26.3 二次函数与一元二次方程 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过观察三个二次函数图象与x轴的交点，引导学生发现交点横坐标与方程根的对应关系，类比一次函数与一元一次方程的联系，搭建知识支架。 此资料以数形结合为核心，借助课件动态展示函数图象，结合小球飞行等实际问题，培养学生几何直观与推理意识。通过探究不同函数图象交点求方程解，渗透模型意识，助力学生理解知识联系，提升教师教学效率。

26.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程（1） 课题 二次函数与一元二次方程（1） 课型 新授课 教学内容 教材第46-48页的内容 教学目标 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 教学重难点 教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。 教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-6x+9=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 【师生活动】先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题. 可播放课件：函数的图象，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解. 可以看出： （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1. （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3. （3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根. 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切. 由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？ 例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）.反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值. 一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 总结：一般地，如果二次函数y=的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根. 2.探索新知，归纳知识 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知， （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2. 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值. 解：（1）解方程15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）解方程20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）解方程20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0 因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m. （4）解方程0＝20t－5t2. 得 t1＝0,t2＝4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面。 4.随堂训练，巩固新知 （1）小明画了二次函数y＝2x2+bx+c的图象（如图所示），则关于x的方程2x2+bx+c＝0的解为（　　） A． x1＝﹣3，x2＝1 B．x＝1 B． x＝﹣6 D．x＝﹣8 答案:A （2）下列函数的图象与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 答案:D （3）小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 答案:D （4）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 答案：C 5.课堂小结，自我完善 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，渗透数形结合思想。 6.布置作业 课本P48练习。 本节探讨二次函数与一元二次方程的联系，应能了解一元二次方程的根的几何意义。 抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。 由于学习过一次函数与一元一次方程的关系，本节课老师可以大致引导，让学生有研究方向，自主参与研究。 教师总结，学生体会。 可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。 几个问题均可以用一元二次方程解决，从函数图象看，就是求直线h=m（m≥0）与抛物线h=20t－5t2的公共点的横坐标。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解。 抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集。 板书设计 二次函数与一元二次方程 类比一次函数与一次方程（不等式）的联系，研究二次函数与一元二次方程（不等式）的关系。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系。 第2课时 二次函数与一元二次方程（2） 课题 二次函数与一元二次方程（2） 课型 新授课 教学内容 教材第48-49页的内容 教学目标 1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。 2．让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。 教学重难点 教学重点：用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力。 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。 教 学 过 程 备 注 1.复习巩固 【问题】 1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c=0的解? 2．完成以下两道题： (1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1) (2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。 2.探索问题 【例】利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）. 解：如图，作y＝x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7. 播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异. 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。 【探究】育才中学九年级(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么? 3．函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4.函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗? 5．如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样? 做一做：利用图象，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2＋x－1＝0(精确到0.1)； (2)2x2－3x－2＝0。 综合运用：已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1。 所以y1＝x＋1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有 4＝18－24＋k＋8。 解得k＝2。 所以y1＝2x2－8x＋10。 (2)依题意，得，解得 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。 3.随堂训练，巩固新知 1. 利用函数的图象求下列方程的解： (1)x2＋x－6＝0； (2)2x2－3x－5＝0 2．利用函数的图象求下列方程的解。 (1)， (2) 3．填空。 (1)抛物线y＝x2－x－2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。 (2)抛物线y＝2x2－5x＋3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。 4．已知抛物线y＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的交点的纵坐标为3。 (1)求抛物线的关系式； (2)求抛物线y＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的另一个交点坐标． 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x－2相交于(m，－2)，(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x＝3，求函数的关系式。 4.课堂小结，自我完善 1．如何用画函数图象的方法求方程的解? 2．你能根据方程组：的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c图象交点个数吗?请说说你的看法。 5.布置作业 课本P49练习。 复习第1课时内容，加深对二次函数与一元二次方程（不等式）关系的理解。 利用二次函数与一元二次方程关系解决问题。 老师提问，引导学生思考。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 教后反思 复习过程中，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系，体会数形结合思想的运用。 学科网（北京）股份有限公司 $