4.2线段的垂直平分线（第1课时线段垂直平分线的性质定理）（教学课件）数学新教材青岛版八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线的性质定理”，通过折叠线段使两端点重合的操作，引导学生观察折痕与线段的垂直平分关系，衔接轴对称图形知识，搭建从直观感知到概念建构的学习支架。 其亮点在于融合动手探究与逻辑推理，如折叠操作发现垂直平分线定义、全等三角形证明性质定理，结合“将军饮马问题”培养模型意识。小结结构化梳理知识要点，助力学生用数学语言表达几何关系，提升空间观念与推理能力，为教师提供清晰教学流程。

青岛版2024·八年级上册 4.2线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质定理 第4章 图形的轴对称 导入新课 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 线段是轴对称图形。 你能找出线段的对称轴吗？ 学 习 目 标 1 2 3 理解线段的垂直平分线的概念；（重点） 掌握线段的垂直平分线的性质定理；（重点） 利用线段垂直平分线的性质定理解决距离最短问题（难点） 新知探究 图4.2-1① 图4.2-1② 操作：在纸上画一条线段AB(图4.2-1①)，将这张纸折叠，使A，B两点重合，将纸展开后铺平，把折痕记为MN，折痕与线段AB的交点记为O(图4.2-1②)。 折叠、展平 MN⊥AB AO=B0 你发现形成的折痕直线MN与线段AB有什么关系？ 你能说明其中的道理吗？ 新知探究 线段是轴对称图形。直线MN 是线段AB 的对称轴，它垂直于线段AB，并且平分线段 AB。 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 新知生成 直线MN是线段AB的垂直平分线。 MN⊥AB AO=B0 线段的垂直平分线： 新知探究 如图4.2-1③，在直线MN上取一点P，连接PA，PB。线段PA和PB有什么数量关系?改变点P的位置，结论还成立吗?为什么? 4.2-1③ 因为线段AB 是轴对称图形，直线MN是它的对称轴，所以沿直线MN对折后，点A与点B重合，而点P在对称轴上，于是PA与 PB 重合，所以PA=PB。 你能利用三角形全等证明上述结论吗？ PA=PB 新知探究 已知:如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，P为直线l上任意一点，连接PA，PB. 求证:PA=PB. 证明:在△PAO 和△PBO 中， AO=BO(垂直平分线的意义)， ∠POA=∠POB=90°(同上)， PO=PO(公共边)， ∴△PAO ≌△PBO(SAS). ∴.PA=PB(全等三角形的对应边相等). 当点P在线段AB上时，结论还成立吗? 你能得到什么结论？ 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上 ∴　PA =PB， 典例分析 例1 海伦(Heron of Alexandria，生卒年不详)是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请教过一个问题:“我每天策马往返于河岸同侧的两个一边防站之间，途中要到河边让马饮水。怎样走才能使路径最短呢?”此问题也叫“将军饮马问题”，抽象成数学问题可表达为:如图，已知A，B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP的值最小。 分析: 我们知道两点之间线段最短,那么想办法把将不同线的三点转化为同线的三点。 典例分析 解:如图，作点B关于直线l的对称点 B'，连接AB'，交直线l于点P。点P就是所求作的点。理由如下: 因为点B，B'关于直线l对称， 所以l是BB'的垂直平分线。 所以 PB=PB'(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)。 所以AP+PB=AP+PB'=AB'。 在直线l上另外任取一点P'，连接AP'，P'B'，P'B。同理P'B=P'B'。 因为 AP'+P'B'>AB',所以AP'+P'B>AP+PB。所以AP+PB 的值最小。 新知应用 基础巩固题 1.下列表述是否正确： (1)经过线段中点的直线就是这条线段的垂直平分线. （ ） (2)垂直于一条线段的直线就是这条线段的垂直平分线 （ ） (3)若直线MN是线段AB的垂直平分线，则MN与AB互相垂直平分. （ ） 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 新知应用 基础巩固题 2.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点， 如果EC=7cm，那么ED= cm； 如果∠ECD=60°，那么∠EDC=______. E D A B C 7 60° 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (　C　) C A.AB＝AD B.AC平分∠BCD C.AB＝BD D.△BEC≌△DEC 新知应用 基础巩固题 　4、如图，在△ABC 中，BC =18，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______． A B C D E 18 见垂直平分线，得线段相等 新知应用 基础巩固题 5.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( 　 　) A．AM>CM B．AM＝CM C．AM<CM D．无法确定 B 见垂直平分线，得线段相等 新知应用 基础巩固题 6.如图，点P，C，D是线段AB的垂直平分线MN上的任意三点，分别连接AP， BP，AC，BC，AD，BD，指出图中相等的线段。 AP=BP AC=BC AO=BO AD=BD 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知应用 基础巩固题 7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交 AC于点D，连接BD。求△ABD的周长。 解： ∵DE垂直平分BC ∴CD=BD ∴△ABD的周长为： AB+AD+BD=AB+AD+CD =AB+AC =5+7 =12 5 7 新知应用 能力提升题 8.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D， C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ） A. AB＋DB>DE B. AB＋DB<DE C. AB＋DB=DE D. 无法判断 【解：】因为AD垂直平分BC, 所以 AB=AC，BD=CD， 因为AC=EC, 所以AB＋DB=AC＋DC=EC＋DC=DE . C 新知应用 能力提升题 9.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 解:(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB， ∵△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm. 新知应用 能力提升题 (2)∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°， ∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°. (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 课堂小结 线段垂直平分线的性质定理 内容 见垂直平分线，得线段相等 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 路线最短问题 线段垂直平分线的概念 感谢聆听! $