四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

2023级高二下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知为等差数列的前n项和，若，=21，则的值为 A．6 B．7 C．8 D．9 2．在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（    ）． A．，6 B．2，1 C．，6或2，1 D．，7 3．若是等差数列，且，，则（    ） A．39 B．20 C．19.5 D．33 4．对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（    ） A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7 5．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．设分别为等比数列，的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列 10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，且，，则 C．若是等差数列，则 D．若，则是等比数列 11．下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列 B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 C．若为等差数列，，，则前项和有最大值 D．若数列满足，则 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．在等比数列中，，，则 . 13．已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝ . 14．已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．已知等差数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值. 16．已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若且，求数列的前项和. 17．设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有. （1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式． （2）求数列的前n项和. 18、在①S3＝9，S5＝20；②公差为2，且S1，S2，S4成等比数列；③8n；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前项和为Sn，______． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令cn＝[log2an]，其中[x]表示不超过．x的最大整数，求c1+c2+⋯+c20的值． 19、已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足an． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围 2023级高二下学期期末考试 数学答案 1-5 DCDCD 6-8 ACD 9-11 AB ACD 12【答案】/ 13【答案】n2+2n+1﹣2 14【答案】28 15【答案】（1）（2）10 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前项和公式求出，从而求出此数列的正数项，进而可确定取得最大值时的值. 【详解】设差等数列公差为，依题意有. 解之得，则， 故的通项公式为：. （2）由，得， 所以，即，由，故， 故取最大值时的值为10. 16【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可； （2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以. 因为，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知，，所以. 因为，当时，，所以， 当时，也符合，所以，所以， 所以，① ，② ①-②，得， 所以. 17【答案】（1）见解析 ； （2）. 【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为，即可得到，证得数列为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用“乘公比错位相减法”，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，数列满足， 当时，则，解得， 当时，则，整理得， 所以，即，即， 又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，解得， 即数列的通项公式为． （2）由（1）可得， 设， ， 所以， 又由， 所以数列的前n项和为： ． 18、 解： 选①：（1）设{an}的公差为d，则，由已知可得，解得a1＝2，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝n+1； （2） 由cn＝[log2an]知，所以c1+c2+⋯+c20＝1×2+2×4+3×8+4×6＝58； 选②：（1）因为S1＝a1，，，由题意得，解得a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1， （2）由cn＝[log2an]知，cn，所以c1+c2+⋯+c20＝0+1×1+2×2+3×4+4×8+5×4＝69； 选③：（1）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n+5，当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝6n+5，所以数列{an}的通项公式为an＝6n+5； （2）由cn＝[log2an]知，，所以c1+c2+⋯+c20＝3+4×3+5×5+6×11＝106． 19、 解：（1）由an，则Sn﹣Sn﹣1，则1，又a1＝1，则，即数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，即1+（n﹣1）×1＝n，即当n≥2时，an＝n+（n﹣1）＝2n﹣1，又a1＝1，满足上式，即an＝2n﹣1； （2）由（1）得，则Tn，即4Tn＝2（1）＜2，又对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，则a2﹣a≥2， 则a≤﹣1或a≥2，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$