专题03 方程（5年汇编）（山西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦山西中考方程专题5年真题及模拟题，覆盖一元二次、分式、二元一次方程组三大考点，突出科技（仿生飞行器）、文化（《考工记》）、生活（废旧手机回收）情境与考频规律 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约6题/18分|一元二次方程建模（月均增长率）、方程根的判别|题干简短，结合工业科技情境，仅需列方程| |解答题|约15题/72分|分式方程求解与应用（换轨车效率）、二元一次方程组计算与综合应用（铜镜铜锡比、桥梁限重）|素材含交通工程、新能源汽车等本土热点，应用题阅读量逐年增加，部分联动不等式设问|

专题03 方程 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程 2026山西卷 固定以选择题形式出现，分值3分，命题全部结合工业科技类生活情境，以产量月平均增长率为核心模型，只要求根据题意列出正确方程，不涉及解方程、求根判别式等复杂计算，题干文字简短直观，整体难度偏低，侧重基础模型理解，近五年仅单次考查，考频较低。 考点02 分式方程 2025山西卷 2023山西卷 2022山西卷 分为直接解方程、实际应用题两大题型，均为解答大题，分值6分左右；素材紧贴交通工程、新能源汽车等本土与时代热点，应用题文字阅读量逐年加大，解题必须检验增根是固定得分点，命题从单一行程模型拓展到多量对比类问题，对学生提取等量关系的能力要求持续提高。 考点03 二元一次方程组 2026山西卷 2025山西卷 2024山西卷 2023山西卷 2022山西卷 考查形式两类：一是单纯解方程组计算，搭配实数混合运算；二是大型综合应用题，常结合传统文化古籍、废旧资源回收、桥梁限重运输等情境，部分题目第二小问联动一元一次不等式综合设问；素材类型丰富，设问分层化，综合性逐年提升，是方程板块分值占比最高、考频最稳定的核心考点。 考点01 一元二次方程 1．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 考点02 分式方程 1．（2023·山西·中考真题）解方程：． 2．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 3．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 考点03 二元一次方程组 1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 2．（2022·山西·中考真题）（1）计算：； （2）解方程组：． 3．（2026·山西·中考真题）《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 4．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 5．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 1．（2026·山西朔州·三模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·二模）平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 4．（2026·山西运城·二模）山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的倍．若该生产线灌装瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装瓶所用的时间少小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（     ） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 5．（2026·山西阳泉·三模）公共交通网络的建设，促进了区域联动，使百姓出行更加方便快捷．已知A，B两地相距，乘坐普快列车所需时间比乘坐城际高铁所需时间多用；……．分别求普快列车与城际高铁的平均时速．根据题意，小陈列出的方程为，则“……”表示的条件为（     ） A．普快列车的平均时速是城际高铁平均时速的2.5倍 B．城际高铁的平均时速是普快列车平均时速的2.5倍 C．普快列车的平均时速比城际高铁的平均时速快 D．城际高铁的平均时速比普快列车的平均时速快 6．（2026·山西晋中·二模）随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·山西运城·三模）开学季，某文具店为了吸引学生，推出一项“限时八折优惠”活动，活动规定：凡参与活动的商品，总价直接打八折，某初三同学到店购买了如下参与活动的商品：2支自动铅笔，每支原价12元；一本活页笔记本，原价25元；3盒彩色马克笔．结账时店员告知：你这次购买总共花费了82.4元，设马克笔每盒的原价为x元，根据题意列方程得（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山西阳泉·二模）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 9．（2026·山西临汾·三模）某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 10．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 11．（2026·山西长治·二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 12．（2026·山西大同·模拟预测）无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 13．（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 14．（2026·山西吕梁·二模）某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 15．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 16．（2026·山西长治·三模）计算及解方程组 (1)计算：． (2)解方程组 17．（2026·山西吕梁·二模）为贯彻执行《电动自行车安全技术规范》，某电动自行车经销商计划更新其产品线，现有甲款和乙款电动自行车，已知每辆乙款电动自行车的进价是每辆甲款电动自行车进价的倍，用36000元购进甲款电动自行车的数量比购进乙款电动自行车的数量多4辆．求甲款和乙款每辆电动自行车的进价． 18．（2026·山西长治·三模）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应的任务． 算筹法 算筹法中，交点的个数通常指的是在进行乘法运算时，两个数的算筹摆放形成的交点数量．这些交点的数量可以直接用来计算乘法的结果． 如图1，在计算时，先横向摆出12，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出13，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有6个，个位数字为6，十位点有5个，十位数字为5，百位点有1个，写在百位上，从而得到．如图2，计算时，个位点有12个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），满20进到百位点2个，十位留5个，百位点有（个），百位留4个，满10进到千位点1个，从而得到． 任务： (1)将用算筹法计算的图示画出来，并直接写出计算结果． (2)如图3，用算筹法计算两个两位数相乘，则结果的十位数字是__________（用含 的式子表示），如果结果的十位数字比百位数字的3倍多1，则 的值等于__________． 19．（2026·山西长治·三模）明明在数学课上认真听讲，并及时做笔记，下表是他整理的课堂笔记． 题目：周末，姐姐和弟弟约定一同前往离家1000米的图书馆学习．姐姐先步行离开家，10分钟后，弟弟从家出发，沿同一路线骑自行车前往图书馆．最终，两人同时到达图书馆（两人均是匀速前往）．已知弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，求姐姐和弟弟的速度． 分析 方程 解法一 设姐姐的速度为 米/分． 等量关系： ． ■-◆ 解法二 若姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分，设姐姐到达图书馆的时间为 分钟． 根据上面的笔记，解答下列问题： (1)解法二中，与之间的关系式为__________； (2)将解法一中的方程补充完整，并解答题目中的问题． 20．（2026·山西朔州·三模）2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 21．（2026·山西太原·二模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产．某醋业公司生产两款经典产品：五年陈酿老陈醋和八年陈酿老陈醋． (1)在一次山西特产展销会上，售出箱五年陈酿和箱八年陈酿，总销售额为元．已知每箱五年陈酿的售价比每箱八年陈酿的售价少元．求每箱五年陈酿和每箱八年陈酿的售价各是多少元？ (2)为迎接“山西醋文化节”，公司对两款产品进行促销活动．活动期间，五年陈酿和八年陈酿的销售额分别为元、元．已知五年陈酿的销售量比八年陈酿的销售量少，且每箱八年陈酿的售价比每箱五年陈酿的售价多元．求五年陈酿的销售量为多少箱？ 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程 5年真题1年模拟 考点01 一元二次方程 1．C 考点02 分式方程 1． 2．解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 3．解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 考点03 二元一次方程组 1．（1）；（2） 2．（1）2 ；（2） ． 3．解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 4．解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 5．（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．A 9． 10．60或80 11． 12．60 13． 14．八五 15． 16．(1) (2) 17．解：设每辆甲款电动自行车的进价是x元，则每辆乙款电动自行车的进价是元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意， 当元时，元． 答：每辆甲款电动自行车的进价是3000元，每辆乙款电动自行车的进价是4500元． 18．(1)， (2)，4 19．（1）解：∵弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分， ∴； （2）解法一中方程为 ． 方程两边同乘，得 ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 ． 答：姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为200米/分． 20．解：设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳． 21．（1）解：设每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元； （2）解：设八年陈酿的销售量为箱，则五年陈酿的销售量为箱， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：五年陈酿的销售量为箱． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程 5年真题1年模拟 考点分类 山西考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程 2026山西卷 固定以选择题形式出现，分值3分，命题全部结合工业科技类生活情境，以产量月平均增长率为核心模型，只要求根据题意列出正确方程，不涉及解方程、求根判别式等复杂计算，题干文字简短直观，整体难度偏低，侧重基础模型理解，近五年仅单次考查，考频较低。 考点02 分式方程 2025山西卷 2023山西卷 2022山西卷 分为直接解方程、实际应用题两大题型，均为解答大题，分值6分左右；素材紧贴交通工程、新能源汽车等本土与时代热点，应用题文字阅读量逐年加大，解题必须检验增根是固定得分点，命题从单一行程模型拓展到多量对比类问题，对学生提取等量关系的能力要求持续提高。 考点03 二元一次方程组 2026山西卷 2025山西卷 2024山西卷 2023山西卷 2022山西卷 考查形式两类：一是单纯解方程组计算，搭配实数混合运算；二是大型综合应用题，常结合传统文化古籍、废旧资源回收、桥梁限重运输等情境，部分题目第二小问联动一元一次不等式综合设问；素材类型丰富，设问分层化，综合性逐年提升，是方程板块分值占比最高、考频最稳定的核心考点。 考点01 一元二次方程 1．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 考点02 分式方程 1．（2023·山西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 2．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 3．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 考点03 二元一次方程组 1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 2．（2022·山西·中考真题）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2 ；（2） ． 【分析】（1）先根据乘方的意义、负整数指数幂、绝对值运算，然后合并即可； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ①＋②，得， ∴． 将代入②，得， ∴． 所以原方程组的解为， 3．（2026·山西·中考真题）《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【分析】设制作x个鼎、y面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 4．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 5．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 (2)6套 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 1．（2026·山西朔州·三模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项方程的判别式，选出判别式等于0的选项即可． 【详解】解：A、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； B、 ，，，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； D、 ，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 综上，有两个相等的实数根的是B． 2．（2026·山西忻州·二模）平定紫砂茶具是山西传统手工艺品，制作平定紫砂茶具需要用到紫砂泥．已知制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥；制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥．若设制作1把茶壶需要x份紫砂泥，制作1个茶杯需要y份紫砂泥，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到对应方程组． 【详解】解：根据“制作1把茶壶和1个茶杯恰好用光2份紫砂泥”，可得第一个方程：， 根据“制作2把茶壶和4个茶杯恰好用光5份紫砂泥”，可得第二个方程：， ∴可列方程组为． 3．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据第四象限内点的坐标特征得到横纵坐标的符号，再利用点到两坐标轴距离相等推出横纵坐标绝对值相等，去掉绝对值符号后列方程求解即可 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， ∵点到两条坐标轴的距离相等 ∴ 得： 整理得 移项解得 4．（2026·山西运城·二模）山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的倍．若该生产线灌装瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装瓶所用的时间少小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（     ） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 【答案】C 【分析】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，根据题意，列出方程，即可 【详解】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，依题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶 5．（2026·山西阳泉·三模）公共交通网络的建设，促进了区域联动，使百姓出行更加方便快捷．已知A，B两地相距，乘坐普快列车所需时间比乘坐城际高铁所需时间多用；……．分别求普快列车与城际高铁的平均时速．根据题意，小陈列出的方程为，则“……”表示的条件为（     ） A．普快列车的平均时速是城际高铁平均时速的2.5倍 B．城际高铁的平均时速是普快列车平均时速的2.5倍 C．普快列车的平均时速比城际高铁的平均时速快 D．城际高铁的平均时速比普快列车的平均时速快 【答案】B 【分析】本题根据分式方程中各量的含义，结合路程、速度、时间的关系，推导缺失的条件，根据方程中速度的倍数关系即可得到答案． 【详解】解：根据 “普快全程时间比高铁全程时间多”，观察方程 ，可得左边为普快全程时间，即为普快列车的平均时速，右边为高铁全程时间，即城际高铁的平均时速为， ∴城际高铁的平均时速是普快列车平均时速的倍． 6．（2026·山西晋中·二模）随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均增长率的实际应用，根据平均增长率的计算规则列方程即可，增长年后的量=初始量，其中为年平均增长率，为增长年数． 【详解】解：年近视人数为万人，年平均增长率为， ∴年近视人数为， ∴年近视人数为， ∵年近视人数为万人， ∴列方程得． 7．（2026·山西运城·三模）开学季，某文具店为了吸引学生，推出一项“限时八折优惠”活动，活动规定：凡参与活动的商品，总价直接打八折，某初三同学到店购买了如下参与活动的商品：2支自动铅笔，每支原价12元；一本活页笔记本，原价25元；3盒彩色马克笔．结账时店员告知：你这次购买总共花费了82.4元，设马克笔每盒的原价为x元，根据题意列方程得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到等量关系：所有商品原价总和×折扣=实际花费，据此即可列出正确方程． 【详解】解：∵设马克笔每盒的原价为元，所有商品的原价总和为：2支自动铅笔的原价元，加1本笔记本的原价元，加3盒马克笔的原价元， ∴所有商品的原价总和为元， ∵活动规则是总价打八折，实际总花费为元，打八折即总原价乘等于实际花费， ∴可得方程． 8．（2026·山西阳泉·二模）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个分母可知，与互为相反数，先对原方程变形，确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母即可得到去分母后的整式方程． 【详解】解：∵， ∴原方程可变形为， 将方程两边同时乘最简公分母，得：． 9．（2026·山西临汾·三模）某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 10．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 【详解】解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 11．（2026·山西长治·二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为____________． 【答案】 【分析】根据降低率问题的数量关系，结合两次降价后的现价即可列出对应方程． 【详解】解：设两次降价的降低率为． 第一次降价后的价格为元/克， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为元/克， 已知两次降价后价格为元/克， 因此可列方程． 12．（2026·山西大同·模拟预测）无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 13．（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 【答案】 【分析】把日销售量、每盒的利润用含的代数式表示出来，再根据销售利润销量每盒的利润列方程即可． 【详解】解：设销售单价为元，则销售单价上涨了元， 日销售量就减少盒，每盒的利润为元， 根据销售利润销量每盒的利润， 可得：． 14．（2026·山西吕梁·二模）某款智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为，则商店应按标价的________折销售． 【答案】八五 【分析】理清进价、标价、售价、利润率、折扣之间的等量关系，设未知数后根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设商店应按标价的折销售 根据题意，可得标价为 元 要使每台机器人的利润率为，则实际售价应为 元 根据售价与标价、折扣的关系列方程得 解得 即商店应按标价的八五折销售． 15．（2026·山西朔州·一模）为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________． 【答案】 【分析】根据等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设张老师原来平均每小时批改x道题目， 则． 16．（2026·山西长治·三模）计算及解方程组 (1)计算：． (2)解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： 由②，得③． 将③代入①，得，解得． 将代入③，得． 故方程组的解为． 17．（2026·山西吕梁·二模）为贯彻执行《电动自行车安全技术规范》，某电动自行车经销商计划更新其产品线，现有甲款和乙款电动自行车，已知每辆乙款电动自行车的进价是每辆甲款电动自行车进价的倍，用36000元购进甲款电动自行车的数量比购进乙款电动自行车的数量多4辆．求甲款和乙款每辆电动自行车的进价． 【答案】每辆甲款电动自行车的进价是3000元，每辆乙款电动自行车的进价是4500元 【分析】设每辆甲款电动自行车的进价是x元，则每辆乙款电动自行车的进价是元．根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：设每辆甲款电动自行车的进价是x元，则每辆乙款电动自行车的进价是元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意， 当元时，元． 答：每辆甲款电动自行车的进价是3000元，每辆乙款电动自行车的进价是4500元． 18．（2026·山西长治·三模）阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应的任务． 算筹法 算筹法中，交点的个数通常指的是在进行乘法运算时，两个数的算筹摆放形成的交点数量．这些交点的数量可以直接用来计算乘法的结果． 如图1，在计算时，先横向摆出12，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出13，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有6个，个位数字为6，十位点有5个，十位数字为5，百位点有1个，写在百位上，从而得到．如图2，计算时，个位点有12个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），满20进到百位点2个，十位留5个，百位点有（个），百位留4个，满10进到千位点1个，从而得到． 任务： (1)将用算筹法计算的图示画出来，并直接写出计算结果． (2)如图3，用算筹法计算两个两位数相乘，则结果的十位数字是__________（用含 的式子表示），如果结果的十位数字比百位数字的3倍多1，则 的值等于__________． 【答案】(1)， (2)，4 【分析】（1）根据题意画图计算即可； （2）十位点有个，且满40进到百位点4个，据此得到十位数字．由十位数字比百位数字的3倍多1列方程并解方程即可得到 的值． 【详解】（1）解：在计算时，先横向摆出，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，再纵向摆出，十位数和个位数分开一段距离区分十位数和个位数，被乘数和乘数的算筹摆放会形成一系列的交点，个位点有个，个位留2，满10进到十位点1个，十位点有（个），十位点有18个，满10进到百位点1个，十位留8个，十位数字为8，百位点有（个），百位数字为，从而得到． （2）解：∵十位点有个，且满40进到百位点4个， 十位数字是． ∵百位点有个，且满30进到千位点3个， 百位数字是． 十位数字比百位数字的3倍多1， ， 解得． 19．（2026·山西长治·三模）明明在数学课上认真听讲，并及时做笔记，下表是他整理的课堂笔记． 题目：周末，姐姐和弟弟约定一同前往离家1000米的图书馆学习．姐姐先步行离开家，10分钟后，弟弟从家出发，沿同一路线骑自行车前往图书馆．最终，两人同时到达图书馆（两人均是匀速前往）．已知弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，求姐姐和弟弟的速度． 分析 方程 解法一 设姐姐的速度为 米/分． 等量关系： ． ■-◆ 解法二 若姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分，设姐姐到达图书馆的时间为 分钟． 根据上面的笔记，解答下列问题： (1)解法二中，与之间的关系式为__________； (2)将解法一中的方程补充完整，并解答题目中的问题． 【答案】(1) (2)解法一中方程为 ．姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为200米/分． 【分析】（1）根据弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍即可得到答案； （2）设姐姐的速度为 米/分．根据列方程并解方程，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：∵弟弟骑车的速度是姐姐步行速度的3倍，姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为米/分， ∴； （2）解法一中方程为 ． 方程两边同乘，得 ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 ． 答：姐姐的速度为米/分，弟弟的速度为200米/分． 20．（2026·山西朔州·三模）2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 【答案】A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳 【分析】设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳． 21．（2026·山西太原·二模）山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产．某醋业公司生产两款经典产品：五年陈酿老陈醋和八年陈酿老陈醋． (1)在一次山西特产展销会上，售出箱五年陈酿和箱八年陈酿，总销售额为元．已知每箱五年陈酿的售价比每箱八年陈酿的售价少元．求每箱五年陈酿和每箱八年陈酿的售价各是多少元？ (2)为迎接“山西醋文化节”，公司对两款产品进行促销活动．活动期间，五年陈酿和八年陈酿的销售额分别为元、元．已知五年陈酿的销售量比八年陈酿的销售量少，且每箱八年陈酿的售价比每箱五年陈酿的售价多元．求五年陈酿的销售量为多少箱？ 【答案】(1)每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元 (2)箱 【分析】（1）设每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （2）设八年陈酿的销售量为箱，则五年陈酿的销售量为箱，根据题意列方程求出即可求解． 【详解】（1）解：设每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：每箱五年陈酿的售价为元，每箱八年陈酿的售价为元； （2）解：设八年陈酿的销售量为箱，则五年陈酿的销售量为箱， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：五年陈酿的销售量为箱． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $