福建厦门市2025-2026学年第二学期高一年级数学练习

厦门市2025一2026学年第二学期高一年级 数学练习 满分：150分考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足z(1+2i)=3+4i,则z的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.己知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边 旋转一周形成的面围成的几何体的体积为 1 A.3 B. 2W2 3π C.π D.22元 3.某校面向高一、高二学生开设了绘画、烹饪、网球三门校本课程，各门课程选课人数分 布如表所示： 、课程 年级 绘画课 烹饪课 网球课 高一 20 L 25 高二 10 10 15 学校为了解这三门课程的教学情况，依据课程进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法 抽取了20位学生进行调查，其中选烹饪课的学生有6人，则m的值为 A.10 B.15 C.20 D.25 4.在△ABC中，点M,N满足AM=2MB,BN=NC,若MN=xAB+yAC,则x+y= R 1 C.4 D.3 1 5.设a,B为两个平面，m,n为两条直线，则 A.若m∥a,∥B,则a∥B B.若∥a,a⊥B,则m⊥F C.若mc&,a∩B=n,m⊥n,则a⊥B D.若m∥，/∥B,a∩B=n,则m/∥n 6.已知观测点A位于B港口南偏西20°方向，C港口位于B的南偏东40°方向，一艘轮船 从C出发，以10 n mile/h的速度沿直线CB向B航行，0.6小时后到达D处（尚未到达 B),从A处测得AC=14 n mile,AD=10 n mile.若轮船保持航向和速度不变，则从D 处到达B港口还需航行 A.0.8h B.1h C.1.2h D.1.4h 高一数学第1页（共4页) 7.若随机率件A,B满足P4U8)=子，P(B)=(④，则P(④ B.8 3 c. D.3 8.在四边形ABCD中，AB⊥AD,CB1CD,BD=5,an∠ABD=3 则 BA·BC的最小值为 A.-4 B.-2 C.2 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知一组样本数据为2,2,3,5,5,5,6，若往这组数据中加入两个新数据3和4， 则新样本数据与原样本数据相比 A.极差不变 B.众数变小 C.平均数变大 D.中位数变小 10.已知复数z满足引z=1,则 A.z2=1 B.z·z=1 C.z+lER D,z+|的最大值为2 11.在三棱台ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2AB,=2,A4=V6, ADL平面ABC,垂足为D,则 A.三棱台的体积为V2 4 B.∠A4D=30° C.D为△ABC的重心 D.平面ACD将三棱台ABC-AB,C,分成体积之比为8：I3的两个几何体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量u=(-2,4),b=(2,x),若a⊥(a+2b),则x=▲ 13.已知复数z满足|z-2z-2i=√2，则z=▲· 14.在四边形ABCD中，AB⊥AD,AB=BC=CA=2,AC与BD交于点O,则△OCD面 积的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知bcos A+bsin A=c, (1)求B: (2)若点D满足CD=2DB,AD=AC=√10，求△ABC的面积. 高一数学第2页（共4页) 16.(15分) 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一规格的零件，甲生产线每天生产800个，乙生产线 每天生产1200个.为了了解零件的质量情况，质检人员分别从甲、乙生产线上随机抽取50、 75个零件，测量每个零件的尺寸误差（单位：m),得到样本数据分布如下： 尺寸误差-2-1.5-1-0.500.511.52 频数 3 4 6789742 甲生产线样本数据频数表 频率/组距 0.32 0.28 0.20 0.12 0.08 0 -2.5-1.5-0.50.51.52.5尺寸误差/m 乙生产线样本数据频率分布直方图 其中，乙生产线样本数据的方差s=1.28. (1)计算甲生产线样本数据的平均数玉与方差s； (2)根据两条生产线的样本数据的平均数与方差，对两条生产线的生产情况进行评价： (3)估计工厂一天生产的零件的尺寸误差的平均数与方差. 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,PB=PC=BC=2,PA=AC=2√5，D,E 分别为AB,BC的中点. (1)证明：平面ABC⊥平面PDE; (2)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值. C A D B 高一数学第3页（共4页） 18.(17分) 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中有大小和质地相同的6个小球，其中有3个红色球 (标号为1,2,3)，2个黄色球（标号为4,5），1个白色球（标号为6），活动嘉宾从箱中 有放回地依次随机摸出2个球. (1)设事件A=“2个球颜色相同”，事件B=“2个球的标号之和为偶数”.判断事件 A与B是否相互独立，并说明理由； (2)主办方制定了以下两种兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖： 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得 分i为两球标号之和的一半；否则，得分i为标号中较大的数.若得分≥k(1≤k≤6，k∈N), 则中奖 若方案2的中奖率高于方案1，求k的最大值. 19.(17分) 如图，在三棱柱ABC-ABC,中，BALBC,BA=BC=2√5，CC=4,∠CAA=120 ,D,E分别为AC,AB的中点，且DE=√22. (1)证明：DE∥平面BCC,B: (2)求二面角B,-BD-A的余弦值： (3)若点P在△BDB,内（含边界），AP=2,求三棱锥P-BEB,体积的取值范围， C E B1 C B 高一数学第4页（共4页)厦门市2025一2026学年第二学期高一年级 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1~4:ABCD 5~8:DBCB 7.提示：P4U列=P(+P()=1-PO+P()=手，又P(a-P回， 所以P回即P-8 8.提示：思路1：设∠CBD=a,ae0)则BC=5cosa, BA·BC=4×5cosa·cos(au+∠DBA) 4 =20cosa sina 5 =16cos'a-12sinacosa =8-(6sin 2a-8cos2a) 3,0<p< =8-10sin(2a-p)≥-2，其中tanp= 2 H H 当2a-0-子即a-子号时，等号成立. 42 思路2：由CB⊥CD,可得C在BD为直径的半圆上圆，设圆心为O,过C作AB的垂线，垂足为H, 则BABC=BA.BH,如图所示，当CH与圆O相切，即C运动到点C'时，BA.B五取最小值， 此时1b1=loc140- 所以(a团BC=aAaC-A丽=4(-2 思路3：白cB1CD,可得oC-4B-3则1Bc-10+BMoC8-BpC-2, 当且仅当BA与OC反向时取等. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AD 10.BCD 11.ACD 10.提示：设：=a+bi,其中d+b=1, 选项A,z2=(a+bi)=d-b2+2abi,故A错误： 选项B,z,z=(a+bi)(a-bi)=d+b=z=1,故B正确： 选项C,:+=++:=2aR,故c稀 1 (特别的，因为z==1,设z2=c+h,其中c2+P=1 由选项c可知+p2) 高一数学第1页（共6页） 11.提示：延长AD交BC于E,由题知AD⊥BC,又AA⊥BC,所以BC⊥平面AAE, BC⊥AE,又AB=AC,所以E为BC中点. 选顶A,体积r-号5s+S+尽…S)A4= 4 ,故A正确： 选项B,ta∠AAD=an∠4B=AB- ,所以∠44D≠30°，故B错误： A42 选项C,在△MB中，AD=1B44:5, AE 所以DE=√AE-AD2=1,AD=√AA-AD=2, 所以AD=2DE,即D为△ABC的重心，故C正确： 选项D,连接并延长CD交AB于点F,延长AF交BB于点G 则三棱台ABC-AB,C,被平面ACD分成的两部分为三棱锥G-ABC和多面体AB,C,CGA. 由题F为A8中点，设8G-服，则4G--5+24,西-杯。 由4G正共袋得A=号，所以：=：专 2W2 V,=8 所以三棱锥G-ABC和多面体AB,CCGA的体积之比为8：13，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3 ● 12.-2 13.1+i 14.35-2W6 14.提示：思路1：设∠ABD=a,a∈0， 则AD=2tana: (3 AO AB 2sina 在△MB0中，5 ina"sin(20-a,所以A0 sin(120°-ax）: 由ae-8s-8w号AD-(ac-4o)}5na-tam'e 1 2 √3+tan& 含=51ma2同.则S+8-6-35-(+}s5-26, t 当且仅当t=√6时，即tana=√6-√3时等号成立. 思路2：设AD=t,则t∈(0,23)， 白5m=+8m即时21-*2405片 2 +t:A0.,可得A0+2E, 22 2 又-m5m-A0-(ac-40)月2-，） t(2w3-t) 24(t+25 2(23+) ◆n=5-1则8m=”t6435-经+5-26， 2n 当且仅当n=26时，即t=26-2√5时等号成立. 思路3：设D0=0B,>0,则有40=，24B+1AD,Sm=S, 1+ 1+2 设CO=4CA,0<L<1,则有A0=(1-四4C，S6=2Sa=S4e=V5, 易知0=aD-西，所以0-兰+号0，则有即1=1@)， 2 2 所似A子935.当汉当=A=-时服守 所以S35-2W6.(也可将四边形补成直角三角形求解) 高一数学第2页（共6页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解法1：(1)依题bcos A+bsinA=c,由正弦定理得sin B cosA+sin BsinA=sinC,…1分 因为A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B)=sinAcos B+cosAsin B, …2分 所以sin B cos A+sinBsinA=sinAcosB+cos AsinB, 即sin BsinA=sinAcos B,· 3分 因为sinA≠0，所以sinB=cosB,即tanB=1,… 5分 又B∈(O,,则B= …6分 (2)在△ABC中，由余弦定理得b=+c2-2 ac cos B, 即10=d+c2-V2ac …7分 由CD=2DB,得BD=3a, 在△ABD中，由余弦定理得AD=BD+BA-2BD·BA·coSB, gr+e巨 即10= 2QC(2,… …9分 ①-②得8d-22 3ac=0,即a=3W2 ……… 10分 4 代入①式解得c=4,a=3√2，… 12分 所以及m8=宁3x49 6 13分 2 解法2：(1)同解法1； …6分 (2)过点A作AH⊥BC交BC于点H, 由AD=AC,AH⊥DC,得H为DC中点， 由CD=2DB,得BD=DH=HC, …8分 设BD-DH-HC=x,因为B=年所以AH=BH-2x, 在Rt△ADH中，DH+AH=AD2, 即x+(2x)=(0),解得x=V2, 11分 则BC=3x=3√2，AH=2x=22, 所以Sm8c4H-35x25-=6 13分 2 16.解：(1)甲生产线样本数据 ×(-2×3-1.5×4-1×6-0.5×7+0×8+0.5×9+1×7+1.5×4+2×2)=0,…2分 501 1 =50×(4×3+2.25×4+1x6+0.25×7+0×8+0.25×9+1×7+225x4+4×2)=11.…5分 (2)乙生产线样本数据平均数的估计值 x2=-2×0.08-1×0.28+0×0.32+1×0.20+2×0.12=0,…7分 所以不=不2=0,5<5，… …8分 由于两条生产线的生产零件的平均误差都为0，甲生产线的零件尺寸波动更小， 综合来说，甲生产线的生产零件的质量更好.…I0分 (3)总样本平均数x=,50 75 504753+ =0, …12分 50+75 样本方差0区+民-+30车75+民-可0411+06x128=1208 50+75L …14分 由题样本是由按比例分配的分层随机抽样的方法所得， 由样本估计总体，工厂一天生产的零件尺寸误差的平均数和方差分别约为0和1.208.…15分 高一数学第3页（共6页） 17.解：(1)因为PB=PC=BC,B为BC中点，所以PELBC,…1分 因为D为AB中点，所以DE∥AC, 因为ACLBC,所以DE LBC.· …2分 又PE∩DE=E,PEC平面PDE,DEC平面PDE, 所以BCL平面PDE. 4分 又BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面PDE. …… 6分 (2)作PH⊥DE于H,连接AH, 因为平面ABC⊥平面PDE,平面ABC∩平面PDE=DE,PH⊥DE,PHC平面PDE, 所以PH⊥平面ABC,… …8分 所以∠PAH为直线PA与平面ABC所成的角. …9分 因为CA⊥CB,CA=25,CB=2,所以AB=4, 又因为AP=2,PB=2,所以PA+PB2=AB, 所以PALPB,PD=AB=2, 2 …10分 取PD中点M,连接M,因为DE=}AC=V5,PE=5, 所以M=反，PHDB=M.PD,得H=26 13分 E 所以sim∠PAH=PH-V2 … 22H B14分 PA 3 所以直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 15分 3 18.解：(1)设第一次摸到的小球标号记为m,第二次摸到的小球标号记为n, 则样本空间2={(，n),n∈{红，2,3,4,5,6}，(2)=36，… …1分 且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型， 因为A={1,1),1,2),1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4),4,5),(5,4),(5,5),(6,)}, 所以n(A=14,所以P4=A_14_7 …3分 n(2)3618 因为B={1,1),1,3),1,5),(2,2),(2,4),(2,6,(3,1),3,3),3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3), (5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}, 房以国-1s,质时包} 5分 因为AB={1,1),(1,3),(2,2),3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, 所以n(AB)=8,所以PAB)=nAB-8-2 n(2)369 …7分 因为P(AP(B)= 8×236≠P(4B),所以A与B不相互独立 717 …8分 ①知：方案1的中奖概率为卫心 方案2：由得分规则得：i的可能取值为1,2,3,4,5,6，其对应的样本点分布如下表所示： i 1 2 3 4 5 6 两球标 (1,1) (1,3)(3,1) (1,5)(5,1) (2,6)(6,2) (4,6)(6,4) (6,6) 号之和 (2,2) (2,4)(4,2) (3,5)(5,3) (5,5) 为偶数 (3,3) (4,4) 两球标 (1,2)(2,1) (2,3)(3,2) (1,4)(4,1) (2,5)(5,2) (1,6)(6,1) 号之和 (3,4)(4,3) (4,5)(5,4) (3,6)(6,3) 为奇数 (5,6)(6,5) 高一数学 第4页（共6页） 记事件C=“得分为i”,C,两两互斥. Pe)6PC)-6PG)GPe)0Pe)0PG)G …14分 显然k越小，方案二中奖的概率P(≥k)越大， …15分 又当=6时，P≥6)PC)GPA.不符合冠意 当=5时，P)PC)PG)日P4,不符合题意： 23 当k=4时，P(24)=P(C,)+P(C)+P(C,)=36>P(,符合题意. 因此整数k的最大值为4.… 17分 19.解法1：(1)取B,C,中点G,连接EG,CG, 所以GY4C又D为Ac中点，则CDy4C, 所以EGCD,即四边形CDEG为平行四边形，所以DE∥CG, …2分 又CGc平面BCCB,,EDt平面BCC,B, 所以DE∥平面BCCB. 4分 (2)连接EC,CD,由题意得△CCA为正三角形，所以CD⊥CA 所以CD=√CC-CD=2W5,又CE=VCB+BE=o, 所以DE=CE2+CD,所以C,E⊥CD,… 6分 又AC⊥C,D,CA1,CEc平面AB,C,CA∩CE=C, 所以C,D⊥平面AB,C,所以C,D⊥平面ABC, 因为BDC平面ABC,所以C,D⊥BD, 7分 又BDLAC,AC∩CD=D,AC,CDC平面ACC,A,所以BD⊥平面ACCA: 取AC中点I,连接BI,DI,AI, 因为B,I∥BD,则I在平面BBD上，… 8分 又AD,DIC平面ACCA,所以BD⊥AD,BD⊥DI, 所以∠ADI是二面角B,-BD-A的平面角，…。 …9分 casA1=oACG=片即一面角及-AD-A的余弦值为 410分 E (3)过A作A0⊥ID,垂足为点Q,则AQ=√3，D0=1 所以Q为DI上靠近D的四等分点. 11分 因为BDL平面ACCA,A0c平面ACCA,所以BDLA0, 又ID,BDC平面DBBI,ID∩BD=D, 所以AO⊥平面DBB,I,POC平面DBBI, 所以AOLPO,所以QP=VAP-Ag=1, 所以点P在△BDB,内以Q为圆心，1为半径的圆弧D'PD上... ……13分 如图，过P作BB的垂线，垂足为P,当POLOD时，PP'取得最小值1， 当P与D重合时，PP取得最大值2，所以S4号BPP∈[24]， 2 因为E为AB,中点，AA∥平面BDB, D 所以nn君 33 「V323 所以三棱锥P-BEB,体积的取值范围为 B D 33 17分 高一数学 第5页（共6页) 解法2：(1)取AB中点H,连接EH,DH, 因为EH∥BB,EHL平面BCC,B,，BBC平面BCCB,, 所以EH∥平面BCCB,…7 …/…1分 因为DH∥BC,DHL平面BCCB,BCC平面BCCB, 所以DH∥平面BCCB,… 。……2分 又DH∩EH=H,DHC平面EDH,EHC平面EDH, 所以平面EDH∥平面BCC,B,, c 3分 又DEc平面DEH,所以DE∥平面BCCB,. …4分 (2)取BC中点G,连接EG,CG, 因为四边形CDEG为平行四边形，所以CG=DE=√22， 因为cc=4,cG-CA=, 所以cos∠GC,c-CC+Cg-CG.-V2 2CC·CG -4,则cos BCC=5 4 所以BC2=CB+CC-2CB.CC cos∠BCC=16, 又DB=2,CD=2N3,所以BC=DB+DC,所以BD⊥C,D, …7分 又BDLAC,AC∩C,D=D,AC,C,DC平面ACC,A,所以BD⊥平面ACC,A. 取AC中点I,连接BI,DI,AI,因为BI∥BD,则I在平面B,BD上，…8分 又AD,DIC平面ACCA,所以BD⊥AD,BD⊥DI, 所以∠ADI是二面角B,-BD-A的平面角， 9分 os∠AD1=cos∠ACC=),即二面角B-BD-A的余弦值为 …10分 (3)同解法1. 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