精品解析：河南平顶山市汝州市2025-2026学年八年级下学期6月期末质量检测数学试题

2025~2026学年下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】A、，原结果有误，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解的意义，解题关键在于因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3. 如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 4. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知A点坐标，B点坐标，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若点C的坐标为，则线段的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，先根据A、C坐标得到平移距离为，进而得到即可． 【详解】解：∵A点坐标，点C的坐标为， ∴， ∵沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到， ∴， ∵B点坐标， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意； 故选：C 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的上方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 8. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，多边形内角和，垂直平分线的性质，反证法的运用；熟练掌握以上知识是解题的关键；根据上述知识对选项进行判断即可； 【详解】A、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，选项正确，不符合题意； B、多边形内角和公式为： ，当时，六边形内角和为，故选项错误，符合题意； C、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项正确，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，选项正确，不符合题意； 故选：B 9. 关于的方程有增根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的性质，解题思路为：先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值； 【详解】解：∵ 分式方程的分母为和，分式方程有增根， ∴ 令，得增根为； 将原方程变形为，即， 方程两边同乘最简公分母，得整式方程， 把增根代入整式方程，得， 解得； 10. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到、，再结合作图步骤得出、是的角平分线且垂直平分，进而判断为等边三角形，最后利用等腰三角形三线合一、平行线性质、含角的直角三角形性质逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由作图可知：，平分， ∴为等边三角形， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴，，故②正确； ∵， ∴， 在中，，， ∴，故③正确； 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，①②③④均正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为零，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，关键是牢记“分式值为零，需要分子为零且分母不为零”这一核心规则． 【详解】解：要使分式的值为零，需同时满足： 分子为零：，解得或； 分母不为零：，解得． 综上，的值为． 故答案为：． 12. 请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是．符合要求的多项式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式因式分解的多项式满足两项均为平方项，且两项符号相反，已知一项为，只需构造符号相反的另一项平方项即可得到符合要求的多项式； 【详解】解：能利用平方差公式因式分解的多项式，需符合的结构， 已知多项式有一项为，令，取，可得多项式为，该多项式符合要求； 故符合要求的多项式可以是 （答案不唯一） 13. 若关于x的不等式的解集如图所示，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，以及解集的数轴表示，先解不等式得，然后根据数轴得该不等式的解集为，然后得到求解即可． 【详解】解：解不等式得， 由数轴得不等式的解集为， ∴，解得， 故答案为：7． 14. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点P作于点F，可证明，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点F， ∵，， ∴， 又∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴点到的距离是5． 15. 如图，在中，，，若为直线上一动点，四边形是平行四边形，则对角线的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】当最短时，取得最小值，根据垂线段最短，得时，最短，连接，证明是等边三角形，求解即可； 【详解】解：设对角线与交于点M， 四边形是平行四边形， ， 当最短时，取得最小值， 根据垂线段最短，得时，最短， 连接， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ； 故对角线的最小值为； 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【小问1详解】 解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； 【小问2详解】 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 17. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形； （3）在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析，坐标为，坐标为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—旋转变换、平行四边形的判定，正确画出图形是解答的关键． （1）根据中心对称图形的性质得到对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可； （3）根据平行四边形的判定得到点D位置，进而写成坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 【小问3详解】 解：如图，四边形、四边形是平行四边形，则坐标为，坐标为． 19. 课后，老师在黑板上留了一道练习题，其中部分条件被遮盖． 已知：如图，，是平行四边形对角线上两点，． 求证：四边形是平行四边形． 请你从①，②，，③，种选择其中一个正确的条件添加，并根据你所添加的条件完成证明． 【答案】证明：选择条件①，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选择②，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】证明，，得到，可以判定①能；证明且，可判定②能； 【详解】略 20. 某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）学校去年购买文学书单价8元/本，科技书12元/本 （2）学校今年至少要购买180本文学书 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设去年购买文学书的单价为元本，则购买科技书的单价为元本，根据用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设今年购进m本，则购进科技书本，根据购买文学书和科技书的总费用不超过3000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设去年学校购买文学书单价x元/本．由题意得： 解得： 答：学校去年购买文学书单价8元/本，科技书12元/本． 【小问2详解】 解：设今年学校购买文学书m本．由题意得： ， 解得：． 答：学校今年至少要购买180本文学书． 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形角所对的边与斜边之间的关系；先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形度的性质得和的关系，从而得出结论． 【详解】证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ，， ， ， 中，是的中点， ， 中，， ， ． 22. 小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： （1）请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； （2）小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）有，多项式在当时取最大值为16 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求； （2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：多项式有最大值，理由如下： ， ． 当时，取到最大值为16， 多项式在当时取最大值为16． 23. 如果两条线段相等，且这两条线段所在直线相交形成的角中有一个角是，则称其中一条线段是另一条线段的双变换线段，也称这两条线段互为双变换线段． 例如，在图1中，且，图2中，，故两图中线段均是相应线段的双变换线段． 如图3，若点，分别在等边的边和上，，与交于点． （1）求证：线段是线段的双变换线段； （2）线段是由线段绕点顺时针旋转得到的，连接，请按题目要求补全图形（不要求尺规作图），若，的面积为，求的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ． ，． 是的外角， ． ， ∴线段是线段的双变换线段． （2）3 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用三角形外角性质，证明得到，符合定义即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，根据三角形的面积计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，补全的图形如下， 由旋转可知，，， 由（1）知，， ，，， , 四边形是平行四边形， ， 过点C作于点Q， 是等边三角形， ，． ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知A点坐标，B点坐标，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若点C的坐标为，则线段的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 9. 关于的方程有增根，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为零，则的值为_____． 12. 请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是．符合要求的多项式可以是________． 13. 若关于x的不等式的解集如图所示，则______． 14. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 15. 如图，在中，，，若为直线上一动点，四边形是平行四边形，则对角线的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得____________； （2）解不等式②，得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为____________． 17. 先化简，再求值：，其中x=3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形； （3）在平面直角坐标系内作点D，使得点A、B、C、D围成以为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为______． 19. 课后，老师在黑板上留了一道练习题，其中部分条件被遮盖． 已知：如图，，是平行四边形对角线上两点，． 求证：四边形是平行四边形． 请你从①，②，，③，种选择其中一个正确的条件添加，并根据你所添加的条件完成证明． 20. 某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？ 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 22. 小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： （1）请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； （2）小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 23. 如果两条线段相等，且这两条线段所在直线相交形成的角中有一个角是，则称其中一条线段是另一条线段的双变换线段，也称这两条线段互为双变换线段． 例如，在图1中，且，图2中，，故两图中线段均是相应线段的双变换线段． 如图3，若点，分别在等边的边和上，，与交于点． （1）求证：线段是线段的双变换线段； （2）线段是由线段绕点顺时针旋转得到的，连接，请按题目要求补全图形（不要求尺规作图），若，的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $