广东佛山市2025-2026学年普通高中供题训练高二数学

**基本信息** 以真实情境为载体，覆盖函数、概率、数列等核心知识，通过基础题、综合题、应用题为梯度，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、向量、导数几何意义|第4题正态分布结合零件质检，体现数学应用| |多选题|3/18|统计相关系数、数列性质|第11题函数零点与极值点，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、排列组合|第14题AI大模型排名，融入科技热点| |解答题|5/77|概率分布、立体几何、导数应用|第15题体育锻炼数据统计分析，第19题设备状态转移与收益评估，强化数据建模|

2025~2026学年普通高中供题训练 高二数学 2026.7 本训练卷共4页，19小题．满分150分．训练用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．训练结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 4．某工厂生产一批零件，尺寸误差X（单位：mm）服从正态分布．质检标准规定：的零件为一等品，的零件为二等品，其余为次品．现从该批零件中随机抽取一件，已知它不是次品，则它是一等品的概率约为 （参考数据：若，则， ） A．39.81% B．68.27% C．71.52% D．95.45% 5．曲线在处的切线方程为 A． B． C． D． 6．投骰子的游戏规则如下：每次投1个骰子，若骰子正面向上的点数为偶数时，加1分；若点数为奇数时，减1分．如果起始分为0分，投了6次骰子之后，分数为2分的概率为 A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 8．已知数列满足，则 A．720 B．746 C．760 D．780 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．通过一组样本数据，，…，，求得，，线性相关系数，经验回归方程为，则 A．变量x与y负相关 B．变量x与y的线性相关关系较弱 C． D． 10．记数列的前n项和，已知（且），则 A． B．是等比数列 C．是递增数列 D．若，则 11．设函数，则 A．至少有2个零点 B．在上不单调 C．若曲线是轴对称图形，则 D．若有且只有1个极值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式的中间一项的系数为_______． 13．数列满足，且，则_______． 14．当前国内AI大模型发展迅速，某机构对5款国产AI大模型（代号甲、乙、丙、丁、戊）进行综合评测，决出第1名到第5名．已知甲不是第1名，乙不是第2名，且丙的名次比甲更靠前，5款模型的排名情况有_____种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为研究坚持课后体育锻炼与体育达标测试成绩的关联情况，选取40名高二学生，随机分成两组，每组20人．试验组每天坚持课后体育锻炼，对照组不参加额外课后锻炼，一学期后进行体育达标测试，两组学生测试成绩（满分100分）如下： 对照组 （20人） 60 63 65 66 68 70 71 72 73 75 76 77 78 79 80 82 83 84 85 88 试验组 （20人） 65 68 72 75 76 78 80 80 81 82 83 83 84 84 85 86 88 89 90 91 （1）若从这40人中随机抽取2人，抽到试验组的人数为X，求X的分布列； （2）按体育达标成绩80分及以上为优秀，不足80分为不优秀，完成如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析坚持课后体育锻炼与体育达标测试成绩是否有关． 成绩 组别 优秀 不优秀 合计 对照组 20 试验组 20 合计 40 附：， 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，M，N分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 18．（17分） 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，设为数列的前n项和． （i）证明：； （ii）证明：． 19．（17分） 某企业对生产设备的工作状况进行跟踪调查，统计发现设备每日工作状况只与前一日的工作状况有关．若前一日正常，则当日仍正常的概率为0.9；若前一日出现故障，则当日正常的概率为0.6．已知设备正常时，当日收入为2万元；发生故障时，当日收入为1万元，同时需要支付检修费用0.1万元．记第n天设备正常的概率为，，且． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）该企业计划引入智能预警系统．当设备故障时，系统出现预警的概率为0.9，可以提前检修，当日收入为1.6万元，同时需支付检修费用0.1万元；当设备正常时，系统出现预警（误报）的概率为0.1，也需要例行检查，收入不变，需支付检查费用500元；其它状态收入和费用保持原标准不变．已知智能预警系统的使用费为每日200元，从企业收益的角度，判断是否值得引入该系统，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年下学期普通高中供题训练 高二数学参考答案与评分标准 2026年7月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 2 3 6 7 8 答案 D C & C B A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ACD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.160 13. 1 14.48 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)X的所有可能取值为0，l,2,…1分 P(X=0)= C6C2_190 19 ·2分 40 780 78 400 20 P(X=1)=9 Ci …3分 780 39 190 19 P(X=2)= cc o …4分 780. 78 所以X的分布列为 X 0 1 2 19 20 19 P 78 39 78 …5分 (②)列联表如下： 成绩 优秀 不优秀 合计 组别 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 …7分 零假设为H。:坚持课后体育锻炼与体育达标测试成绩无关，…8分 根据表中数据可得x= 40×(14×14-6×6)2 =6.4 10分 20×20×20×20 高二数学试题第1页共4页 因为6.4>3.841，PX223.841=0.05…11分 根据小概率值=0.05的X独立性检验，我们推断H。不成立，… …12分 即坚持课后体育锻炼与体育达标测试成绩有关，该推断犯错误的概率不超过005.…13分 16.【解析】(1)证明：设AB=AC=2,AA1=2a, 以A为原点，AB,AC,AA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，…1分 则M(0,0,d,B(2,0,0),C1(0,2,20,C(0,2,0),N1,1,a) 因此N=1,1,0),CC1=(0,0,2）,BC=(-2,2,2a)，…2分 由于W.CC,=0,W.BC1=0,… …3分 因此N⊥CC1,N⊥BC1, 1 又BC1∩CC1=C1,BC1,CC1C平面BCC1B,…5分 因此NL平面BCCB,…6分 (2)由(1)可知M(0,0,1),N1,1,1),A(0,0,2),C1(0,2,2) 因此MC=(0,2,-1),AC1=(0,2,0),CN=1,-1,-1) …7分 设平面C4N的法向量为m=(任，，则”，4G=0,即 「2y=0 y=0 ,即 解得 n·AN=0x+y-z=0 Z=x 令x=1,得n=L,0,1),… …10分 m·N=0 设平面CN的法向量为=(x,y,z),则 x+y=0 即 2y-z=0' 解得 x=-y m.MC=0 z=2y 令y=-1,得m=(L,-1,-2),… …13分 1 设6是平面CAN与平面CN的夹角，因此cos0 3 √2.6=6 即平面CA,W与平面CN夹角的余弦值为 …15分 6 17.【解析】(1)f'(x)=e"-,… …1分 当a≤0时，则'(x)≥0恒成立，则f(x)在R上单调递增. …3分 当a>0时，令f'(x)=e-a=0得x=na: 令f'(x)=e"-a>0得x>na,则f(x)的单调递增区间为(a,+o): …4分 令f'(x)=e-a<0得x<na,则f(x)的单调递减区间为(-o,n☑）.…5分 综上所述：当a≤0时，f(x)在R上单调递增 当a>0时，f(x)的单调递增区间为(1n☑，十o)；单调递减区间为(-o,1n☑).…6分 ②)解法一：①当a≤上时，f()在(-1，+o)上单调递增， f)=e-a(x+1)+e>f-)=1+e>0,符合题意。 8分 ②当a>二时，x=ha时，f()取得最小值，…9分 高二数学试题第2页共4页 即fna=a-a(na+1)+e=-ana+e≥0，即ana≤e,…l0分 因为a君今Ma)-alah(a)-ha+1>0,ha在ac 单调递增，…12分 又因为(e)=elne=e,所以<a≤e时，alna≤e: 。。。。。。。。。。。。。。。 …14分 e 综上所述，a≤e.… 15分 解法二：当x>-1时，f)=e-a(x+1)+e≥0恒成立，则e+e≥a恒成立…7分 x+1 令8()-=ce则g的=e(x+l小-(e+eo-e …8分 x+1 (x+1) (x+1) h(x)=xe-e,x∈(-l,+0）,H(x)=e(x+1)>0,…9分 所以h(x)在(-1，+o)上单调递增，又h(1)=e-e=0。 …10分 所以令g(x)>0得x>1:令g(x)<0得x<1。 所以8(x)在(-1,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增。 …12分 所以g(x)mim=g(I)=e≥a。 …14分 所以a≤e。 15分 3a+3d=4+4d 18.【解析】(1)由题意知， …2分 4☑+6d=a+5d+5 解得41=1，d=2,… …3分 因此A=☑十(n-1)d=2n-1…4分 ②)(i)由题意知S1=S,+(2+2-)d,因此d=S-S C+1 2n+1 …6分 2”+12”+12”+1 由于2+1<2”，2n+1>0,2n+1>0,因此d,=2+i<2 _2n+12n+1 …7分 又有”÷ 2-l-n 8分 因为n=1和n=2.2n.当n23.2>n.因此d,号20放3d”+ …9分 (i)当n=1时，T==1eL,2, 9 …10分 设4，=22+1=3+++21+1 ① 。。。。。。。。。。。。。 224 2n …11分 1 35 ,2n+1 …12分 48 2m③ 311++12m+-3+- -@得A,=2+2十4 2n+1_52n+5 2-121+1-2 2+1- …13分 2n+1 An=5- 2n+5 …14分 2 当n≥2时， 高二数学试题第3页共4页 Tn=1+1+…+ 2n+1<1+ <+2n1352m1七A号，2<9 2"+1 4 2”24 2”2 …16分 又因为d,2 2n+1>0,因此T,递增，故T.≥1=d=1, 因此1≤T 9 …17分 19.【解析】(1)记第n天设备正常为事件A,n∈N,则P(AH|A)=0.9,P(A|A=0.6,…1分 h=P(4)=P(4)P(414)+P(4)P(4A)=0.9×0.9+0.6×0.1=0.87…3分 (2）)P(An）=P(A)P(AHA)P(A)P(AHlA),… …4分 即DnH=0.9pn+0.6(1-Pn),即+1=0.3Pn+0.6,… …5分 所以Ra91 63 6 …6分 所以数列{2-哥为等比数列首项为A9Q0号君 3 气0公比为 …7分 所以卫， …8分 (3))若不引入智能预警系统，设第n天净收入为Xn万元，Xm∈{2,0.9} 则P(Xm=2）=p,P(Xn=0.9)=1-乃.… …9分 E(Xn)=2pn+0.9(1-pn)=0.9+1.1pn.…10分 (引入智能预警系统后，设第n天该企业的净收入（不算系统使用费）为y万元，记系统出现预警为事件 M,Ym的所有可能取值为2,1.95,1.5,0.9 …11分 P(Y =2)=P(MA)=P(4)P(MIA )=0.9p P(n=1.95)=P(MA)=P(A)P(M|A)=0.1p., P(区=1.5)=P(MA)=P(4)P(M1A)=0.9(1-P.), P(g,=0.9)=P(MA)=P(A)P(M1A)=0.11-p) …12分 所以E(Y）=2×0.9pn+1.95×0.1pn+1.5×0.9(1-2n)+0.9×0.1(1-2n)=1.44+0.5552n…13分 因为A9亮高”所以a=9+品品厂s品 9 …14分 因为E(Y)-E(X)=1.44+0.555pn-0.9-1.1pn=0.54-0.545pm.…15分 ≥0.54-0.545×0.9=0.54-0.545+0.0545=0.0495>0.02.… …16分 净收入期望的增加值大于系统的使用费用，所以值得引入该系统.… …17分 高二数学试题第4页共4页