2.2.1 直线的倾斜角与斜率（第二课时）——2026-2027学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册（共30页PPT）

该高中数学课件聚焦直线的方向向量与法向量，通过联系旧知（两点、斜率表示直线）引入向量新工具，构建从几何直观到向量描述的知识支架，帮助学生衔接新旧内容。 其亮点在于以“尝试与发现”引导探究，结合数学抽象（概念理解）、数学计算（求斜率、倾斜角）和逻辑推理（方向向量与法向量垂直关系），通过例题与分层练习巩固。学生能提升核心素养，教师可借助清晰逻辑实施教学，提高效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 （第二课时） 第二章 平面解析几何 1 学习目标 理解直线的方向向量和法向量的概念，体现数学抽象能力（重点） 会求直线的方向向量和法向量，并且可以解决实际问题，体现数学计算能力（重难点） 2 新课导入 之前我们只会用两点、斜率表示直线.现在学了平面向量，我们拥有两种全新描述直线的工具： 1.平行于直线的方向向量； 2.垂直于直线的法向量. 本节课我们一起学习它们的定义、求法与应用. 3 新课学习 直线的方向向量的概念 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l. 4 新课学习 直线l的方向向量的性质 1.如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量 λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线； 2.如果A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线l上两个不同的点，则 是直线l的一个方向向量. 5 新课学习 举个例子： a=(1,0) 是所有倾斜角为0∘（即与y轴垂直）的直线的一个方向向量， b=(0,1) 是所有倾斜角为90∘（即与x轴垂直）的直线的一个方向向量， c=(1,1) 是所有倾斜角为45∘的直线的一个方向向量，如图所示 . 6 新课学习 7 新课学习 尝试与发现：(2)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，斜率为k，你能写出直线l的一个方向向量吗？ 8 新课学习 思考一下：直线l的方向向量与斜率有什么关系？ 9 新课学习 举个例子： 10 新课学习 尝试与发现：(1)如图所示，如果a=(-1,1) 为直线l的一个方向向量，你能写出l的斜率k和倾斜角θ吗？ 当a=(−1,1) 是l的一个方向向量时，若直线l的斜率为k，则 (1,k) 也是直线l的一个方向向量，因此a=(−1,1) 与(1,k)共线. 从而(−1)×k=1×1，从而可求得斜率k=−1. 然后再根据 tan θ=−1 可知 θ=135∘. 11 新课学习 尝试与发现：(2)一般地，如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量，你能由此写出l的斜率k和倾斜角θ吗？ 一般地，如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量，则： 1.当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90∘； 2.当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知 1×v=k×u，从而 ， 12 新课学习 例4：已知直线l通过点A(0,1)与B(1,1−)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角. 由已知可得 是直线l的一个方向向量 . 因此，直线的斜率 13 新课学习 由直线的方向向量确定三点共线 通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，而且一条直线的所有方向向量都共线，因此也可得到： 如果 A，B，C 是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是： 14 新课学习 例5：已知A(−3,−1)，B(1,3)，C(5,8)，判断A，B，C是否共线. 因为 15 新课学习 直线的法向量的概念 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. 16 新课学习 直线的方向向量与法向量的性质 一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，−x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量. 17 新课学习 举个例子： 1.如果a=(1,2)是直线l1的方向向量，则v=(2,-1)就是直线l1的法向量； 2.如果v=(-2,-3)是直线l1的法向量，则a=(-3,2)就是直线l1的方向向量. 18 课堂练习 A 19 课堂练习 C 20 课堂练习 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 C 24 课堂练习 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂总结 1.直线的方向向量 2.直线的方向向量的性质 3.直线的法向量 4.直线的法向量的性质 28 谢 谢 观 看 29 给定平面直角坐标系中的一条直线l，在l上任意取A，B两个不同的点， 显然，向量 也能描述直线l相对于x轴的倾斜程度，如图所示. 此时， 称 是直线l的一个方向向量. 如图所示，因为 ，所以点P的横坐标为 ， 纵坐标为 ，因此 . 尝试与发现：(1)如图所示，设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为 ，设 是直线l的一个方向向量，且 ，你能写出 的坐标吗？ 一般地，如图(1)(2)所示，当 为直线l的倾斜角时，如果 是直线l的一个方向向量，而且 ，则根据三角函数的定义可知点P的坐标为 .这就是说，此时 一定是直线l的一个方向向量. 对于任意的实数 ， 也是直线l的一个方向向量. 当 时，直线的斜率k是存在的，而且 ，因此，此时如果令 ，则可知 也一定是直线l的一个方向向量. 直线l的倾斜角为 ，则 是直线l的一个方向向量； 另一方面，因为直线的斜率为 ，所以 也是直线l的一个方向向量. 与 共线 ， ， 又因为 ，所以 与 不共线，从而A，B，C不共线. 1.已知点 ， ，若向量 是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 解析：直线的斜率 ，所以直线l的倾斜角为 .故选：A. 解析：由直线的方向向量为 可知直线斜率 ，又因为倾斜角 ，且 ，所以 .故选：C 解析：由直线l的倾斜角为 可得直线的斜率为 ，又方向向量 ，即 ，解得 .故选：D 4.已知直线l的一个方向向量为 ，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D. 5.已知直线l的方向向量为 ，则直线l的法向量为( ) A. B. C. D. 解析：因为直线l的方向向量为 ，所以直线l的法向量可以是 或 .故选C. 解析：由方向向量的定义，直线l的一个方向向量为 ， 故答案为： （答案不唯一）. $