第06讲 有理数的引入（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）暑假预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

第06讲 有理数的引入（知识精讲+典例+创新题+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 正数、负数的概念和产生背景，能用正负数表示生活中具有相反意义的量； 理解0既不是正数也不是负数。 理解 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的一一对应关系。 掌握 相反数的代数与几何意义，能求一个有理数的相反数；理解互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 掌握 绝对值的代数定义和几何意义，会求有理数的绝对值；理解绝对值的非负性。 熟练运用 用数轴和绝对值进行有理数大小比较的方法，能解决含相反数、绝对值的综合问题。 ✨ 核心思想：数形结合是本章核心——用数轴把符号与位置对应起来，是理解相反数、绝对值、比较大小等概念的钥匙。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 正数与负数 正数：大于0的数；负数：小于0的数；0既不是正数也不是负数。引入负数是为了表示具有相反意义的量。 要点①： 具有相反意义的量必须满足三个条件：①意义相反 ②都是数量 ③要有参照基准。 要点②： 负号「-」只表示性质，不代表运算意义上的减号，单独的「-5」读作「负五」。 要点③： 0的作用——表示基准或分界，是唯一既非正也非负的数。 ※注意：判断一个数的正负关键看符号，与大小无关（-5 比 -10 大，但是负数）。 ☆ 2. 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与有理数一一对应。 要点①： 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 要点②： 数轴上右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。 要点③： 动点问题：点向左移a个单位→数值减a；向右移a个单位→数值加a。 要点④： 求数轴上到某点距离为d的点：设该点表示x，则|x - x0| = d，解得 x = x0 ± d。 ※易错：动点问题要先画图，明确方向和速度，再用距离=速度×时间列式。 ☆ 3. 相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数；特别地，0的相反数是0。几何上，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 要点①： 相反数表示的是成对关系，单独一个数不能说它就是相反数。 要点②： -a的相反数是a；a的相反数是-a（含字母的相反数要保留性质符号）。 要点③： 化简多重符号：奇数个「-」号结果为负，偶数个「-」号结果为正。 ※技巧：判断互为相反数的核心是符号不同、绝对值相同，跟数本身的大小无关。 ☆ 4. 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。代数定义：|a| = a（a≥0），|a| = -a（a<0）。 要点①： 任何有理数的绝对值都是非负数（|a| ≥ 0），即非负性，这是常考性质。 要点②： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 要点③： 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数不一定相等（可能互为相反数）。 要点④： 化简含绝对值的式子：先根据符号判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值号。 ※关键：|a| = 0 等价 a = 0；|a| ≥ 0 的应用是解方程和最值问题的常考工具。 ☆ 5. 有理数大小比较 比较有理数大小的方法：①正数>0>负数；②两个正数比，绝对值大的大；③两个负数比，绝对值大的反而小；④借助数轴比较：右边的数总比左边的大。 要点①： 正数大于一切负数和0；负数小于0；两个负数比较时，绝对值大的反而小。 要点②： 异号两数比较不必比较绝对值，直接由正数>0>负数判断。 要点③： 多负数比较：先看符号（正>0>负），同号时再比绝对值（同正取大、同负取小）。 ※口诀：正大于零，零大于负；同号相异，比绝对值——同正取大，同负取小。 ☆ 知识总结表 核心概念 要点 关键性质 正数与负数 >0的数为正数，<0的数为负数 0既非正也非负 数轴 原点、正方向、单位长度 右>左；点与数一一对应 相反数 只有符号不同的两个数 0的相反数是0；互为相反数等价关于原点对称 绝对值 数轴上点到原点的距离 |a|≥0；|a|=0等价a=0 大小比较 正数>0>负数；同正取大、同负取小 数轴法最直观 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】正数与负数（第1-5题） ※方法总结 相反意义的量： 判断相反意义的量：①意义相反 ②都是数量 ③有参照基准。 正负数的识别： 看符号不看大小：-5 是负数，但比 -10 大。 0 的意义： 0 是正负的分界，是唯一既非正数也非负数的数。 净含量问题： 标注 a±b 表示允许偏差范围 [a-b, a+b]，超出范围即不合格。 1．（2025秋•奉贤区期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：+50+（﹣18）＝+32（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入32元， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 2．（2025秋•普陀区期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 【分析】计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【解答】解：∵薯片检测报告上注明净含量为65±5g， ∴净含量范围为：（65﹣5）g≤净含量≤（65+5）g，即60g≤净含量≤70g，故A不符合标准． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，掌握正数和负数性质是解题的关键． 3．（2025秋•宝山区期末）在3.14、0、、π、﹣5、8848.86中，有理数有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【解答】解：3.14是有限小数，是有理数； 0是整数，是有理数； 是分数，是有理数； π是无限不循环小数，不是有理数； ﹣5是整数，是有理数； 8848.86是有限小数，是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的定义，关键是熟练掌握有理数的定义． 4．（2025秋•青浦区校级期中）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款50元记作　﹣50元　 ． 【分析】正负数是一对具有相反意义的量，若二维码收款用“+”表示，那么向商家付款就用“﹣”表示，据此求解即可． 【解答】解：根据题意可知，向商家付款50元记作﹣50元． 故答案为：﹣50元． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数是一对具有相反意义的量是关键． 5．（2025秋•金山区期末）最大的负整数与最小的正整数的和是　0　 ． 【分析】最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，所以最大的负整数与最小的正整数的和是0 【解答】解：由题可知： ∵最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1； ∴两者的和就是1﹣1＝0 ∴最大的负整数与最小的正整数的和是0 【点评】本题主要考查的是有理数的定义及拓展，此题的关键是知道最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1．比较容易． 【考点2】数轴（第6-15题） ※方法总结 三要素： 原点、正方向、单位长度三者缺一不可。 动点相遇： 相遇时间 t = 距离之和 ÷ 速度之和（相向而行）。 距离公式： 到 x0 距离为 d 的点：x = x0 + d 或 x = x0 - d（两个解）。 行程问题： 距离 = |位置差|，画数轴列式更直观，注意返回出发点的油耗。 6．（2025秋•宝山区期末）在数轴上，点P表示的数是﹣5，到点P距离4个单位的点表示的数是（　　） A．﹣9 B．﹣9或﹣1 C．9 D．﹣1 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点P表示的数是﹣5， 所以﹣5﹣4＝﹣9，﹣5+4＝﹣1， 所以到点P距离4个单位的点表示的数是﹣9或﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 7．（2025秋•浦东新区期中）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，将点A向右移动3个单位长度后得到的点表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【分析】根据数轴从左到右表示的数越来越大，利用数轴上“左减右加”的平移规律即可求解． 【解答】解：﹣2+3＝1； ∴将点A向右移动3个单位长度后得到的点为1． 故选：C． 【点评】本题考查数轴，明确数轴上右边的数总比左边的数大的性质，熟练掌握数轴上“左减右加”的平移规律是解题关键． 8．（2025秋•宝山区校级月考）点A为数轴上表示﹣3的点，当AB＝5时，则B点所表示的数是（　　） A．2 B．﹣8 C．2或8 D．2或﹣8 【分析】根据数轴上两点距离的定义，点B可能在点A的左侧或右侧，分别计算对应数值，即可作答． 【解答】解：∵AB＝5， ∴当点B在点A右侧时﹣3+5＝2； 当点B在点A左侧时﹣3﹣5＝﹣8， ∴B点数是2或﹣8； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加法运算，减法运算，在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离．熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025秋•普陀区校级月考）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（　　） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：根据题意可知，点C在点O与点A之间． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 10．（2025秋•静安区校级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①x5＝1；②x76＞x77；③x2024＝x2025，其中正确的结论是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【分析】根据题意得到机器人运动以5秒为一个循环，每个循环净前进1单位，据此逐一进行判断即可． 【解答】解：由题意，机器人运动以5秒为一个循环，每个循环净前进1单位， ∴x5＝1，故①正确，符合题意； ∵77÷5＝15⋯2，76÷5＝15⋯1， ∴机器人在第76秒的位置上再前进一个单位，到达第77秒的位置， 故x76＜x77，故②错误，不符合题意； ∵2025÷5＝405，2024÷5＝404⋯4， ∴机器人在第2024秒的位置后退1个单位，到达第2025秒的位置； ∴x2024≠x2025，故③错误，不符合题意； 故选A． 【点评】本题考查数轴上的规律探究，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）已知﹣1在数轴上对应的点为A，数轴上点B、C在点A的两侧（点B在点A的右侧），且它们到点A的距离相等，现将点B向左移动2个单位到点B1处，将点C向右移动1个单位到点C1处，此时点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，则点B所对应的数是　2或　 ． 【分析】设点B所对应的数是b，b＞﹣1，则点C所对应的数是﹣b﹣2，根据点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，列出方程，求解即可． 【解答】解：设点B所对应的数是b，b＞﹣1，则点C所对应的数是﹣1﹣[b﹣（﹣1）]＝﹣b﹣2． 点B1所对应的数是b﹣2，点C1所对应的数是（﹣b﹣2）+1＝﹣b﹣1． 点B1到点A的距离为|b﹣2﹣（﹣1）|＝|b﹣1|， 点C1到点A的距离为|﹣b﹣1﹣（﹣1）|＝|﹣b|＝|b|． ∵点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半， ∴． 当b≥1时，，解得b＝2； 当﹣1＜b＜0时，，解得b＝2，但b＝2不在﹣1＜b＜0范围内，舍去． 当0≤b＜1时，，解得； 综上，点B所对应的数是2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查数轴上的点表示的数及点对应的线段之间的和差、倍数关系、一元一次方程的解法，掌握数轴上点对应的线段之间的和差、倍数关系是解题关键，注意分类讨论的应用． 12．（2025秋•普陀区期末）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　2或20　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． 【分析】分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可． 【解答】解：设运动的时间为t秒， ①当点P在原点的左侧时，有17﹣4t＝3+3t，解得，t＝2， ②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t＝20+3t，解得，t＝20； 故答案为：2或20． 【点评】考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题的关键． 13．（2025秋•碑林区校级月考）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣12，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为4，则C点表示的数是　﹣3或1　 ． 【分析】先根据点A对折后的对应点与点B的距离是4，得出对应点所表示的数，再结合点A所表示的数即知A与对应点间的距离，而C是其中点，则可知A，C两点间的距离，则C点表示的数可求． 【解答】解：由题意可得：10+4＝14或10﹣4＝6， 又因为点A表示的数是﹣12， ∴当点A的对应点表示的数为14时， 14﹣（﹣12）＝26，26÷2＝13，﹣12+13＝1， 即点C表示的数是1； 当点A的对应点表示的数为6， 6﹣（﹣12）＝18，18÷2＝9，﹣12+9＝﹣3， 即点C表示的数是﹣3； 点C表示的数为：﹣3或1． 故答案为：﹣3或1． 【点评】本题主要考查了数轴与翻折，数轴上两点间距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 14．（2024秋•上海月考）出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，油箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【分析】（1）将各数相加所得的数即是距出发点的距离，若得数为正则在出车的北边，若为负则在出车的南边； （3）耗油量＝每千米的耗油量×总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再和67.4升进行比较即可． 【解答】解：（1）（+12）+（﹣8）+（+10）+（﹣13）+（+10）+（﹣12）+（+6）+（﹣15）+（+11）+（﹣14）＝﹣13（千米）． 答：小张距上午出发点的距离是13千米，在出发点的南方； （2）（12+8+10+13+10+12+6+15+11+14+13）×0.6＝74.4（升）， 74.4﹣67.4＝7（升） 答：需要加油，要加7升油． 【点评】本题考查了用数轴表示有理数以及正数和负数的加减法，注意总路程为所走路程的绝对值的和． 15．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　4　 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　﹣4　 ； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可． 【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得： 2x+3x＝8﹣（﹣12）， 解得：x＝4， ﹣12+2×4＝﹣4． 答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4； 故答案为：4；﹣4． （2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， 若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20， 解得：t＝2． 若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20， 解得：t＝6． 综上所述：t的值为2或6． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，利用分类讨论得出是解题关键． 【考点3】相反数与绝对值（第16-33题） ※方法总结 相反数性质： a + (-a) = 0；0 的相反数是 0；互为相反数等价关于原点对称。 多重符号化简： 奇数个「-」为负，偶数个「-」为正；口诀：同号得正，异号得负。 绝对值性质： |a|≥0；正数绝对值是本身；负数绝对值是相反数；0的绝对值是0。 化简含绝对值式： 先判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值号，分类讨论。 ①相反数的概念 16．（2025秋•长宁区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．|﹣2|和2 C．|﹣2|和﹣2 D．|﹣2|和﹣（﹣2） 【分析】根据相反数的定义进行判断即可． 【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，与2相等，不是相反数，不符合题意； B、|﹣2|＝2，与2相等，不是相反数，不符合题意； C、|﹣2|＝2，2与﹣2绝对值相等、符号相反，互为相反数，符合题意； D、|﹣2|＝2，﹣（﹣2）＝2，两数相等，不是相反数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 17．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法：①a的相反数是﹣a；②符号相反的数互为相反数；③﹣[﹣（+3.8）]的相反数是﹣3.8：④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，根据相反数的定义进行一一分析进而得出答案即可． 【解答】解：①a的相反数是﹣a，正确； ②只有符号不同的两个数是互为相反数，故原说法错误； ③﹣[﹣（+3.8）]＝3.8，3.8的相反数是﹣3.8，正确； ④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，正确； ⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和﹣1，故原说法错误； 故正确的有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 18．（2025秋•杨浦区期末）相反数是本身的数是 　0　 ． 【分析】符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0，据此即可得出答案． 【解答】解：相反数是本身的数是0， 故答案为：0． 【点评】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 19．（2025秋•崇明区校级期中）若﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1，a的相反数为　﹣1　 ． 【分析】先根据化简多重符合得a＝1，则可得a的相反数． 【解答】解：∵﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1， ∴a＝1， ∴a的相反数为：﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 20．（2024秋•黄浦区校级期末）已知2m与1﹣3m互为相反数，那么m的值是　1　 ． 【分析】由题意易得2m+1﹣3m＝0，然后进行求解即可． 【解答】解：由相反数性质可知： 2m+1﹣3m＝0， 解得：m＝1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了相反数及一元一次方程的解法，熟练掌握相反数的定义及一元一次方程的解法是解题的关键． ②绝对值的概念及意义 21．（2025秋•浦东新区期末）下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（　　） A．﹣5和+5 B．﹣4和﹣|4| C．﹣3和﹣（+3） D．80%和﹣（0.75） 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解判断即可． 【解答】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项分析判断如下： A、﹣5和+5互为相反数，符合题意； B、﹣4和﹣|4|＝﹣4不互为相反数，不符合题意； C、﹣3和﹣（+3）＝﹣3不互为相反数，不符合题意； D、80%＝0.8和﹣（+0.75）＝﹣0.75不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了相反数的定义，化简多重符号和求一个数的绝对值，熟练掌握以上知识点是关键． 22．（2025秋•虹口区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．具有相反意义的两个量互为相反数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值不大于100的整数有200个 【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：绝对值等于它本身的数是非负数，故选项A错误，不符合题意； 只有符号不同的两个数互为相反数，而具有相反意义的两个量不一定是相反数，故选项B错误，不符合题意； 互为相反数的两个数的绝对值相等，故选项C正确，符合题意； 绝对值不大于100的整数有201个，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查绝对值、正数和负数、相反数，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确． 23．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：有数轴图可知c＜﹣a＜0＜a＜b，|c|＞|b|＞|a|， ∴a+c＜b，①正确； b﹣a＞0+c，②正确； |﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|，③正确； c＜﹣b＜a，④正确． ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 24．（2025秋•虹口区校级月考）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用a1，a2，a3和b1，b2，b3表示，且a1＜a2＜a3，b1＞b2＞b3，设m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|，则m为（　　） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【分析】分10种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【解答】解：将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用a1，a2，a3和b1，b2，b3表示，且a1＜a2＜a3，b1＞b2＞b3， 分10种情况讨论，再进行计算求值如下： 若a1，a2，a3取6，7，8，b1，b2，b3取5，4，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|6﹣5|+|7﹣4|+|8﹣3|＝1+3+5＝9； 若a1，a2，a3取5，6，7；b1，b2，b3取8，4，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|5﹣8|+|6﹣4|+|7﹣3|＝3+2+4＝9； 若a1，a2，a3取4，5，6；b1，b2，b3取8，7，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|4﹣8|+|5﹣7|+|6﹣3|＝4+2+3＝9； 若a1，a2，a3取3，4，6；b1，b2，b3取8，7，5， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|3﹣8|+|4﹣7|+|6﹣5|＝5+3+1＝9； 若a1，a2，a3取3，4，7；b1，b2，b3取8，6，5， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|3﹣8|+|4﹣6|+|7﹣5|＝5+2+2＝9； 若a1，a2，a3取4，7，8；b1，b2，b3取6，5，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|4﹣6|+|7﹣5|+|8﹣3|＝2+2+5＝9； 若a1，a2，a3取3，5，8；b1，b2，b3取7，6，4， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|3﹣7|+|5﹣6|+|8﹣4|＝4+1+4＝9； 若a1，a2，a3取3，6，8；b1，b2，b3取7，5，4， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|3﹣7|+|6﹣5|+|8﹣4|＝4+1+4＝9； 若a1，a2，a3取4，6，8；b1，b2，b3取7，5，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|4﹣7|+|6﹣5|+|8﹣3|＝3+1+5＝9； 若a1，a2，a3取4，5，8；b1，b2，b3取7，6，3， ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝|4﹣7|+|5﹣6|+|8﹣3|＝3+1+5＝9； 当a1＝2，a2，a3分别变为b3，b2，b1；b1，b2，b3分别变为a3，a2，a1＝2，则m＝|b3﹣a3|+|b2﹣a2|+|b1﹣a1|＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|，结果不变；如a1，a2，a3取4，5，8；b1，b2，b3取7，6，3，交换两组数，即a1，a2，a3取3，6，7；b1，b2，b3取8，5，4，此时m＝|3﹣8|+|6﹣5|+|7﹣4|＝|4﹣7|+|5﹣6|+|8﹣3|＝9． ∴m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|＝9． 故选：B． 【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 25．（2025秋•普陀区校级月考）如果x﹣3+|x﹣3|＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3 【分析】根据当一个代数式的绝对值等于它的相反数时，该代数式为非正数，得到x﹣3≤0，即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知，|x﹣3|＝﹣（x﹣3）， ∴x﹣3≤0， ∴x≤3． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 26．（2026春•杨浦区校级月考）已知：2﹣（a﹣5）＞2a﹣2，化简：|a﹣9|﹣|6﹣2 a|＝a+3　 ． 【分析】先求出不等式的解集，再化简绝对值即可． 【解答】解：由题知， 解不等式2﹣（a﹣5）＞2a﹣2得， a＜3， 则a﹣9＜0，6﹣2a＞0， 所以|a﹣9|﹣|6﹣2a|＝﹣a+9﹣6+2a＝a+3． 故答案为：a+3． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的性质是解题的关键． 27．（2025秋•静安区校级期中）已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值为　±1　 ． 【分析】若|x|＝2，|y|＝3，则x＝±2，y＝±3；又有xy＜0，则xy异号；故x+y＝±1． 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵xy＜0， ∴xy符号相反， ①x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1； ②x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1． 故答案为：±1． 【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 28．（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　2　 ． 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值． 【解答】解：∵1， ∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个． ①若有理数a，b，c，d有一个负三个正， 则2； ②若有理数a，b，c，d有三个负一个正， 则2； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 29．（2025秋•杨浦区校级期中）如果规定，那么　0.9　 ． 【分析】分析题意可知，，c＝0.7，，把a、b、c、d的值代入a×d﹣b×c，计算出结果即可． 【解答】解：由题意可知： 原式 ＝1.5﹣0.6 ＝0.9． 故答案为：0.9． 【点评】本题考查的是新定义运算，分析题意找出题中新运算的计算方法是解答题目的关键． 30．（2025秋•普陀区校级期中）已知abc＜0，a+b+c＞0，且，求x＝　0　 ． 【分析】由已知条件确定a，b，c的正负，然后利用绝对值的性质计算即可． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0， ∴a，b，c中必然是一负两正， 不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 原式 ＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1 ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查绝对值，由已知条件确定a，b，c的正负是解题的关键． 31．（2025秋•崇明区校级期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　|2﹣（﹣3）|　 ；式子|a+5|的几何意义是　数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　﹣1或5　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　7　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　8　 ． 【分析】（1）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （2）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （3）利用绝对值的定义和数轴知识解答； （4）利用绝对值的定义和数轴知识解答； 【解答】解：（1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； 故答案为：|2﹣（﹣3）|；数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝﹣1或5； 故答案为：﹣1或5； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是7； 故答案为：7； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 32．（2025秋•闵行区校级月考）如图，数轴上点M表示的数为1． （1）点M向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为　2　 ，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为　﹣1　 ． （2）若数轴上点N表示的数为n，且|n|＝3，求点M与点N之间的距离． 【分析】（1）根据数轴上点的移动求出点的坐标； （2）根据绝对值的意义先求出n＝±3，再分情况求出结果即可． 【解答】解：（1）由题意可得：向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为1+1＝2， 再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为2﹣3＝﹣1， 故答案为：2，﹣1； （2）若数轴上点N表示的数为n，且|n|＝3， ∴n＝±3， ∵点M表示的数为1， 当n＝3时，MN＝3﹣1＝2， 当n＝﹣3时，MN＝|﹣3|+1＝4， ∴点M与点N之间的距离为2或4． 【点评】本题考查了数轴上点的移动与数轴上两点间的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 33．（2025秋•宝山区期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． （1）如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 F ； （2）如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 　7　 ； （3）如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 　1或﹣3　 ． 【分析】（1）根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进行判断即可； （2）根据绝对值相等的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进行判断即可； （3）设这个点表示的数为x，分两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵点D、H表示的数是互为相反数时， ∴点D、H在原点的两侧，且到原点的距离相等， 故原点为点F． 故答案为：F； （2）根据题意可知，点D为原点， ∵数轴的单位长度为1， ∴点K表示的数是7． 故答案为：7． （3）设这个点表示的数为x， ∵点I为原点， ∴点D表示的数为﹣5，点G表示的数为﹣2， 当该点在点D和点G之间时， x+5＝2（﹣2﹣x），解得：x＝﹣3， 当该点在点G右侧时， x+5＝2（x+2），解得：x＝1． 故答案为：1或﹣3． 【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，掌握相关知识点是解题的关键． 【考点4】有理数大小比较（第34-43题） ※方法总结 法则口诀： 正数>0>负数；同正取大，同负取小（绝对值）。 数轴比较： 数轴上右边的数总比左边的大。 综合比较： 多个数比较：先按符号分三组（正、零、负），组内按法则比较。 34．（2025秋•静安区校级期中）分数介于哪两个整数之间（　　） A．﹣5和﹣4 B．﹣6和﹣5 C．﹣7和﹣6 D．﹣8和﹣7 【分析】将分数化为小数，然后确定其介于哪两个负整数之间即可． 【解答】解：5.14 ∴分数介于﹣5和﹣6之间， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 35．（2025秋•闵行区校级期中）正数a、b、c、d有等式如下：，其中最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【分析】根据乘积一定（0除外），一个因数大，另一个因数反而小即可求解． 【解答】解：∵（均为正数）， ∴（均为正数） ∵， ∵乘积一定（0除外），一个因数大，一个因数反而小， ∴综上分析，最大的是c， 故选：C． 【点评】本题主要考查分数乘除法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2025秋•宝山区期末）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，|a|，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（　　） A．﹣b＜|a|＜a＜b B．a＜﹣b＜|a|＜b C．﹣b＜a＜|a|＜b D．a＜﹣b＜b＜|a| 【分析】根据a，b两点在数轴上的位置和相反数比较即可． 【解答】解：∵从数轴可知：﹣4＜a＜﹣3，1＜b＜2， ∴a＜﹣b＜b＜|a|， 故选：D． 【点评】本题考查数轴，相反数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 37．（2025秋•杨浦区期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（　　） A．10 B．20 C．﹣25 D．﹣5 【分析】根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可． 【解答】解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， ∴选C或D， 又∵指针越接近0就越接近标准音，|﹣25|＝25，|﹣5|＝5，25＞5， ∴﹣5更接近0， 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，理解正负数表示的含义是解题的关键． 38．（2025秋•静安区校级期末）比较大小： 　＜　 ．（填“＞”，“＜”号） 【分析】先把和化成同分母的分数，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较，即可得出答案． 【解答】解：∵，， 又∵， ∴； 故答案为：＜． 【点评】此题考查了有理数的大小比较，解题的关键掌握好两个负数比较大小，绝对值大的反而小，是一道基础题． 39．（2026春•杨浦区校级月考）有理数x1、x2、x3满足x1+x2＜x2+x3＜x3+x1，请将它们从小到大排列x2＜x1＜x3 ． 【分析】利用不等式的基本性质对给定的连不等式变形，即可推导出三个有理数的大小关系． 【解答】解：由题知， 因为x1+x2＜x2+x3， 所以x1＜x3， 又因为x2+x3＜x3+x1， 所以x2＜x1， 综上所述，x2＜x1＜x3． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 40．（2025秋•浦东新区期末）比较大小：　＞　 ． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：1，1， 、分子相同，分母不同，且2025＜2026， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 41．（2025春•金山区期中）我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为　20或﹣4　 ． 【分析】根据新定义的概念，分情况讨论max{，1﹣x}括号中两个代数式与max{，3}＝3构成一元一次方程，最后解该一元一次方即可． 【解答】解：∵max{，3}＝3，max{，1﹣x}﹣max{，3}＝2， ∴当1﹣x时，max{，1﹣x}，则，解得x＝20， 当1﹣x时，max{，1﹣x}＝1﹣x，则1﹣x﹣3＝2，解得x＝﹣4， 综上所述，x的值为20或﹣4． 故答案为：20或﹣4． 【点评】本题主要考查对最大值max的理解与应用，以及分情况讨论时解一元一次方程的能力． 42．（2025秋•金山区校级期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是　﹣1　 ，点B表示的数是　1　 ． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 【分析】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【解答】解：（1）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1， 故答案为：﹣1，1； （2）如图， ； （3）由数轴知：． 【点评】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． 43．（2024秋•宝山区校级期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示． （1）用“＜”号把a，b，c连接起来； （2）化简：|c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+2|a﹣b| 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （2）根据绝对值的性质，差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案． 【解答】解：（1）c＜a＜b； （2）原式＝﹣c﹣（a+b）﹣[﹣（c﹣a）]+2[﹣（a﹣b）] ＝﹣c﹣a﹣b+c﹣a﹣2a+2b ＝﹣4a+b． 【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 六．创新及压轴题（共3小题） 44．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是　2　 ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是　　 ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是　4　 ． 【分析】（1）根据正方形的边长，即可得到点A第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点A第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出OD＝12，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是， 故答案为：2； （2）∵正方形的边长为，点B与原点O重合，点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是2， ∴点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是2， 故答案为：； （3）由（2）知点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是， 此时，点B在点A的正上方，D点所表示的数是12，即OD＝12， ∴以点O、B、D三点为顶点的三角形面积为12＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． 45．（2025秋•青浦区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间． 46．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x＜y），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作M（P，a）＝＜x，y＞．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是M（O，1）＝＜﹣1，1＞． （1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 　＜﹣1，3＞　 ； （2）如果M（P，a）＝＜2，4048＞，那么点P表示的数是 　2025　 ，a的值是 　2023　 ； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动，当|n﹣x|＝3|y﹣m|时，求点P、Q之间的距离． 【分析】（1）根据题意可知：点P关于2的对称数组也就是说与点P相距2个单位长度的两点．又知道点P表示数1，所以与点P相距2个单位长度的两点是﹣1，3．所以点P关于2的对称数组是＜﹣1，3＞； （2）M（P，a）＝＜2，4048＞表示与点p相距a个单位长度的两个点分别是2和4048，那么P＝（2+4048）÷2＝2025；a＝2025﹣2＝2023，所以a表示的数是2023； （3）M（P，3）＝＜x，y＞表示与点p相距3个单位长度的两个点分别是x和y，M（Q，2）＝＜m，n＞表示与点Q相距2个单位长度的两个点分别是m和n．根据新定义可得：x＝P﹣3，y＝P+3，m＝Q﹣2，n＝Q+2，进而由|n﹣x|＝3|y﹣m|得出|Q﹣P+5|＝3|P﹣Q+5|，解关于Q﹣P的方程，即可求解． 【解答】解：（1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是＜﹣1，3＞； （2）∵M（P，a）＝＜2，4048＞，∴P＝（2+4048）÷2＝2025，a＝2025﹣2＝2023； （3）∵M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动， ∴x＝P﹣3，y＝P+3，m＝Q﹣2，n＝Q+2， ∵|n﹣x|＝3|y﹣m|， ∴|Q+2﹣P+3|＝3|P+3﹣Q+2|，即|Q﹣P+5|＝3|P﹣Q+5| ①当Q﹣P+5＝3（P﹣Q+5）时， Q﹣P+5＝3（P﹣Q）+15 可得：Q﹣P； ②当Q﹣P+5＝﹣3（P﹣Q+5）时， 解得：Q﹣P＝10． 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 故答案为：（1）＜﹣1，3＞；（2）2025，2023；（3）或10． 【点评】本题是新定义运算的题目，要理解题目然后再解题． 随堂检测 · 精选练习 练习1 — 正数与负数：一种零件的长度标准是10±0.5（mm），下列数据中合格的是（ ）。 练习2 — 数轴：在数轴上，到表示2的点距离为3的点表示的数是（ ）。 练习3 — 相反数：若 -[-(-a)] = -1，则 a 的相反数是（ ）。 练习4 — 绝对值：若 |x| = 2，|y| = 3，且 xy<0，则 x+y 的值为（ ）。 练习5 — 动点相遇：点A表示-12，点B表示8，两点相向而行，速度分别为2、3，几秒相遇？ 练习6 — 大小比较：在 -5、-3、0、2、-1.5 中按从小到大的顺序排列。 【练习1】（2025秋•普陀区期末）比较大小：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵、分子相同，分母不同，且3＜4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【练习2】（2025秋•青浦区校级期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ 　　 ． 【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解． 【解答】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处， 第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处， …， 则跳动n次后，即跳到了离原点的处； 则第6次跳动后，A6， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴，有理数乘方的应用，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题的关键． 【练习3】（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则 　1　 ． 【分析】根据有理数的性质确定a、b、c有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的意义计算． 【解答】解：∵a+b+c＞0， ∴a、b、c中一定有正数， ∵abc＜0， ∴a、b、c中一定有1个或3个负数， ∴a、b、c有2个正数，1个负数， ∴原式＝1+1﹣1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【练习4】（2025秋•闵行区校级期中）某检修小组乘坐一辆汽车从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果向东行驶记为正，向西行驶记为负，一天六次检修中行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 ﹣6 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣7 （1）求收工时检修汽车在A地的东边还是西边？距A地多远？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.3升，开工时储油13升，问从A地出发到收工，再回到A地，请问中途是否需要加油？若不需要加油，还剩多少升汽油？ 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可求出答案． （2）根据绝对值的意义即可求出答案． （3）求出6尺检修的总路程，然后根据每千米好有0.3升即可求出答案 【解答】解：（1）由题意可知：﹣6+7﹣9+8+6﹣7＝﹣1 ∴收工时检修汽车在A地的西边，距离A地1千米； （2）六次的行驶总路程为：6+7+9+8+6+7＝43千米， ∴收工时，回到A地的路程为1千米， ∴从A地出发到收工，再回到A地共行驶了43+1＝44千米， ∴共耗油44×0.3＝13.2（升）． ∵13＜13.2 ∴需要加油． 【点评】本题考查正数与负数，解题的关键是正确理解正数与负数的意义，本题属于基础题型． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 — 相反意义的量（第1题）：用正负数表示：向北走 50 m 记为 +50 m，则向南走 30 m 记为___；收入 200 元记为 +200 元，则支出 80 元记为___。 作业2 — 正负数识别（第2题）：判断下列数哪些是正数、哪些是负数：+3、-5.2、0、+0.01、-100。 作业3 — 数轴三要素（第6题）：画一条数轴，并在上面标出表示 -2、0、3 的点。 作业4 — 相反数（第16题）：写出下列各数的相反数：5、-3.7、0、+2/3、-a。 作业5 — 绝对值（第21题）：求下列各数的绝对值：|-5|、|+2.3|、|0|、|-π|。 作业6 — 多重符号（第22题）：化简：-[+(-3)]、-[-(-2)]、-|-5|。 作业7 — 距离公式（第23-24题）：在数轴上，点P表示2，到点P距离为3的点表示的数是___。 作业8 — 动点相遇（第30题）：甲从A（-12）出发向右以2单位/秒速度运动，乙从B（8）出发向左以3单位/秒速度运动，几秒后相遇？ 作业9 — 大小比较（第35题）：比较 -3.5、-2.8、0、1.5、-4 的大小。 作业10 — 综合应用（第39题）：已知|a|=3，|b|=5，且ab>0，求a+b的值。 作业11 — 行程与油耗（第40题）：出租车行程数据已知，按规定向北为正，求：①最终位置 ②是否需要加油。 作业12 — 创新题型（第43题）：点A表示-1，B、C在A两侧且到A距离相等，B向左移2单位到B1，C向右移1单位到C1，若B1到A的距离是C1到A的一半，求B。 ❤ 复习建议 本讲是六年级有理数章节的开篇，重点理解数形结合思想：①用数轴上的位置理解正负、相反数、绝对值；②掌握动点问题的统一解法——画图、设未知数、用距离=|位置差|列式；③绝对值的非负性是后续解方程和最值问题的关键工具，务必熟练。建议每天 5 道动点+ 5 道绝对值小题，保持手感。 【作业1】（2024秋•松江区期末）已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由绝对值的定义确定a、b的符号以及绝对值，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数， 又∵|a|＞|b|＞0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，数轴表示数，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提． 【作业2】（2025秋•静安区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是0 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【分析】依据“有理数的概念”、“有理数无最小、最大值”、“相反数的定义”、“绝对值的性质”，逐一分析每个选项． 【解答】解：∵有理数包括正有理数、负有理数和零， ∴A错误，不符合题意； ∵有理数没有最小值，例如存在负有理数比0小， ∴B错误，不符合题意； ∵相反数要求符号相反且绝对值相等，数轴上原点两侧的数不一定满足该条件， ∴C错误，不符合题意； ∵绝对值的定义：|a|＝a（当a≥0），|a|＝﹣a（当a＜0），∴|a|＝a时，a≥0，即非负数， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查有理数的分类、有理数的性质、数轴与相反数的定义、绝对值的性质，掌握有理数的分类、相反数和绝对值的性质是解题的关键． 【作业3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据正数和负数，数轴及绝对值的定义，判断各个选项即可得出答案． 【解答】解：①绝对值越大的数不一定越大，不符合题意； ②非负数是零和正数的统称，符合题意； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向西前进了15m，不符合题意； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有无数个，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，数轴及绝对值的知识，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握． 【作业4】（2025秋•黄浦区校级月考）在数轴上，点P表示的数是﹣5，到点P距离等于4个单位的点表示的数是 　﹣9或﹣1　 ． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：﹣5﹣4＝﹣9，﹣5+4＝﹣1， ∴点P距离等于4个单位的点表示的数是﹣9或﹣1． 故答案为：﹣9或﹣1． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【作业5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为　﹣1或3　 ． 【分析】根据绝对值的意义以及题中条件，进行分情况讨论即可． 【解答】解：①已知a，b，c是非零的有理数， ∵当1时，则abc＜0，分两种情况： 情况1：a、b、c中有1个负数，2个正数 假如a＜0，b＞0，c＞0（其他负数情况结果一致），1+（﹣1）+1＝﹣1； 情况2：a、b、c中3个都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0，1+1+1＝3． 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，熟知绝对值的意义是解题的关键． 【作业6】（2024秋•金山区期中）若a、b、c、d为四个不为零的有理数，且，则 　﹣1　 ． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵a、b、c、d为四个不为零的有理数，且， ∴a、b、c、d四个数三个为正，一个为负， ∴1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【作业7】（2025秋•黄浦区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|+|c﹣b|． 【分析】利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【解答】解：由数轴图可知﹣1＜a＜0＜1＜b＜c， ∴a＜0，a+b＞0，c﹣b＞0， ∴|a|+|a+b|+|c﹣b| ＝﹣a+a+b+c﹣b ＝c． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 【作业8】（2025秋•青浦区校级期中）在数轴上，如果一点P到点A、B的距离相等，那么我们称点P为点A、B的等距点．将点P、A、B表示的数分别记作p、a、b，有p＝（a+b）÷2．例如，当点P、A、B表示的数分别1、﹣1和3时，点P到A、B的距离都是2，所以点P是点A、B的等距点并且p＝[（﹣1）+3]÷2＝1． （1）数轴上C、D表示的数分别为﹣3和6，则点C、D的等距点表示的数是　　 ． （2）已知数轴上有三点M、N、Q，且其中一点是另外两点的等距点，若点M、Q表示的数分别是﹣2和5，求点N所表示的数． 【分析】（1）根据所给定义进行计算即可； （2）根据所给定义，结合分类讨论的数学思想进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为数轴上C、D表示的数分别为﹣3和6， 则， 所以点C、D的等距点表示的数是． 故答案为：； （2）令点N表示的数为a， 当点M是点N和点Q的等距点时， ， 解得a＝﹣9． 当点N是点M和点Q的等距点时， a， 当点Q是点M和点N的等距点时， ， 解得a＝12， 综上所述，点N所表示的数为﹣9或或12． 【点评】本题主要考查了数轴，理解所给定义及熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 【作业9】（2025秋•上海月考）【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以40km为基准，超出记为正，不足记为负），如下表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（km） ﹣2 ﹣5 +3 0 +6 +37 +21 【问题解决】 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　星期六　 ，这一天的实际行驶路程是 　77　 km． （2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，然后列出算式即可求解． 【解答】解：（1）根据表格可知该汽车行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是40+37＝77（km）， 故答案为：星期六，77； （2）总路程为： ﹣2+（﹣5）+3+0+6+37+21+40×7 ＝60+280 ＝340（km）， ∴李老师这一星期开新能源汽车的电费为：（元）， 答：李老师这一星期开新能源汽车的电费为25.5元． 【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【作业10】（2025秋•闵行区校级月考）我们知道|x|的几何意义是：数轴上表示x的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|．这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离． （1）|5﹣2|表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|5﹣2|＝　3　 ；|5+2|表示5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以|5+2|＝　7　 ； （2）数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|的值是一个固定的值，为　4　 ； （3）|x+1|可以理解为x与　﹣1　 两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，则x＝　﹣3或4　 ； （4）当式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，求出x的值． 【分析】（1）根据两点间的距离进行计算即可； （2）根据表示数x的点在1与5之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|表示1和5两个数在数轴上的距离，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义，结合两点间的距离公式，|x﹣3|+|x+2|＝7，表示到3和﹣2的距离的和等于7的点表示的数，结合数轴即可得到结果； （4）根据绝对值的意义，得到当x＝2时，式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值，即可． 【解答】解：（1）|5﹣2|＝5﹣2＝3，|5+2|＝5﹣（﹣2）＝7； 故答案为：3，7； （2）当表示数x的点在1与5之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|表示1和5两个数在数轴上的距离， ∴|x﹣1|+|x﹣5|＝5﹣1＝4； 故答案为：4； （3）|x+1|可表示为数x与数﹣1之间的距离， 使|x﹣3|+|x+2|＝7， ∵|x﹣3|就是x到3的距离，|x+2|就是x到﹣2的距离， ∴|x﹣3|+|x+2|＝7，表示到3和﹣2的距离的和等于7的点表示的数， ∵根据数轴上点可知： 点﹣3，到﹣2距离为1，到3的距离为6，和为7， 点4，到﹣2距离为6，到3的距离为1，和为7， ∴x＝﹣3或4， 故答案为：﹣1；﹣3或4； （4）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，表示数x与数﹣1，2，3之间的距离之和， ∴当x＝2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的距离最小． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的引入（知识精讲+典例+创新题+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 正数、负数的概念和产生背景，能用正负数表示生活中具有相反意义的量； 理解0既不是正数也不是负数。 理解 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），理解数轴上的点与有理数的一一对应关系。 掌握 相反数的代数与几何意义，能求一个有理数的相反数；理解互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 掌握 绝对值的代数定义和几何意义，会求有理数的绝对值；理解绝对值的非负性。 熟练运用 用数轴和绝对值进行有理数大小比较的方法，能解决含相反数、绝对值的综合问题。 ✨ 核心思想：数形结合是本章核心——用数轴把符号与位置对应起来，是理解相反数、绝对值、比较大小等概念的钥匙。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 正数与负数 正数：大于0的数；负数：小于0的数；0既不是正数也不是负数。引入负数是为了表示具有相反意义的量。 要点①： 具有相反意义的量必须满足三个条件：①意义相反 ②都是数量 ③要有参照基准。 要点②： 负号「-」只表示性质，不代表运算意义上的减号，单独的「-5」读作「负五」。 要点③： 0的作用——表示基准或分界，是唯一既非正也非负的数。 ※注意：判断一个数的正负关键看符号，与大小无关（-5 比 -10 大，但是负数）。 ☆ 2. 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与有理数一一对应。 要点①： 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 要点②： 数轴上右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。 要点③： 动点问题：点向左移a个单位→数值减a；向右移a个单位→数值加a。 要点④： 求数轴上到某点距离为d的点：设该点表示x，则|x - x0| = d，解得 x = x0 ± d。 ※易错：动点问题要先画图，明确方向和速度，再用距离=速度×时间列式。 ☆ 3. 相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数；特别地，0的相反数是0。几何上，互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 要点①： 相反数表示的是成对关系，单独一个数不能说它就是相反数。 要点②： -a的相反数是a；a的相反数是-a（含字母的相反数要保留性质符号）。 要点③： 化简多重符号：奇数个「-」号结果为负，偶数个「-」号结果为正。 ※技巧：判断互为相反数的核心是符号不同、绝对值相同，跟数本身的大小无关。 ☆ 4. 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。代数定义：|a| = a（a≥0），|a| = -a（a<0）。 要点①： 任何有理数的绝对值都是非负数（|a| ≥ 0），即非负性，这是常考性质。 要点②： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 要点③： 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数不一定相等（可能互为相反数）。 要点④： 化简含绝对值的式子：先根据符号判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值号。 ※关键：|a| = 0 等价 a = 0；|a| ≥ 0 的应用是解方程和最值问题的常考工具。 ☆ 5. 有理数大小比较 比较有理数大小的方法：①正数>0>负数；②两个正数比，绝对值大的大；③两个负数比，绝对值大的反而小；④借助数轴比较：右边的数总比左边的大。 要点①： 正数大于一切负数和0；负数小于0；两个负数比较时，绝对值大的反而小。 要点②： 异号两数比较不必比较绝对值，直接由正数>0>负数判断。 要点③： 多负数比较：先看符号（正>0>负），同号时再比绝对值（同正取大、同负取小）。 ※口诀：正大于零，零大于负；同号相异，比绝对值——同正取大，同负取小。 ☆ 知识总结表 核心概念 要点 关键性质 正数与负数 >0的数为正数，<0的数为负数 0既非正也非负 数轴 原点、正方向、单位长度 右>左；点与数一一对应 相反数 只有符号不同的两个数 0的相反数是0；互为相反数等价关于原点对称 绝对值 数轴上点到原点的距离 |a|≥0；|a|=0等价a=0 大小比较 正数>0>负数；同正取大、同负取小 数轴法最直观 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】正数与负数（第1-5题） ※方法总结 相反意义的量： 判断相反意义的量：①意义相反 ②都是数量 ③有参照基准。 正负数的识别： 看符号不看大小：-5 是负数，但比 -10 大。 0 的意义： 0 是正负的分界，是唯一既非正数也非负数的数。 净含量问题： 标注 a±b 表示允许偏差范围 [a-b, a+b]，超出范围即不合格。 1．（2025秋•奉贤区期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 2．（2025秋•普陀区期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为65±5g，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（　　） A．58g B．60g C．64g D．68g 3．（2025秋•宝山区期末）在3.14、0、、π、﹣5、8848.86中，有理数有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•青浦区校级期中）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款50元记作　 　 ． 5．（2025秋•金山区期末）最大的负整数与最小的正整数的和是　 　 ． 【考点2】数轴（第6-15题） ※方法总结 三要素： 原点、正方向、单位长度三者缺一不可。 动点相遇： 相遇时间 t = 距离之和 ÷ 速度之和（相向而行）。 距离公式： 到 x0 距离为 d 的点：x = x0 + d 或 x = x0 - d（两个解）。 行程问题： 距离 = |位置差|，画数轴列式更直观，注意返回出发点的油耗。 6．（2025秋•宝山区期末）在数轴上，点P表示的数是﹣5，到点P距离4个单位的点表示的数是（　　） A．﹣9 B．﹣9或﹣1 C．9 D．﹣1 7．（2025秋•浦东新区期中）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，将点A向右移动3个单位长度后得到的点表示的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 8．（2025秋•宝山区校级月考）点A为数轴上表示﹣3的点，当AB＝5时，则B点所表示的数是（　　） A．2 B．﹣8 C．2或8 D．2或﹣8 9．（2025秋•普陀区校级月考）如图，点O、A、B在数轴上，分别表示数0、1.5、4.5，数轴上另有一点C，到点A的距离为1，到点B的距离大于3，则点C位于（　　） A．点O的左边 B．点A与点B之间 C．点O与点A之间 D．点B的右边 10．（2025秋•静安区校级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每前进1步或后退1步的时间都是1秒，并且每1步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：①x5＝1；②x76＞x77；③x2024＝x2025，其中正确的结论是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 11．（2025秋•浦东新区校级期末）已知﹣1在数轴上对应的点为A，数轴上点B、C在点A的两侧（点B在点A的右侧），且它们到点A的距离相等，现将点B向左移动2个单位到点B1处，将点C向右移动1个单位到点C1处，此时点B1到点A的距离等于点C1到点A的距离的一半，则点B所对应的数是　 　 ． 12．（2025秋•普陀区期末）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　 　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． 13．（2025秋•碑林区校级月考）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣12，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为4，则C点表示的数是　 　 ． 14．（2024秋•上海月考）出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，油箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 15．（2024春•长宁区期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 　 　 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是 　 　 ； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【考点3】相反数与绝对值（第16-33题） ※方法总结 相反数性质： a + (-a) = 0；0 的相反数是 0；互为相反数等价关于原点对称。 多重符号化简： 奇数个「-」为负，偶数个「-」为正；口诀：同号得正，异号得负。 绝对值性质： |a|≥0；正数绝对值是本身；负数绝对值是相反数；0的绝对值是0。 化简含绝对值式： 先判断绝对值内表达式的正负，再去绝对值号，分类讨论。 ①相反数的概念 16．（2025秋•长宁区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．|﹣2|和2 C．|﹣2|和﹣2 D．|﹣2|和﹣（﹣2） 17．（2024秋•闵行区校级期中）下列说法：①a的相反数是﹣a；②符号相反的数互为相反数；③﹣[﹣（+3.8）]的相反数是﹣3.8：④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2025秋•杨浦区期末）相反数是本身的数是 　 　 ． 19．（2025秋•崇明区校级期中）若﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1，a的相反数为　 　 ． 20．（2024秋•黄浦区校级期末）已知2m与1﹣3m互为相反数，那么m的值是　 　 ． ②绝对值的概念及意义 21．（2025秋•浦东新区期末）下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（　　） A．﹣5和+5 B．﹣4和﹣|4| C．﹣3和﹣（+3） D．80%和﹣（0.75） 22．（2025秋•虹口区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．具有相反意义的两个量互为相反数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值不大于100的整数有200个 23．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 24．（2025秋•虹口区校级月考）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用a1，a2，a3和b1，b2，b3表示，且a1＜a2＜a3，b1＞b2＞b3，设m＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|，则m为（　　） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 25．（2025秋•普陀区校级月考）如果x﹣3+|x﹣3|＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3 26．（2026春•杨浦区校级月考）已知：2﹣（a﹣5）＞2a﹣2，化简：|a﹣9|﹣|6﹣2 a|＝　 　 ． 27．（2025秋•静安区校级期中）已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值为　 　 ． 28．（2024秋•闵行区校级期中）有理数a，b，c，d使1，则的最大值是　 　 ． 29．（2025秋•杨浦区校级期中）如果规定，那么　 　 ． 30．（2025秋•普陀区校级期中）已知abc＜0，a+b+c＞0，且，求x＝　 　 ． 31．（2025秋•崇明区校级期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　 　 ；式子|a+5|的几何意义是　 　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　 　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　 　 ． 32．（2025秋•闵行区校级月考）如图，数轴上点M表示的数为1． （1）点M向右移动1个单位长度后对应的点表示的数为　 　 ，再向左移动3个单位长度后对应的点表示的数为　 　 ． （2）若数轴上点N表示的数为n，且|n|＝3，求点M与点N之间的距离． 33．（2025秋•宝山区期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． （1）如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 　 　 ； （2）如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 　 　 ； （3）如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 　 　 ． 【考点4】有理数大小比较（第34-43题） ※方法总结 法则口诀： 正数>0>负数；同正取大，同负取小（绝对值）。 数轴比较： 数轴上右边的数总比左边的大。 综合比较： 多个数比较：先按符号分三组（正、零、负），组内按法则比较。 34．（2025秋•静安区校级期中）分数介于哪两个整数之间（　　） A．﹣5和﹣4 B．﹣6和﹣5 C．﹣7和﹣6 D．﹣8和﹣7 35．（2025秋•闵行区校级期中）正数a、b、c、d有等式如下：，其中最大的是（　　） A．a B．b C．c D．d 36．（2025秋•宝山区期末）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，|a|，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（　　） A．﹣b＜|a|＜a＜b B．a＜﹣b＜|a|＜b C．﹣b＜a＜|a|＜b D．a＜﹣b＜b＜|a| 37．（2025秋•杨浦区期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（　　） A．10 B．20 C．﹣25 D．﹣5 38．（2025秋•静安区校级期末）比较大小： 　 　 ．（填“＞”，“＜”号） 39．（2026春•杨浦区校级月考）有理数x1、x2、x3满足x1+x2＜x2+x3＜x3+x1，请将它们从小到大排列　 　 ． 40．（2025秋•浦东新区期末）比较大小：　 　 ． 41．（2025春•金山区期中）我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按这样的规定，如果，那么x的值为　 　 ． 42．（2025秋•金山区校级期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是　 　 ，点B表示的数是　 　 ． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 43．（2024秋•宝山区校级期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示． （1）用“＜”号把a，b，c连接起来； （2）化简：|c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+2|a﹣b| 六．创新及压轴题（共3小题） 44．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是　 　 ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是　 　 ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是　 　 ． 45．（2025秋•青浦区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 46．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x＜y），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作M（P，a）＝＜x，y＞．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是M（O，1）＝＜﹣1，1＞． （1）如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 　 　 ； （2）如果M（P，a）＝＜2，4048＞，那么点P表示的数是 　 　 ，a的值是 　 　 ； （3）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）＝＜x，y＞，M（Q，2）＝＜m，n＞两点同时从原点出发反向运动，当|n﹣x|＝3|y﹣m|时，求点P、Q之间的距离． 随堂检测 · 精选练习 练习1 — 正数与负数：一种零件的长度标准是10±0.5（mm），下列数据中合格的是（ ）。 练习2 — 数轴：在数轴上，到表示2的点距离为3的点表示的数是（ ）。 练习3 — 相反数：若 -[-(-a)] = -1，则 a 的相反数是（ ）。 练习4 — 绝对值：若 |x| = 2，|y| = 3，且 xy<0，则 x+y 的值为（ ）。 练习5 — 动点相遇：点A表示-12，点B表示8，两点相向而行，速度分别为2、3，几秒相遇？ 练习6 — 大小比较：在 -5、-3、0、2、-1.5 中按从小到大的顺序排列。 【练习1】（2025秋•普陀区期末）比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【练习2】（2025秋•青浦区校级期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从点A1跳动到OA1的中点A2处，第三次从点A2跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则A6＝ 　 　 ． 【练习3】（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则 　 　 ． 【练习4】（2025秋•闵行区校级期中）某检修小组乘坐一辆汽车从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果向东行驶记为正，向西行驶记为负，一天六次检修中行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 ﹣6 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣7 （1）求收工时检修汽车在A地的东边还是西边？距A地多远？ （2）若汽车行驶每千米耗油0.3升，开工时储油13升，问从A地出发到收工，再回到A地，请问中途是否需要加油？若不需要加油，还剩多少升汽油？ 课后巩固 · 针对性练习 作业1 — 相反意义的量（第1题）：用正负数表示：向北走 50 m 记为 +50 m，则向南走 30 m 记为___；收入 200 元记为 +200 元，则支出 80 元记为___。 作业2 — 正负数识别（第2题）：判断下列数哪些是正数、哪些是负数：+3、-5.2、0、+0.01、-100。 作业3 — 数轴三要素（第6题）：画一条数轴，并在上面标出表示 -2、0、3 的点。 作业4 — 相反数（第16题）：写出下列各数的相反数：5、-3.7、0、+2/3、-a。 作业5 — 绝对值（第21题）：求下列各数的绝对值：|-5|、|+2.3|、|0|、|-π|。 作业6 — 多重符号（第22题）：化简：-[+(-3)]、-[-(-2)]、-|-5|。 作业7 — 距离公式（第23-24题）：在数轴上，点P表示2，到点P距离为3的点表示的数是___。 作业8 — 动点相遇（第30题）：甲从A（-12）出发向右以2单位/秒速度运动，乙从B（8）出发向左以3单位/秒速度运动，几秒后相遇？ 作业9 — 大小比较（第35题）：比较 -3.5、-2.8、0、1.5、-4 的大小。 作业10 — 综合应用（第39题）：已知|a|=3，|b|=5，且ab>0，求a+b的值。 作业11 — 行程与油耗（第40题）：出租车行程数据已知，按规定向北为正，求：①最终位置 ②是否需要加油。 作业12 — 创新题型（第43题）：点A表示-1，B、C在A两侧且到A距离相等，B向左移2单位到B1，C向右移1单位到C1，若B1到A的距离是C1到A的一半，求B。 ❤ 复习建议 本讲是六年级有理数章节的开篇，重点理解数形结合思想：①用数轴上的位置理解正负、相反数、绝对值；②掌握动点问题的统一解法——画图、设未知数、用距离=|位置差|列式；③绝对值的非负性是后续解方程和最值问题的关键工具，务必熟练。建议每天 5 道动点+ 5 道绝对值小题，保持手感。 【作业1】（2024秋•松江区期末）已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2025秋•静安区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是0 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【作业3】（2025秋•普陀区期末）下列说法正确的有（　　）个． ①绝对值越大的数越大； ②非负数是零和正数的统称； ③如果+10m表示向东前进了10m，那么﹣15m就表示向南前进了15m； ④在数轴上表示+3的点与表示﹣3的点之间的有理数有6个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业4】（2025秋•黄浦区校级月考）在数轴上，点P表示的数是﹣5，到点P距离等于4个单位的点表示的数是 　 　 ． 【作业5】（2025秋•青浦区校级期中）已知a，b，c是非零有理数，且1，则的值为　 　 ． 【作业6】（2024秋•金山区期中）若a、b、c、d为四个不为零的有理数，且，则 　 　 ． 【作业7】（2025秋•黄浦区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|+|a+b|+|c﹣b|． 【作业8】（2025秋•青浦区校级期中）在数轴上，如果一点P到点A、B的距离相等，那么我们称点P为点A、B的等距点．将点P、A、B表示的数分别记作p、a、b，有p＝（a+b）÷2．例如，当点P、A、B表示的数分别1、﹣1和3时，点P到A、B的距离都是2，所以点P是点A、B的等距点并且p＝[（﹣1）+3]÷2＝1． （1）数轴上C、D表示的数分别为﹣3和6，则点C、D的等距点表示的数是　 　 ． （2）已知数轴上有三点M、N、Q，且其中一点是另外两点的等距点，若点M、Q表示的数分别是﹣2和5，求点N所表示的数． 【作业9】（2025秋•上海月考）【问题情境】 近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，李老师家买了一辆新能源汽车． 【实践探索】 李老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以40km为基准，超出记为正，不足记为负），如下表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程（km） ﹣2 ﹣5 +3 0 +6 +37 +21 【问题解决】 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　 　 ，这一天的实际行驶路程是 　 　 km． （2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，求李老师这一星期开新能源汽车的电费． 【作业10】（2025秋•闵行区校级月考）我们知道|x|的几何意义是：数轴上表示x的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|．这个结论可以推广为：|a﹣b|表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离． （1）|5﹣2|表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|5﹣2|＝　 　 ；|5+2|表示5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以|5+2|＝　 　 ； （2）数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，|x﹣1|+|x﹣5|的值是一个固定的值，为　 　 ； （3）|x+1|可以理解为x与　 　 两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，则x＝　 　 ； （4）当式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，求出x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $