26.3 二次函数与一元二次方程 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

二次函数与一元二次方程（1）

课型

新授课

教学内容

教材第46-48页的内容

教学目标

1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

教学重难点

教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？

（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.

由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-6x+9=0，x2-x+1=0的根的情况吗？

【师生活动】先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.

本节探讨二次函数与一元二次方程的联系，应能了解一元二次方程的根的几何意义。

抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。

可播放课件：函数的图象，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解.

可以看出：

（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.

（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.

（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.

由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？

例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）.反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.

一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.

总结：一般地，如果二次函数y=的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.

2.探索新知，归纳知识

一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.

（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

3.学以致用，应用新知

【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气

由于学习过一次函数与一元一次方程的关系，本节课老师可以大致引导，让学生有研究方向，自主参与研究。

教师总结，学生体会。

可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。

阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

h=20t－5t2.

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.

解：（1）解方程15＝20t—5t2.  t2—4t＋3=0.  t1＝1,t2＝3.

当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.

（2）解方程20＝20t－5t2.  t2－4t＋4＝0.  t1＝t2＝2.

当球飞行2s时，它的高度为20m.

（3）解方程20.5＝20t－5t2.  t2－4t＋4.1＝0

因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.

（4）解方程0＝20t－5t2. 得 t1＝0,t2＝4.

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面。

4.随堂训练，巩固新知

（1）小明画了二次函数y＝2x2+bx+c的图象（如图所示），则关于x的方程2x2+bx+c＝0的解为（　　）

几个问题均可以用一元二次方程解决，从函数图象看，就是求直线h=m（m≥0）与抛物线h=20t－5t2的公共点的横坐标。

学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。