的体积为π×12×2+π×13=， ∴该模具体积的最小值为-π=. 答案： 9.（10分）将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少? 解：设一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长为-x， ∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+，则S'=4x-，∴x=时S'=0， 故当0<x<时，S'<0，S单调递减；当<x<时，S'>0，S单调递增； ∴当x=时，S的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 10.（10分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，P，Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. （1）若OP长为x，把蒙古包的体积V表示为x的函数；（4分） （2）求蒙古包体积的最大值.（6分） 解：（1）正六边形的边长a=（0<x<3）， 底面积S=6×a2×sin 60°=（9-x2）， 于是V=V柱+V锥=（9-x2）+×（9-x2）x=-（x3+3x2-9x-27）， 其中0<x<3. （2）∵V（x）=-（x3+3x2-9x-27），0<x<3， ∴V'（x）=-（3x2+6x-9）=-（x2+2x-3）=-（x+3）（x-1）， 当x∈（0，1）时，V'（x）>0，V（x）单调递增， 当x∈（1，3）时，V'（x）<0，V（x）单调递减， 所以当x=1时，V（x）max=16. 综上，当x=1时，蒙古包体积最大，且最大体积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $