四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高二期末数学试卷聚焦二项式定理、导数、数列、概率统计等核心知识，通过“数字适老”“数学建模竞赛”等现实情境，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力，解答题分层设计，兼顾基础巩固与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|二项式系数、导数切线、数列递推|基础概念辨析，如第5题以学习积分考概率期望| |多选|3/18|二项式展开、等差数列性质|多维度考查，如第11题综合函数极值与零点| |填空|3/15|二项式系数、正态分布、函数零点|简洁区分，如14题含参函数零点讨论| |解答|5/77|导数应用、数列求和、统计建模、概率递推|现实情境与综合应用，如17题数学建模竞赛数据分析，19题投篮概率递推模型|

仁寿一中北校区高2024级高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 8. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式，则展开式中的系数为___________． 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 16. 在等差数列和等比数列中，，， （1）求和的通项公式； （2）若的前项和为，，求数列的前项和. 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2024级高二下学期期末考试 数学试题答案及解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 216 【答案】A【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】，， ，，解得． 3. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 由导数的几何意义可得，解得，所以，则，即切点为， 故所求切线的方程为，即. 4. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意，，，，，… 故数列周期为4，则.故选：B 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 6. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以，所以，所以． 7. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 【答案】C【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有，将这三组人数分别分配到3个活动项目中去，所以共有种分配方式. 8. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B【详解】解法1：，由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为，由， 则由，可得①，且，即②， 联立①②解得.验证：当时，，则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减；，且， 且当，；当，；作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 解法2：由选项知，则定义域为，由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故满足题意，由选项唯一可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 的项的系数是 C. 有理项是第3项，第6项 D. 通项为 【答案】BD【详解】易知的展开式的通项为 ，， 又第6项为常数项，即时，，所以A项错误； 则通项，，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 【答案】ABD【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得，所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得 当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点， 故A正确；因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二项式，则展开式中的系数为___________． 【答案】 【详解】展开式的通项，其中， 令，得，的系数为． 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】或者． 【详解】因为，所以，因此．故答案为：． 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以，解得. 当时，，所以在上存在一个零点， 因为，所以在上也存在一个零点.综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性和极值点． 【答案】（1） （或写为 ） （2）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 【小问1详解】当时，，．且，． 曲线在点处的切线方程为，即得． 【小问2详解】．当时，，是增函数，无极值点； 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 16. 在等差数列和等比数列中，，， （1）求和的通项公式； （2）若的前项和为，，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，所以，. 【小问2详解】，则， . 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 （3） 【小问1详解】该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; 【小问2详解】从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问3详解】由题意知，，则，. 令，当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） （3） 【小问1详解】当时，，令，解得， 易知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】，则， 又，所以在点处的切线方程为：， 即，由，消去得， 由题意，解得，经验证符合题意，故，切线方程为：； 【小问3详解】当时，恒成立， 即在上恒成立，当时，显然不等式成立，则， 当时，参变分离可得：恒成立， 设，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，则，综上，实数的取值范围为. 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】设，依题可知，，则 ， 即，构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】因为，， 所以当时，， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $