第3.5节 共点力的平衡（高效培优·讲义）物理人教版必修第一册

本讲义聚焦高中物理共点力的平衡核心知识点，系统梳理平衡条件（合外力为0）、受力分析规范步骤，以及静态平衡（合成法、正交分解法）和动态平衡（图解法、相似三角形法）的解题方法，前承力的合成与分解，后启牛顿运动定律，通过目标清单、教材精研、避坑指南构建学习支架。 该资料特色在于分考点细化内容，整合整体法与隔离法等12种解题角度，突出活结死结、动杆定杆等模型辨析，配套知识导图、真题演练及三阶练习。通过模型建构（如动态平衡矢量三角形）和科学推理（极值问题解析法）培养科学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化物理观念与解题能力。

第3.5节 共点力的平衡 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 一般情况下的共点力平衡 考点02 动态平衡分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 分析物体受力个数 角度02 利用平衡推论求力大小或方向 角度03 直接合成法解决三力平衡问题 角度04 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 角度05 正交分解法解共点力平衡问题 角度06 三角形法则解决共点力平衡问题 角度07 用相似三角形解决平衡问题 角度08 “活结”、“死结”问题 角度09 平衡问题中的极值问题 角度10 用解析法解决平衡问题 角度11 用图解法解决平衡问题 角度12 、辅助圆解决平衡问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.理解共点力平衡条件：合外力为0，即F合x=0，F合y=0。 2.掌握完整受力分析步骤，能规范画出物体受力示意图。 3.会用合成法、正交分解法解决静态平衡、动态平衡问题。 4.能处理斜面、绳结、杆连接等多模型平衡计算题。 1.梳理“重力→弹力→摩擦力→其他力”标准受力分析顺序。 2.静态平衡优先正交分解，建立坐标轴列平衡方程。 3.动态平衡利用矢量三角形图解，判断力大小变化趋势。 知识导图 考点01 一般情况下的共点力平衡 1、物体进行受力分析 （1）定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 （2）一般步骤： 2、共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 3、共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 4、平衡状态常用推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n-1）个力的合力等大、反向。 5、解答共点力平衡问题的三种常用方法 项目 内容 合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时,将其中的任意两个力合成,其合力一定与第三个力平衡,从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题 分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时,将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解,则每个方向上的一对力大小相等、方向相反,从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题 正交分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时,将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解,然后分别在这两个方向上列平衡方程,此时平衡条件可表示为Fx合=0,Fy合=0 【深化点拨】 1．受力分析中如何防止“多力”或“漏力” （1）防止“多力”：对每个力都要找出其施力物体，若某个力找不到施力物体则说明该力不存在；研究对象对其他物体的作用力不能画在图中，另外合力与分力不能重复分析。 （2）防止“漏力”：按正确的顺序（即重力→弹力→摩擦力→其他力）进行受力分析是防止“漏力”的有效措施。 2．对共点力平衡条件的理解及应用 （1）合外力等于0，即F合=0→正交分解法其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 （2）在分析问题时，注意“静止”和“v=0”不是一回事，v=0时，。 3．处理共点力平衡问题的基本思路：确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论。 4．应用共点力平衡条件解题的步骤 （1）明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。 （2）分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。 （3）对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。 （4）建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。 （5）求解方程，并讨论结果。 5．解答共点力平衡问题的一般步骤 （1）选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体（整体法或隔离法）。 （2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。 （3）对研究对象所受的力进行处理，对三力平衡问题，一般根据平衡条件画出力合成时的平行四边形。对四力或四力以上的平衡问题，一般建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行分解。 （4）建立平衡方程，对于四力或四力以上的平衡问题，用正交分解法列出方程组。 1．如图所示，两长度相等的轻绳的一端系在同一物块上，两名同学分别握住两根轻绳的另一端，保持手在同一水平面内以相同速率缓慢相向运动，物块没落地。该过程中，左端轻绳的拉力大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．保持不变 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】物块始终处于平衡状态，重力与两根轻绳拉力的合力等大反向。由于两根绳长度相等、运动对称，两根绳的拉力大小相等，设为，两根绳在物块处的总夹角为，根据力的合成可得 整理得 两名同学缓慢相向运动，两手的水平间距逐渐减小，绳长不变，因此两根绳的总夹角逐渐减小。 减小，则减小，逐渐增大，结合可得一直减小，因此左端轻绳的拉力一直减小。 故选B。 2．（多选）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，两根等长轻绳上端分别系在两环上，下端均固定在小球上并使小球静止。现将两环距离变大后小球仍处于静止状态，则（    ） A．杆对A环的支持力不变 B．B环对杆的摩擦力变大 C．杆对B环的力不变 D．与B环相连的轻绳对小球的拉力变大 【答案】ABD 【详解】A．设小球的质量为m，轻绳与水平方向的夹角为，以系统为研究对象，根据平衡条件得 解得 杆对A环的支持力始终等于小球重力的一半，支持力不变，A项正确； B．对B环根据平衡条件得 解得 现将两环距离变大后，减小，减小，对杆的摩擦力变大，B项正确； C．杆对B环的支持力不变，摩擦力变大，合力变大，所以杆对B环的力变大，C项错误； D．两轻绳的合力等于小球的重力，两环距离变大，两轻绳的夹角变大，轻绳的拉力变大，D项正确。 故选ABD。 3．如图所示，水平地面上质量为的物体，受到与水平方向成53°角的拉力，恰能沿水平方向做匀速直线运动（，）。求 (1)F在水平方向的分力大小和竖直方向的分力大小； (2)物体受到的摩擦力f大小和支持力N的大小； (3)物体与地面间的动摩擦因数。 【详解】（1）F在水平方向的分力大小和竖直方向的分力大小分别为， （2）以物块为对象，根据受力平衡可得， 联立解得， （3）根据，可得物体与地面间的动摩擦因数为 考点02 动态平衡分析 1、动态平衡态:动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢改变，“缓慢”指物体的速度很小，可认为速度为零，所以在变化程中可认为物体处于平衡状态，把物体的这种状态称为动态平衡态。 2、动态平衡的四种典型解法：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法。 （1）解析法应用一般步骤 ①选某一状态对物体进行受力分析； ②将其中两力合成，合力与第三个力等大反向； ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。 ※解析法适用于有特殊三角形的时候（直角始终存在）。 （2）图解法应用一般步骤 ①确定恒力、定向力、第三力 ②画出恒力，从恒力末端画出与定向力同方向的虚线，将第三力平移与恒力、定向力构成矢量三角形。 ③根据题中变化条件，比较这些不同形状的矢量三角形，判断各力的大小及变化。 ※图解法适用于三力动态平衡：一力大小方向均不变、一力方向不变、一力大小方向都变。 （3）相似三角形法:物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，根据合力为零，把三个力画在一个三角形中，看力的三角形与哪个三角形相似，找到力的三角形与空间三角形相似后，根据相似三角形的对应边成比例，列方程求解. ※相似三角形法适用于：有一恒力，另外两个力大小、方向都变。 （4）辅助圆法：适用于物体受三个力处于动态平衡时，其中一个力大小、方向均确定,另两个力大小、方向均不确定,但是这两个力的方向夹角保持不变。 3、整体法与隔离法处理物体的平衡问题：整体法与隔离法是物理学中处理物体平衡问题的两种基本方法，它们各有适用场景，并且经常交替使用以解决复杂问题。 （1）整体法适用于将两个或多个物体组成的系统作为研究对象，当需要研究外力对系统的作用时，整体法更为简便，因为它不需要考虑系统内部的作用力。整体法的思维特点是从全局出发，通过整体受力分析揭示系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从而避免繁琐的中间环节计算，能够灵巧地解决问题。例如，在处理连接体平衡问题时，如果只涉及系统外力而不涉及系统内部物体之间的内力以及加速度问题，通常选取整个系统为研究对象，使用整体法进行分析。 （2）隔离法则是将研究对象从周围物体中隔离出来进行受力分析的方法，适用于需要研究系统内各物体之间的作用力或加速度的情况。隔离法不仅能求出其他物体对整体的作用力，而且还能求出整体内部物体之间的作用力。在处理复杂问题时，通常先用整体法确定整体的运动状态，然后再用隔离法分析内部物体的相互作用。 4、平衡中的临界问题 （1）问题特点：①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化；②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 5、平衡中的极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 6、“活结”与“死结”模型 （1）“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 （2）“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 7、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 （2）“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。 【深化点拨】 1．临界与极值问题的分析技巧 （1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。 （2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。 2．整体法与隔离法的常规使用技巧是 （1）先利用整体法求外力，再利用隔离法求单个物体的受力。 （2）在实际应用中，整体法和隔离法并不是独立使用的，对于一些复杂问题，可能需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法进行分析。这种方法的交替使用有助于更全面地理解问题的本质，从而找到解决方案。 1．如图所示，用一轻绳将光滑小球系于粗糙竖直墙壁上的点，在墙壁和球之间夹有一矩形物块Q，P、Q处于静止状态。略微改变轻绳的长度，P、Q仍然均处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．P、Q两物体都只受到3个力作用 B．若轻绳略微变长后，轻绳的拉力将减小 C．若轻绳略微变长后，墙壁对Q的弹力将增大 D．若轻绳略微变短后，Q受到的静摩擦力将增大 【答案】B 【详解】A．由于小球P光滑，P、Q之间没有摩擦力作用，则小球P受到重力、Q的支持力和绳子拉力，共3个力作用；物块Q受到重力、P的压力、粗糙墙壁的支持力和摩擦力，共4个力作用，故A错误； BCD．若绳子变长，绳子与竖直方向的夹角变小，以小球P为对象，根据受力平衡可得， 可得， 可知绳子的拉力将变小，Q对P的支持力变小；以物块Q为对象，根据受力平衡可得， 可知墙壁对Q的支持力将变小，Q受到的静摩擦力不变，故B正确，CD错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来，静止时AO是水平的，BO与竖直方向的夹角为θ。设AO绳的拉力为F1，BO绳的拉力为F2。如果保持结点O的位置不变，将B点向左缓慢移动（同时增加绳长），下列说法正确的是（　　） A．F2变小，F1变大 B．F2变大，F1变大 C．F1和F2的合力不变 D．F1和F2的合力变小 【答案】BC 【详解】对O点受力分析可知，， 将B点向左缓慢移动时，因O点仍处于平衡状态，即F1和F2的合力与重力仍等大反向，即大小不变；而θ变大，可知F2变大，F1变大。 故选BC。 3．如图所示，可视为质点的小灯笼用轻绳连接并悬挂在O点，在稳定水平风力作用下发生倾斜，灯笼稳定时，轻绳与竖直方向的夹角为37°，设灯笼的质量为0.2kg。（取） (1)求水平风力F和轻绳拉力T的大小； (2)若风力增大，则灯笼稳定时轻绳拉力大小怎样变化。 【详解】（1）受力分析如图所示，由平衡条件可得 （2）风力增大时，设轻绳与竖直方向夹角为θ，受力分析如图，由平衡条件得 可知，当水平风力F增大，轻绳与竖直方向夹角θ增大，则轻绳拉力T增大。 共点力的平衡的综合应用及解题步骤 1.方法选择：必须“看力选法” （1）核心规则：解决平衡问题，方法的选择直接决定解题速度。 二力平衡：等大、反向、共线。 三力平衡：首选合成法或三角形定则。若涉及角度计算，利用正弦定理或余弦定理；若涉及几何长度（如绳长、杆长），利用相似三角形法（力的三角形~几何三角形）。 四力及以上：必须使用正交分解法。建立坐标系，让尽可能多的力落在轴上，列 ∑Fx=0,∑Fy=0方程。 （2）操作方法： 动态分析： 解析法：写出函数表达式 F（θ），根据角度变化判断力的变化。 图解法：画出矢量三角形，通过箭头的移动直观判断力的大小变化（适用于一个力恒定，另一个力方向不变的情况）。 相似三角形法：适用于三个力方向都在变，但构成的力三角形与空间几何三角形始终相似的情况。 （3）易错示范： 错误示范：四个力平衡时，强行用三角形定则画图，导致图形复杂无法求解。 正确理解：力多了就分解，力少了就合成。 2.模型辨析：必须“分清”活结与死结、动杆与定杆 （1）核心规则：绳子和杆的弹力特性完全不同，是高频考点。 活结vs死结： 活结（如滑轮、光滑挂钩）：同一根绳子上的张力处处相等，两侧绳子与竖直/水平方向夹角往往对称。 死结（如打结固定）：结点两侧绳子的拉力大小不一定相等，需把结点作为研究对象单独分析。 动杆vs定杆： 动杆（一端有铰链/转轴）：杆只能产生沿杆方向的弹力（拉力或支持力）。 定杆（插入墙壁固定）：杆产生的弹力方向不一定沿杆，需根据平衡条件反推。 （2）操作方法： 看到滑轮，默认绳子拉力相等。 看到插进墙里的杆，不要想当然认为力沿着杆，要画受力分析图。 （3）易错示范： 错误示范：认为只要是杆，弹力就一定沿着杆。（错在忽略了定杆模型） 正确理解：只有轻杆且两端铰接（二力杆）时，弹力才沿杆。 3.整体与隔离：必须“先外后内” （1）核心规则：处理连接体（多个物体）平衡问题时，灵活切换研究对象。 整体法：当不需要求系统内部物体间的相互作用力（内力）时，优先用整体法。优点是忽略内力，方程少。 隔离法：当需要求系统内部物体间的相互作用力，或者整体法无法求解时，必须隔离某个物体分析。 （2）操作方法： 标准流程： 先看整体，求出地面对整体的支持力或摩擦力（外力）。 再隔离其中一个受力较简单的物体，求出内力。 注意：整体法分析时，系统内物体间的相互作用力互为作用力与反作用力，矢量和为零，直接抵消。 （3）易错示范： 错误示范：求A对B的摩擦力时，把AB看作整体列方程。（错在整体法看不到内力） 正确理解：求内力必隔离，求外力可整体。 角度01 分析物体受力个数 1．如图，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯处于静止状态。从侧面观察直梯的受力示意图正确的是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】梯子受到竖直向下的重力G，光滑墙壁对梯子水平向右的弹力，地面对梯子竖直向上的弹力，地面对梯子水平向左的摩擦力，处于平衡状态。如图所示 故选C。 2．（多选）如图所示，长方体木块A放在固定的铁质材料斜面B上时恰好静止。现将一块磁铁C轻放在木块A的上表面，磁铁与木块间、木块与斜面间的接触面均粗糙，且磁铁与木块始终保持相对静止。则下列说法正确的是（　　） A．木块A将沿斜面下滑 B．木块A仍恰好保持静止 C．磁铁C受4个力作用 D．磁铁C对木块A的摩擦力平行于斜面向下 【答案】CD 【详解】A B．设木块质量为M，磁铁质量为m, 斜面倾角为，长方体木块A放在固定的铁质材料斜面B上时恰好静止,由平衡条件 即，现将一块磁铁C轻放在木块A的上表面，且磁铁与木块始终保持相对静止，把磁铁和木块看作一个整体，受重力，斜面的支持力和摩擦力，斜面的吸引力F，此时有 即放上磁铁后木块静止，故AB错误； C．磁铁受重力，木块的支持力和摩擦力，斜面的吸引力四个力，故C正确； D．因磁铁和木块静止于斜面上，磁铁受到的静摩擦力沿斜面向上，由牛顿第三定律，磁铁C对木块A的摩擦力平行于斜面向下，故D正确。 故选CD。 3．将质量为m的钢球放在两个光滑的木板之间。两木板夹角为 (1)分析钢球受几个力的作用？画出受力示意图。 (2)求出球对a、b板的压力大小。 【详解】（1）钢球受到重力、两木板对球的支持力；画出受力示意图如图所示． （2）以小球为研究对象，根据平衡条件得， 解得， 根据牛顿第三定律得，球对a板和b板的压力大小分别为， 角度02 利用平衡推论求力大小或方向 4．冰箱贴是一种采用磁性材料制成的生活用品，主要用于装饰冰箱表面及固定便签。现有一小巧美观的冰箱贴贴在冰箱的竖直表面上，如图所示，当冰箱贴静止不动时，下列说法正确的是（　　） A．冰箱贴共受到三个力的作用 B．冰箱对冰箱贴的支持力大小等于冰箱贴所受重力的大小 C．冰箱对冰箱贴的作用力大小等于冰箱贴所受重力的大小 D．冰箱对冰箱贴的作用力大小大于冰箱贴所受重力的大小 【答案】C 【详解】A．冰箱贴共受到重力、摩擦力、冰箱门的磁吸引力、冰箱门的弹力，共四个力的作用，故A错误； B．冰箱对冰箱贴的支持力大小与冰箱贴所受重力的大小无关，故B错误； CD．根据平衡条件可知冰箱对冰箱贴的作用力大小等于冰箱贴所受重力的大小，故C正确，D错误。 故选C。 5．（多选）如图所示，三根长都是的轻杆，上端用铰链连接，每根杆都可以绕自由转动，下端支在水平地面上的三点，为等边三角形，且每根轻杆与水平面的夹角均为。在点连接一根轻绳，下端吊着一个重力为的物体，三角架处于稳定状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 （　　） A．地面对每根杆的支持力大小均为 B．每根杆对铰链的作用力大小均为 C．杆和地面间的动摩擦因数至少为 D．若仅将等边三角形的边长变短，则地面对每根杆的支持力不变 【答案】BD 【详解】AD．将整个支架系统视为整体，则由平衡条件有 解得地面对每根杆的支持力大小均为 若仅将等边三角形的边长变短，则地面对每根杆的支持力保持不变，故A错误D正确； B．由题意可知，每根杆与竖直方向的夹角均为，对点进行受力分析，根据共点力平衡的推论有 解得每根杆对铰链的作用力大小均为，故B正确； C．在点，杆的作用力沿水平方向的分量为 则由共点力的平衡条件可得，地面对点的静摩擦力大小为 又因为地面对每根杆的支持力大小为，所以杆和地面间的动摩擦因数至少为，故C错误。 故选BD。 6．如图所示，固定在水平桌面上的斜面倾角α=30°，轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连，另一端固定在天花板上，物块B悬挂在动滑轮上，此时A、B均保持静止，且A恰好不能下滑，动滑轮两边轻绳的夹角β=120°。已知物块A的质量，物块B的质量，取重力加速度大小g=10m/s2，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计轻绳与两滑轮的摩擦及动滑轮的质量。 (1)求轻绳上的拉力大小； (2)求物块A与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若仅增加物块B的质量，物块A仍能静止，求物块B的最大质量。 【详解】（1）对B受力分析，可得 解得 （2）A、B均保持静止，且A恰好不能下滑，则A所受摩擦力沿斜面向上，对A受力分析得， 解得 （3）若仅增加物块B的质量，物块A仍能静止，物块B的质量最大时摩擦力方向沿斜面向下，轻绳上的拉力 对A受力分析可得， 解得 角度03 直接合成法解决三力平衡问题 7．工人使用专用转运推车搬运圆柱形管道。推车由支架与底板组成，其中支架与底板夹角呈角。将质量均为的相同管道、横放在静止的推车上，保持推车底板水平。不计管道与支架间的摩擦，下列说法正确的是（     ） A．支架对管道的弹力为 B．管道对管道的弹力为 C．底板对管道的弹力大小为 D．支架对管道的弹力大小为 【答案】B 【详解】由题意做出管道、的受力图如下 AB．对管道受力分析可知，管道受重力、支架对管道的弹力、管道对管道的弹力作用，管道受力平衡，其中支架对管道的弹力与水平方向的夹角为，由力的矢量三角形关系可知 代入数据解得 管道对管道的弹力大小为 代入数据解得 根据牛顿第三定律，管道对管道的弹力，故A错误，B正确； D．由于管道对管道的弹力方向斜向右下，管道有向右运动的趋势，故支架对管道无弹力作用，管道受底板向左的摩擦力作用，故D错误； C．管道竖直方向受力平衡，底板对管道的弹力大小满足 代入数据解得，故C错误。 故选B。 8．（多选）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆OA竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到OB杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．OA杆对小球的弹力一直增大 B．OB杆对小球的弹力一直增大 C．转至AB杆水平时OB杆上的弹力大小为2mg D．转至AB杆水平时绳上拉力为 【答案】AC 【详解】AB．将两小球看成一个整体，构建整体受力的矢量三角形，如图所示 两弹力间的夹角大小不变，整体重力大小方向均不变，可构造该矢量三角形的外接圆，在OA杆对小球的弹力方向由水平变化的过程中，OA杆对小球的弹力一直增大，OB杆对小球的弹力一直减小，A正确，B错误； C．转至AB杆水平时，两弹力的夹角为120°，与竖直方向的夹角均为60°，根据合成规律可知末态时两杆对球的弹力大小相等，设两杆对球的弹力大小为，则 解得，C正确； D．以OB杆上的小球为研究对象，根据平衡可知 解得，D错误。 故选AC。 9．如图所示，一质量的小球甲分别与一根轻质弹簧和一根不可伸长的轻绳连接，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳绕过一光滑定滑轮（大小不计），绳与竖直方向的夹角。一光滑小球乙由轻绳拴接置于半径为的半圆柱体表面，半圆柱体截面的圆心点与定滑轮中心在同一竖直线上，的距离为，绳段沿半圆柱的切线方向。两个小球均可视为质点，整个系统处于同一竖直面内，且始终保持静止。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，，，求： (1)弹簧的伸长量及绳子上的拉力； (2)小球乙的质量。 【详解】（1）对小球甲受力分析并正交分解如图1所示 由平衡条件可得      联立解得， 由胡克定律可知 解得 （2）令，由几何关系可知 得 对小球乙受力分析如图2所示利用合成法可知（或正交分解同样给分） 由同一根绳上弹力处处相等可知 解得   角度04 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 10．如图所示，斜面体质量为M，倾角为θ，小方块质量为m，在水平推力F作用下，斜面体和小方块整体向左做匀速直线运动，各接触面之间的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，则下列说法错误的是（     ） A．斜面体对小方块的支持力大小一定为 B．斜面体对地面的压力大小一定为 C．斜面体对小方块的摩擦力大小一定为 D．地面对斜面体的摩擦力大小一定为 【答案】C 【详解】AC．斜面体和小方块整体向左做匀速直线运动，以小方块为研究对象，根据共点力平衡可得 斜面体对小方块的支持力大小 斜面体对小方块的摩擦力大小，故A正确，C错误。 BD．以整体为研究对象，地面对斜面体的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得斜面体对地面的压力大小为 地面对斜面体的摩擦力大小为，故BD正确； 本题选说法错误的，故选C。 11．（多选）如图所示，在水平地面上放置着一半圆柱状物体A，上表面光滑，与地面接触的下表面粗糙。在光滑竖直墙壁与柱体之间放置一质量为m的球体B，系统初始时处于静止状态。施加外力使半圆柱体A缓慢向左移动少许，撤掉外力后系统仍静止。最终静止状态与初始状态相比，下列说法正确的是（ ） A．半圆柱体A对球体B的弹力变大 B．墙壁对球体B的弹力变小 C．地面对半圆柱体A的支持力不变 D．地面对半圆柱体A的摩擦力不变 【答案】BC 【详解】对球B受力分析，球B受重力mg、墙壁水平弹力、半圆柱体A的弹力，由于A的上表面光滑，弹力垂直于接触面，方向沿接触点与A的曲率中心O的连线，并指向球心C。设与竖直方向夹角为，由平衡条件：竖直方向， A缓慢向左移动，球B被挤压沿竖直墙壁向上滑动。A的曲率中心O随A水平左移，但竖直位置不变；球心C的横坐标不变，纵坐标升高。因此，O与C的水平距离减小，O与C的竖直距离增大 故减小，即减小。 A．半圆柱物体A对球体B的弹力，减小，增大，故减小，故A错误； B．，减小，故减小，故B正确； C．对A和B整体，竖直方向只受重力和地面支持力，支持力等于总重力，与无关，故不变，故C正确； D．对A，水平方向静摩擦力，随减小而减小，故D错误。 故选BC。 12．如图所示，两个完全相同的小圆环套在水平晾衣杆上，一根不可伸长的光滑轻绳两端分别固定在小圆环上。将挂有衣服的晾衣架静止悬挂在轻绳的中间位置。已知小圆环的质量为m，晾衣架与衣服总质量为M，绳与竖直方向夹角均为，，。求： (1)轻绳上的拉力大小为多少？ (2)晾衣杆对每个小圆环弹力和摩擦力的大小分别为多少？ 【详解】（1）以衣服和晾衣架为研究对象     解得轻绳上的拉力大小为     （2）以小圆环，衣服及晾衣架整体为研究对象         解得晾衣杆对每个小圆环弹力         以小圆环为研究对象     解得晾衣杆对每个小圆环摩擦力的大小 角度05 正交分解法解共点力平衡问题 13．如图所示，绕过两光滑定滑轮的轻绳两端分别连接、两球，、两球再用轻绳连接处于静止状态，已知左侧定滑轮与球间的轻绳与竖直方向夹角为、右侧定滑轮与球间轻绳与竖直方向的夹角为，轻绳与水平方向的夹角为，轻绳对球的拉力大小为，轻绳对球的拉力大小为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．以A、B两球及轻绳b为整体，水平方向受力平衡，左侧绳拉力水平分量等于右侧绳拉力水平分量，即 得，故AB错误； CD．对A球受力分析，水平方向 得，故C正确D错误； 故选C。 14．（多选）如图所示，质量为M的光滑斜面倾角为30°，质量为m的小球用绳子连接置于斜面上，另一端固定在天花板的A点，绳子与竖直方向成30°角。斜面在水平推力F的作用下静止于地面上（地面光滑），下列说法正确的是（    ） A．绳子拉力 B．水平推力 C．若斜面向右缓慢移动少许，绳子拉力变大 D．若斜面向右缓慢移动少许，地面支持力变大 【答案】AD 【详解】A．小球受重力mg、绳子拉力T、斜面支持力N： 绳子与竖直方向成30°向左，斜面倾角30°，支持力N与竖直方向成30°向右，二力对称，故 竖直方向平衡，则有 解得，故A正确； B．整体分析可知，故B错误； C．斜面向右移动少许，小球向右移动，绳子与竖直方向夹角θ增大，对小球列平衡方程，有， 解得 绳子与竖直方向夹角θ增大，绳子拉力减小，故C错误； D．整体竖直方向受力平衡，则有 由C选项解得 θ增大时tanθ增大，Tcosθ减小，因此增大，故D正确； 故选AD。 15．两根完全相同的细直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动。一个半径 质量的水泥圆筒恰好能在木棍上静止，已知两木棍间距 ，与水平面的夹角。（已知滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g取。）求： (1)水泥圆筒对AB直木棍的摩擦力的大小； (2)水泥圆筒与直木棍之间的动摩擦因数； (3)若拉动水泥圆筒沿直木棍匀速向上运动，所需最小拉力的大小。 【详解】（1）水泥圆筒在沿斜面方向上 解得 由牛顿第三定律可知，水泥圆筒对AB直木棍的摩擦力 （2）由几何关系可知，木棍对水泥筒的支持力与两接触位置连线的夹角，对圆筒，在垂直斜面方向上 又 解得 （3）若拉力方向与斜面成角指向右上方，对圆筒，在垂直斜面方向上，有 在沿斜面方向上 又 整理得 即 当时，最小，此时 角度06 三角形法则解决共点力平衡问题 16．如图所示，一重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的木板挡住球，使之处于静止状态。今使挡板与斜面的夹角β缓缓增大，直到挡板处于水平状态的过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化（     ） A．球对斜面的压力不断减小 B．球对斜面的压力不断增大 C．球对挡板的压力一直增大 D．球对挡板的压力一直减小 【答案】A 【详解】 对小球进行受力分析，如图受向下的重力、斜面的支持力和挡板的弹力。其中重力大小、方向一直保持不变，斜面的支持力方向不变、大小可变；挡板的弹力大小和方向都会发生变化。根据力的矢量合成法可知斜面的支持力、挡板的弹力的合力等于重力，可以构筑一个一条边不变、一条边角度不变长度可变、一条边自由转动的三角形如下图所示。 根据几何关系可知当挡板的弹力和斜面压力相互垂直时挡板的弹力最小，随着挡板的逆时针转动斜面的支持力不断减小、挡板的弹力先减小后增大。 故选A。 17．（多选）如图所示，用三根轻绳将重物悬挂于点，当处于静止状态时，OA绳与OB绳垂直，且此时OA绳与竖直方向的夹角大于OB绳与竖直方向的夹角。三根轻绳所能承受的最大拉力相同。下列说法正确的是（　　） A．OB绳的拉力大于OA绳的拉力 B．OB绳的拉力大于OC绳的拉力 C．若增大重物的质量，则OB绳先断裂 D．若增大重物的质量，则OC绳先断裂 【答案】AD 【详解】AB．由于重物悬挂于点处于静止状态，则根据二力平衡的条件可知，OC绳的拉力大小等于重物的重力，即 设OA绳与竖直方向的夹角为，OB绳与竖直方向的夹角为，对节点O进行受力分析，其受力分析图如图所示 由于节点O处于平衡状态，则三根轻绳对结点O的作用力能构成矢量三角形。又因为OA绳与OB绳相互垂直，且此时OA绳与竖直方向的夹角大于OB绳与竖直方向的夹角（即），则根据数学关系可知，三根绳上的拉力大小顺序为，故A正确，B错误； CD．由于三根轻绳所能承受的最大拉力相同，故若增大重物的质量，OC绳上的拉力先达到最大值，即OC绳先断裂，故C错误、D正确。 故选AD。 角度07 用相似三角形解决平衡问题 18．A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】轻杆对两小球弹力大小相等，令该弹力为T，对小球A进行分析，利用相似三角形规律有 解得 对小球B进行分析，利用相似三角形规律有 解得 由于 则有 故选C。 19．（多选）如图所示，硬质杆OA竖直固定在水平地面上，另一轻杆OB的O端用光滑铰链铰于固定竖直杆OA上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮。一人站在地面上用力F拉住细绳，并将细绳缓慢往左拉，使杆OB与杆OA间的夹角逐渐减小，在此过程中，拉力F及杆OB所受压力的大小变化情况描述正确的是（　　） A．F先减小，后增大 B．F逐渐减小 C．先减小，后增大 D．始终不变 【答案】BD 【详解】对结点B与重物整体进行分析，重力方向与OA平行，支持力大小等于压力，方向沿OB，绳AB拉力大小等于F，方向沿AB，根据相似三角形有 夹角逐渐减小过程中，AB长度减小，OB与OA长度不变，可知，F逐渐减小，始终不变。 故选BD。 角度08 “活结”、“死结”问题 20．如图所示，当施工员在水平台面上处用轻绳和轻滑轮缓慢提升物体的过程中，连接滑轮的轻绳与竖直方向夹角为，中张力为；若施工员在处缓慢提升该物体的过程中，与竖直方向夹角为，中张力为。不计滑轮摩擦，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把滑轮和结点（绳子与滑轮的接触点）作为整体研究，整体受到两侧绳子拉力F（F大小与物体重力G等大）与MN的拉力T而平衡，且滑轮两侧绳子夹角为MN与竖直方向夹角的2倍，施工员在P处时，对整体研究，根据平衡条件有 施工员在Q处时，对整体研究，根据平衡条件有 因为当施工员从P移动到Q时，滑轮右侧绳子与水平方向夹角减小，故滑轮两侧绳子夹角变大，因此，可知，因此。 故选A。 21．（多选）如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为的物体，，（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则下列说法正确的是（　　） A．轻绳段的拉力大小为 B．杆对滑轮的作用力为 C．若将绳端沿墙下移，使之再次平衡，则杆所受轻绳作用力大小变大 D．若将绳端沿墙下移，使之再次平衡，则杆所受轻绳作用力大小不变 【答案】AC 【详解】A．同一根轻绳上拉力大小处处相等，对物体进行分析有，故A正确； B．对滑轮与接点C整体进行分析有 结合上述解得，故B错误； C．令AC绳与竖直方向夹角为，杆所受轻绳作用力大小 若将绳端沿墙下移，则减小，为锐角，增大，可知，杆所受轻绳作用力大小变大，故C正确，D错误。 故选AC。 22．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题： (1)此时施加的拉力的大小？ (2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？ 【详解】（1）设轻绳上的拉力大小等于，对环进行分析，根据平衡条件有 ， 解得 （2）将水平拉力缓慢增加到，对小环进行受力分析，如图所示 拉力F2与重力mg的合力为 令上述合力方向与水平方向夹角为，则有 解得 根据对称性可知，此时环两侧绳与上述合力方向的延长线的夹角相等，令夹角为，则有 根据对称性，作出几何示意图，如图所示 令绳长为L，则有 当AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为时有 解得 则有 结合上述解得 角度09 平衡问题中的极值问题 23．如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态。若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直方向的夹角保持不变，则外力F的大小（     ） A．可能为mg B．可能为 C．一定为mg D．可能为3mg 【答案】D 【详解】对A、B两球整体受力分析，受重力 OA绳子的拉力以及外力F，三力平衡，将绳子的拉力和外力F合成，其合力与重力平衡，如图所示： 当外力F与绳子的拉力垂直时，外力F最小，最小值为 由于外力F的方向具有不确定性，因而从理论上讲，外力F最大值可以取到大于的任意值。 故选D。 24．（多选）如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，BC面与水平地板间的动摩擦因数为，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一个质量为m的光滑球体，同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC面倾角，，重力加速度为g，则（　　） A．楔形物体对地板的压力大小始终为Mg + mg B．向右的水平力F的最小值一定是零 C．当时，楔形物体与地板间无摩擦力 D．向右的水平力F的最大值为 【答案】ACD 【详解】A．将M、m视为一个整体可知，楔形物体对地板的压力大小为，故A正确； B．斜面体受到的最大静摩擦力 当水平向右的外力最小（设为）时，斜面体可能有向左运动趋势，当时， 当时， 故B错误； C．球体对AC面的弹力大小为 当时，楔形物体水平方向上受到的合力为零，没有运动趋势，摩擦力为零。故C正确； D．当水平向右的外力最大（设为）时，斜面体有向右运动趋势，由平衡条件有 解得 故D正确。 故选ACD。 25．如图所示，三根抗拉轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳跨过光滑定滑轮后另一端与质量为M（未知）的物体P相连接，物体P放在倾角为的固定粗糙斜面上，OC绳竖直悬挂质量为的物体Q。物体P、Q静止时，绳OA与竖直方向的夹角，绳OB上部分水平而下部分与斜面平行。重力加速度取，，，在保持物体P、Q静止的条件下，求： (1)轻绳OA和OB的拉力、的大小； (2)物体P不受摩擦力时其质量M的值； (3)若物体P与斜面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体P的质量取值范围。 【详解】（1）对结点受力分析，用正交分解法如图，由平衡条件有 解得， （2）物体P不受摩擦力时，根据平衡条件可得 解得 （3）各物体均保持静止，则根据平衡条件可得，绳中拉力不变， 质量最大时有 质量最小时有 解得， 故的质量范围为，即 角度10 用解析法解决平衡问题 26．公园内儿童游乐设施拱形桥的截面示意图如图所示，可简化为以O点为圆心的圆弧AB，E为桥面最高点，AB在同一水平面上。一质量为m的儿童（可视为质点）从A点开始沿桥面缓慢移动至B点，图中C、D为桥面上两点，OC与OA间的夹角θ=30°，OD与OB间的夹角α=15°。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．儿童从A到E的过程中受到的摩擦力逐渐增大 B．儿童移动的整个过程中，桥面对其作用力大小不变 C．儿童经过C点时，桥面对其支持力的大小为 D．儿童经过C、D两点时，受到的摩擦力大小相等 【答案】B 【详解】A．儿童向上攀爬时受力情况，如图所示 儿童处于动态平衡，根据平衡条件可得 因β逐渐减小，所以Ff逐渐减小，故A错误； C．当儿童处于C点时，有 根据平衡条件可得，，故C错误； D．儿童处于D点时，对应圆弧切面的倾角为45°，此时儿童受到的摩擦力为，故D错误； B．儿童在整个移动的过程中，受到的合力为零，即桥面对其作用力的大小始终等于儿童的重力，故B正确。 故选B。 27．（多选）如图所示，物体用细绳 悬于 点，在绳上 点系上绳 。缓慢地沿水平方向拉绳 ，使 逐渐偏离竖直方向。在这个过程中（     ） A．绳 的拉力先减小后增大 B．绳 的拉力逐渐增大 C．绳 的拉力先减小后增大 D．绳 的拉力逐渐增大 【答案】BD 【详解】设OA与竖直方向的夹角为θ，将A点到重物的部分看作整体，对其受力分析如图： 根据平衡条件可知：竖直方向上有FOAcosθ=mg 水平方向上有FOAsinθ=FAB 由此可知，重物的重力mg保持不变，随着θ角增加，OA绳上的拉力FOA逐渐增大，则AB绳上的拉力FAB也逐渐增大。 故选BD。 角度11 用图解法解决平衡问题 28．如图所示，球A在半球B上与竖直墙面接触，B在水平力F作用下处于静止状态，现仅改变F的大小，使B沿水平面缓慢向右移动直到A球将要落地，在此过程中，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．B对地面的压力不断增大 B．A对B的压力不断减小 C．A对墙面的压力保持不变 D．水平作用力F不断增大 【答案】D 【详解】A．以A、B整体为研究对象，B对地面的压力大小始终等于整体重力大小，故A错误； B．以A为研究对象，B沿水平面缓慢向右移动过程中，B对A的弹力与竖直方向夹角不断变大，如图所示 因弹力竖直方向的分力始终等于A的重力，故B对A弹力变大，根据牛顿第三定律可知A对B的压力不断增大，故B错误； C．B对A弹力变大，则弹力的水平分力也变大，且该水平分力大小等于A对墙面的压力大小，因此A对墙面的压力不断增大，故C错误； D．A对墙面的压力不断增大，根据牛顿第三定律可知墙面对A的弹力也不断增大，以A、B整体为研究对象，水平作用力F大小始终等于墙面对A的弹力，因此水平作用力F不断增大，故D正确。 故选D。 29．（多选）如图所示，用两根轻绳、悬挂一形状固定且不规则的物体，物体处于静止状态，、两悬点在同一竖直线上，与不规则物体交于点。已知两根轻绳、与竖直方向夹角分别为、，则（     ） A．两根轻绳、的拉力大小之比 B．该不规则物体的重心在点 C．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 D．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 【答案】ACD 【详解】A．根据物体平衡条件，可知水平方向 整理得，故A正确； B．根据三力平衡汇交原理，物体所受三个力的作用线必交于一点。与的作用线交于连线上的某点（设为），因此重力的作用线也必须过点。由于重力竖直向下，且点在所在的竖直线上，所以物体的重心必在所在的竖直线上。虽然点也在该竖直线上，但重心不一定恰好在点，故B错误； CD．图示位置，两绳拉力方向垂直时，在保持方向不变的情况下，绳的拉力达到最小值 根据以上图示可知，用轻绳连接，撤去轻绳，或者用轻绳连接，撤去轻绳，绳的拉力均增大，故CD正确。 故选ACD。 角度12 、辅助圆解决平衡问题 30．如图所示，水平地面上有一竖直木板，光滑铁球被不可伸长的细绳悬挂并靠在木板上。现使木板绕下端顺时针缓慢转至水平状态（转向如图虚线处），转动过程中绳子与木板之间的夹角保持不变，铁球始终处于平衡状态。则转动过程中（   ） A．铁球受到的支持力一直增大，绳子拉力一直减小 B．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力一直增大 C．铁球受到的支持力先增大后减小，绳子拉力一直减小 D．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力先增大后减小 【答案】C 【详解】设绳子对球的拉力为，木板对球的支持力为，则球的重力、拉力、支持力构成矢量三角形，设绳子拉力与重力夹角为，重力与支持力夹角为，拉力与支持力夹角为，如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理得 将木板以底端点为轴顺时针缓慢转动过程中，不变，从逐渐减小到0，从逐渐增大到，所以拉力减小，支持力先增大后减小。 故选C。 31．（多选）如图甲所示，光滑轻绳AB穿过带有小孔的小球P，绳两端系住在竖直圆环上。用销钉把小球P固定在绳中点，静止时小球恰好在圆环圆心处，PA绳水平，且与PB绳的夹角为。撤去销钉，小球能在绳上自由滑动，静止时的位置如图乙所示。则下列关于PA、PB绳拉力的大小、的分析中，正确的是（   ） A．甲图中，将绳A端沿圆环顺时针缓慢转过的过程中，逐渐增大 B．甲图中，将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转过的过程中，逐渐减小 C．乙图中，将绳A端沿圆环顺时针缓慢移动一小段距离，逐渐增大 D．乙图中，将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转动一小角度，逐渐增大 【答案】BD 【详解】A．甲图中，设小球的质量为，根据平衡条件作出力的矢量图，如图所示 由图可知，将绳A端沿圆环顺时针缓慢转过的过程中，先减小后增大，故A错误； B．对小球受力分析，如图所示 根据拉密定理可知 将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转过的过程中，角一直为不变；角由增大到，所以不变，减小，所以减小，故B正确； CD．对小球受力分析，如图所示 设AB之间的水平距离为，则 根据平衡条件可知 若将绳A端沿圆环顺时针缓慢移动一小段距离，AB之间的水平距离减小，则减小；若将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转动一小角度，则AB之间的水平距离增大，则增大，故C错误，D正确。 故选BD。 【例1】（2026·云南·高考真题）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随x变化的图像是（） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】设挎包带与竖直方向的夹角为θ。对挎包受力分析，竖直方向受重力mg和两股包带的拉力FT，由平衡条件2FTcosθ=mg 根据几何关系有单侧包带长度 单侧包带水平投影长度 则 故 代入特殊点x = 0， x = d， x = 2d， 故选D。 【深化点拨】 （1）共点力平衡规律：挎包静止，两侧包带拉力的竖直分力之和与挎包重力平衡，水平分力相互抵消，是受力分析的核心依据。 （2）分力大小与夹角的变化关系：物体重力恒定，两侧拉力的合力固定等于重力；两侧拉力夹角越小，单根绳的拉力越小；夹角越大，拉力越大。 （3）几何关系对夹角的影响：挂钩间距x决定包带两段的倾斜夹角：x=d时两段包带竖直，夹角最小，拉力达到最小值；x偏离d（变大或变小），夹角都会增大，拉力同步上升。 （4）图像趋势判断逻辑：横坐标为挂钩间距x，纵坐标是拉力与重力的比值；x=d处取最小值，向两侧延伸时拉力单调递增，曲线呈开口向上的类抛物线形态。 （5）轻质绳受力特点：包带轻质无自重，仅传递拉力，整条包带各处张力大小相等，无需考虑包带自身重力带来的额外受力。 （6）生活场景力学建模：以挎包悬挂为生活化情境，将悬挂问题转化为互成角度两个等大拉力的合成模型，考查几何、受力平衡、图像趋势综合分析能力。 【变式1-1】（2026·山东·高考真题）如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为的小球。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度大小为，则每根弹簧的伸长量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，每根弹簧的伸长量相等，设每根弹簧的伸长量为，光滑刚性杆与地面的夹角为，结合正四面体的特点，由几何关系可得， 设两根弹簧对小球的弹力为，则有 对其中一个小球受力分析，如图所示 沿杆方向上，由平衡条件有 联立解得 故选B。 【变式1-2】（2026·湖北·高考真题）如图所示，半径为的光滑圆环固定在竖直平面内，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环上与圆心等高的位置，另一端连接一个套在圆环上质量为的小球，平衡时弹簧与水平方向的夹角为。弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为，弹簧的劲度系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设此时弹簧的长度为，由几何关系有 解得 可知，此时弹簧被压缩，且形变量为 对小球受力分析，如图所示 由平衡条件有， 联立解得 故选C。 【变式1-3】（2025·贵州·高考真题）一不可伸长的轻绳跨过同一水平线上的定滑轮，中间两定滑轮的间距为，在绳中央固定有一轻质吊环，绳两端分别挂有质量均为的配重物，配重物静止在地面上且绳恰好伸直。如图，某同学在健身时把吊环竖直向下缓慢拉的距离后保持静止，已知重力加速度大小为，不计摩擦及滑轮大小，则静止时该同学对吊环的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据几何关系可知，吊环两边的细绳与竖直方向的夹角为45°，则由平衡可知 其中T=mg，可得 故选A。 ⚡基础速刷 1．如图所示，接水过程中，手与杯子均保持静止。随着竖直放置的杯子中水越来越多，下列说法正确的是（    ） A．手对杯子的摩擦力方向竖直向下 B．杯子对手的摩擦力方向竖直向上 C．手与杯子间的摩擦力大小不断增大 D．手与杯子间的摩擦力大小保持不变 【答案】C 【详解】AB．杯子保持静止，手对杯子的摩擦力与杯子和水的总重力是一对平衡力，手对杯子的摩擦力方向竖直向上；由牛顿第三定律可知杯子对手的摩擦力方向竖直向下，故AB错误； CD．随着竖直放置的杯子中水越来越多，杯子和水的总重力增大，手与杯子间的摩擦力大小不断增大，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图所示，不计悬绳的质量，把B和C两物体悬吊在天花板A上，当两物体静止后，下面哪一对力是平衡力（     ） A．天花板对绳的拉力和绳对B物体的拉力 B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对B物体的拉力 C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力 D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力 【答案】D 【详解】A．天花板对绳的拉力和该绳对B物体的拉力不是平衡力，平衡力的作用对象是一个物体，这里有两个对象了，A错误； B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对B物体的拉力大小不等，也不是平衡力，B错误； C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力也不是平衡力，平衡力的作用对象是一个物体，这里有两个对象了，C错误； D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力是一对平衡力，D正确； 故选D。 3．如图所示，水平桌面上，某同学将轻质细绳绕过杯子手把，双手拉动杯子沿水平面做直线运动，已知轻绳两端的拉力大小均为，夹角为，不计轻绳与杯子手把间的摩擦。则轻绳对杯子的作用力为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轻绳对杯子的作用力是两个大小均为的拉力的合力，如图所示 合力在两个分力的角平分线上，每个分力与合力方向的夹角为，则总合力 故选C。 4．（多选）我国运动员在巴黎奥运会体操男子吊环决赛中取得优异成绩，中国选手刘洋获得冠军，邹敬园获得亚军。如图，在某次体操比赛中，运动员正在吊环上保持静止状态。忽略吊环和绳子的质量，两绳与竖直方向的夹角均为，运动员的质量为m，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．单根绳子的拉力大小为 B．两绳的合力等于运动员的重力 C．越大，两绳的合力越大 D．越大，单根绳子拉力越大 【答案】BD 【详解】根据受力平衡可得 可得 可知绳子与竖直方向的夹角越大时，单根绳子的拉力越大，两绳的合力始终等于运动员的重力。 故选BD。 5．（多选）两物块M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示，、与水平面的夹角分别为、，已知，M、m均处于静止状态。则（　　） A．物块m与水平面间可能没有摩擦力 B．物块m与水平面间一定有摩擦力 C．绳的拉力大于绳的拉力 D．绳的拉力小于绳的拉力 【答案】BD 【详解】CD．对点受力分析，由平行四边形定则可知，绳的拉力小于绳的拉力，故C错误，D正确； AB．对物体而言，因向右的绳的拉力大于向左的绳的拉力，可知受到向左的摩擦力，即物块与水平面间一定有摩擦力，故A错误，B正确。 故选BD。 6．如图所示，质量的物块静止在水平桌面上，受到与水平方向成角的作用力F。（已知，，，） (1)若当力时，物块仍处于静止状态，求此时物体受到的摩擦力大小？ (2)若当力时，物块恰好沿水平桌面向右做匀速直线运动，求物块与水平桌面的动摩擦因数？ 【详解】（1）物块受力分析图如下图所示，根据题意可知物块处于静止状态，受力平衡，那么水平方向有 （2）物块受力分析图如下图所示，物块沿水平方向匀速直线运动，受力平衡，那么水平方向有① 竖直方向有② 又因为③ 联立①②③式得 🚀能力跃升 7．如图所示是《天工开物》中古人挖煤时的场景和其简化示意图，初始时牵引绳和水平地面间夹角为，簸箕与地面间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，簸箕与井壁无接触，忽略绳子和滑轮之间的阻力。在簸箕被缓慢拉到滑轮的正下方的过程中，牵引绳的拉力（     ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【详解】簸箕被缓慢拉动，始终处于平衡状态。设牵引绳与水平地面的夹角为，簸箕重力为，对簸箕受力列平衡方程。 水平方向： 竖直方向： 滑动摩擦力满足： 联立方程得： 代入数值整理得： 拉到滑轮正下方的过程中，从初始的逐渐增大到，从增大到，余弦函数随角度增大持续减小，因此拉力一直增大。 故选A。 8．如图所示一款折叠桌静置在水平地面上，桌腿为两组等长轻杆组成的“X”形支架，每组支架两杆夹角为。现将一个质量为的锅（含食材）放在桌面正中央，已知桌面的质量为，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．锅对桌面的压力和桌面对锅的支持力是一对平衡力 B．若减小，则桌对地面的压力将减小 C．单根桌腿所受的压力大小为 D．若减小，则地面对单根桌腿的摩擦力将减小 【答案】D 【详解】A．锅对桌面的压力和桌面对锅的支持力是一对相互作用力，故A错误； B．对折叠桌和锅整体受力分析，竖直方向受重力和地面的支持力，始终满足平衡条件 根据牛顿第三定律，桌对地面的压力与支持力等大反向，与夹角无关，故B错误； C．设每根桌腿受到的弹力为F，方向沿桌腿向下，与竖直方向夹角为。根据牛顿第三定律，以桌面和锅整体为研究对象，根据平衡条件可得竖直方向 单根桌腿受到的压力，故C错误； D．以其中一根桌腿的底部腿脚为研究对象，桌腿对底部腿脚的弹力大小等于F、方向沿桌腿向下，与竖直方向夹角为，腿脚还受到地面支持力和地面摩擦力。 根据平衡条件可得 解得 当减小时，地面对单根桌腿的摩擦力将减小，故D正确。 故选D。 9．（多选）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为θ。下列说法正确的是（     ） A．当m一定时，θ越大，每根轻杆对滑块的弹力越大 B．当M、m一定时，每个滑块对地面的压力大小为 C．当m和θ一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小为 D．若最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，则不管θ取何值，只要不断增大m，滑块一定会滑动 【答案】BC 【详解】A．以重物C的悬挂点O 点进行受力分析，如下图所示 可知轻杠对滑块的压力即为物块C的重力沿轻杠的分力 则越大，越小，故A错误； B．对、、整体受力分析，总重力为，地面对两滑块的总支持力等于总重力，由对称性可知每个滑块受到的支持力 根据牛顿第三定律，滑块对地面的压力等于支持力，大小为，故B正确； C．对滑块受力分析，如图所示 因整个系统静止平衡，所以每个滑块所受摩擦力与的分力相等，即，故C正确； D．以滑块A为例分析，因为压力为 则滑动摩擦力 所以滑动摩擦力随的增大而增大，水平方向推力 只有当时滑块一定不滑动，解不等式得 所以满足该不等式时，滑块不会滑动，故D错误。 故选BC。 10．如图所示，整个装置处于静止状态，光滑轻滑轮固定在斜面体的顶端，连接物块的轻绳段水平、段与斜面平行。已知物块、、的质量分别为、、，轻绳与竖直方向的夹角以及斜面的倾角均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，，。求： (1)绳、中的拉力大小； (2)斜面体对物块的摩擦力大小和方向； (3)地面对斜面体的摩擦力大小和地面与斜面体间的动摩擦因数至少为多大？ 【详解】（1）对结点受力分析，根据平衡条件可得 （2）规定沿斜面向上为正方向，对物块受力分析，根据平衡条件可得 代入数据，解得 其中负号表示摩擦力的实际方向与规定方向相反，故斜面体对物块的摩擦力方向沿斜面向下，大小为。 （3）以物块、以及滑轮为整体，受力分析，水平方向有 竖直方向上，地面对斜面体的支持力大小满足 地面与斜面体间的动摩擦因数需满足 解得 故地面与斜面体间的动摩擦因数至少为。 🌟思维挑战 11．现有一条粗细与质量分布均匀、柔软且不能伸长的链条，悬挂在A、B两点之间，链条质量为m，悬点A、B处切线与竖直方向夹角分别为30°和60°，两切线的交点为C，F为链条的最低点，重力加速度为g，则最低点F处链条张力为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对链条整体分析，有， 设最低点F处的张力为T，方向水平，AF段链条质量为，BF段链条质量为，由受力平衡得， 解得， 对BF段链条分析 解得 故选A。 12．如图所示，一根轻绳一端固定在天花板的A点，另一端通过与A在同一水平面上的小滑轮C吊着一个装有沙子的沙桶乙，同样装有沙子的沙桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，此时AB和BC的夹角为，AC间的距离为L，甲、乙两个桶的质量均为，甲桶中沙的质量为m。将乙桶中的一部分沙转移到甲桶中，后来AB和BC的夹角变为90°。已知重力加速度为g，不计摩擦。下列说法正确的是（　　） A．原来乙桶中沙的质量为 B．原来轻绳对滑轮C的作用力大小为 C．从乙桶中转移的沙的质量为 D．转移沙后甲桶下降的距离为 【答案】C 【详解】A．设轻绳上的张力为，对B点受力分析有 对乙桶分析有 所以，故A错误； B．由题意可知滑轮C两侧的轻绳夹角为60°，所以轻绳对滑轮C的作用力大小为，故B错误； C．设转移的沙的质量为，对B点受力分析有 解得，故C正确； D．转移沙之前，挂钩离AC所在水平面的距离 转移沙之后，挂钩离AC所在水平面的距离 所以此过程中甲桶下降的距离，故D错误。 故选C。 13．（多选）如图所示，质量均为的滑块之间连接着一根轻质弹簧，弹簧劲度系数为，现将滑块放在位于水平地面上的斜面体上，弹簧处于压缩状态，且滑块和斜面体均处于静止状态。已知斜面体的倾角为，滑块、与斜面体之间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法中正确的是（　　） A．斜面体与水平地面之间存在摩擦力 B．斜面体对滑块组成的系统的摩擦力为 C．若将弹簧拿掉，滑块有可能发生滑动 D．弹簧的压缩量可能为 【答案】BD 【详解】A．将P、Q和斜面体视为整体，整体静止，水平方向不受外力，因此水平地面对斜面体没有摩擦力，A错误； B．对P、Q组成的整体受力分析，弹簧弹力为内力，沿斜面方向合力为零，斜面体对整体的静摩擦力平衡总重力的分力，因此，B正确； C．弹簧压缩，对P的弹力沿斜面向下，P静止满足 可得，则对Q也有 拿掉弹簧后，单个滑块的重力分力仍小于最大静摩擦力，因此滑块不会滑动，C错误； D．若压缩量，则弹簧弹力 对P受力分析，（满足，即静止前提） 对Q受力分析，，也满足静止条件。 题目说“可能”，因此该压缩量是可能存在的，D正确。 故选BD 。 14．如图所示，倾角为60°、质量为M的斜面体A置于水平面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为m的光滑球B，斜面体受到水平向右的外力，系统始终处于静止状态。已知重力加速度为g。 (1)求球B受到斜面体的弹力大小N1和墙面的弹力大小F1； (2)若斜面体受到水平向右的外力大小为，求此时斜面体受到水平面的摩擦力； (3)若斜面体与水平面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为了使系统处于静止状态，求水平向右的外力大小F的范围。 【详解】（1）研究B球，受力情况如图甲所示 由共点力的平衡条件有， 解得， （2）研究A、B整体为研究对象，受力情况如图乙所示 设斜面体受到的摩擦力为f，由共点力的平衡条件 解得，摩擦力方向水平向右 （3）斜面体受到的最大静摩擦力 ①水平向右的外力最大（设为）时，斜面体有向右运动趋势，由平衡条件有 解得 ②水平向右的外力最小（设为）时，斜面体可能有向左运动趋势 （）当时， 则 （）当时， 则 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3.5节 共点力的平衡 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 一般情况下的共点力平衡 考点02 动态平衡分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 分析物体受力个数 角度02 利用平衡推论求力大小或方向 角度03 直接合成法解决三力平衡问题 角度04 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 角度05 正交分解法解共点力平衡问题 角度06 三角形法则解决共点力平衡问题 角度07 用相似三角形解决平衡问题 角度08 “活结”、“死结”问题 角度09 平衡问题中的极值问题 角度10 用解析法解决平衡问题 角度11 用图解法解决平衡问题 角度12 、辅助圆解决平衡问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.理解共点力平衡条件：合外力为0，即F合x=0，F合y=0。 2.掌握完整受力分析步骤，能规范画出物体受力示意图。 3.会用合成法、正交分解法解决静态平衡、动态平衡问题。 4.能处理斜面、绳结、杆连接等多模型平衡计算题。 1.梳理“重力→弹力→摩擦力→其他力”标准受力分析顺序。 2.静态平衡优先正交分解，建立坐标轴列平衡方程。 3.动态平衡利用矢量三角形图解，判断力大小变化趋势。 知识导图 考点01 一般情况下的共点力平衡 1、物体进行受力分析 （1）定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 （2）一般步骤： 2、共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 3、共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持 运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 4、平衡状态常用推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n-1）个力的合力等大、反向。 5、解答共点力平衡问题的三种常用方法 项目 内容 合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时,将其中的任意两个力合成,其合力一定与第三个力平衡,从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题 分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时,将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解,则每个方向上的一对力大小相等、方向相反,从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题 正交分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时,将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解,然后分别在这两个方向上列平衡方程,此时平衡条件可表示为Fx合=0,Fy合=0 【深化点拨】 1．受力分析中如何防止“多力”或“漏力” （1）防止“多力”：对每个力都要找出其施力物体，若某个力找不到施力物体则说明该力不存在；研究对象对其他物体的作用力不能画在图中，另外合力与分力不能重复分析。 （2）防止“漏力”：按正确的顺序（即重力→弹力→摩擦力→其他力）进行受力分析是防止“漏力”的有效措施。 2．对共点力平衡条件的理解及应用 （1）合外力等于0，即F合=0→正交分解法其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 （2）在分析问题时，注意“静止”和“v=0”不是一回事，v=0时，。 3．处理共点力平衡问题的基本思路：确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论。 4．应用共点力平衡条件解题的步骤 （1）明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。 （2）分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。 （3）对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。 （4）建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。 （5）求解方程，并讨论结果。 5．解答共点力平衡问题的一般步骤 （1）选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体（整体法或隔离法）。 （2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。 （3）对研究对象所受的力进行处理，对三力平衡问题，一般根据平衡条件画出力合成时的平行四边形。对四力或四力以上的平衡问题，一般建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行分解。 （4）建立平衡方程，对于四力或四力以上的平衡问题，用正交分解法列出方程组。 1．如图所示，两长度相等的轻绳的一端系在同一物块上，两名同学分别握住两根轻绳的另一端，保持手在同一水平面内以相同速率缓慢相向运动，物块没落地。该过程中，左端轻绳的拉力大小（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．保持不变 D．先增大后减小 2．（多选）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，两根等长轻绳上端分别系在两环上，下端均固定在小球上并使小球静止。现将两环距离变大后小球仍处于静止状态，则（    ） A．杆对A环的支持力不变 B．B环对杆的摩擦力变大 C．杆对B环的力不变 D．与B环相连的轻绳对小球的拉力变大 3．如图所示，水平地面上质量为的物体，受到与水平方向成53°角的拉力，恰能沿水平方向做匀速直线运动（，）。求 (1)F在水平方向的分力大小和竖直方向的分力大小； (2)物体受到的摩擦力f大小和支持力N的大小； (3)物体与地面间的动摩擦因数。 考点02 动态平衡分析 1、动态平衡态:动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生 ，“缓慢”指物体的 ，所以在变化程中可认为物体处于平衡状态，把物体的这种状态称为 。 2、动态平衡的四种典型解法：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法。 （1）解析法应用一般步骤 ①选某一状态对物体进行受力分析； ②将其中两力合成，合力与第三个力等大反向； ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。 ※解析法适用于有特殊三角形的时候（直角始终存在）。 （2）图解法应用一般步骤 ①确定恒力、定向力、第三力 ②画出恒力，从恒力末端画出与定向力同方向的虚线，将第三力平移与恒力、定向力构成矢量三角形。 ③根据题中变化条件，比较这些不同形状的矢量三角形，判断各力的大小及变化。 ※图解法适用于三力动态平衡：一力大小方向均不变、一力方向不变、一力大小方向都变。 （3）相似三角形法:物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，根据合力为零，把三个力画在一个三角形中，看力的三角形与哪个三角形相似，找到力的三角形与空间三角形相似后，根据相似三角形的对应边成比例，列方程求解. ※相似三角形法适用于：有一恒力，另外两个力大小、方向都变。 （4）辅助圆法：适用于物体受三个力处于动态平衡时，其中一个力大小、方向均确定,另两个力大小、方向均不确定,但是这两个力的方向夹角保持不变。 3、整体法与隔离法处理物体的平衡问题：整体法与隔离法是物理学中处理物体平衡问题的两种基本方法，它们各有适用场景，并且经常交替使用以解决复杂问题。 （1）整体法适用于将两个或多个物体组成的系统作为研究对象，当需要研究外力对系统的作用时，整体法更为简便，因为它不需要考虑系统内部的作用力。整体法的思维特点是从全局出发，通过整体受力分析揭示系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从而避免繁琐的中间环节计算，能够灵巧地解决问题。例如，在处理连接体平衡问题时，如果只涉及系统外力而不涉及系统内部物体之间的内力以及加速度问题，通常选取整个系统为研究对象，使用整体法进行分析。 （2）隔离法则是将研究对象从周围物体中隔离出来进行受力分析的方法，适用于需要研究系统内各物体之间的作用力或加速度的情况。隔离法不仅能求出其他物体对整体的作用力，而且还能求出整体内部物体之间的作用力。在处理复杂问题时，通常先用整体法确定整体的运动状态，然后再用隔离法分析内部物体的相互作用。 4、平衡中的临界问题 （1）问题特点：①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化；②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 5、平衡中的极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 6、“活结”与“死结”模型 （1）“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 （2）“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 7、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 （2）“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。 【深化点拨】 1．临界与极值问题的分析技巧 （1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。 （2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。 2．整体法与隔离法的常规使用技巧是 （1）先利用整体法求外力，再利用隔离法求单个物体的受力。 （2）在实际应用中，整体法和隔离法并不是独立使用的，对于一些复杂问题，可能需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法进行分析。这种方法的交替使用有助于更全面地理解问题的本质，从而找到解决方案。 1．如图所示，用一轻绳将光滑小球系于粗糙竖直墙壁上的点，在墙壁和球之间夹有一矩形物块Q，P、Q处于静止状态。略微改变轻绳的长度，P、Q仍然均处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．P、Q两物体都只受到3个力作用 B．若轻绳略微变长后，轻绳的拉力将减小 C．若轻绳略微变长后，墙壁对Q的弹力将增大 D．若轻绳略微变短后，Q受到的静摩擦力将增大 2．（多选）如图所示，用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来，静止时AO是水平的，BO与竖直方向的夹角为θ。设AO绳的拉力为F1，BO绳的拉力为F2。如果保持结点O的位置不变，将B点向左缓慢移动（同时增加绳长），下列说法正确的是（　　） A．F2变小，F1变大 B．F2变大，F1变大 C．F1和F2的合力不变 D．F1和F2的合力变小 3．如图所示，可视为质点的小灯笼用轻绳连接并悬挂在O点，在稳定水平风力作用下发生倾斜，灯笼稳定时，轻绳与竖直方向的夹角为37°，设灯笼的质量为0.2kg。（取） (1)求水平风力F和轻绳拉力T的大小； (2)若风力增大，则灯笼稳定时轻绳拉力大小怎样变化。 共点力的平衡的综合应用及解题步骤 1.方法选择：必须“看力选法” （1）核心规则：解决平衡问题，方法的选择直接决定解题速度。 二力平衡：等大、反向、共线。 三力平衡：首选合成法或三角形定则。若涉及角度计算，利用正弦定理或余弦定理；若涉及几何长度（如绳长、杆长），利用相似三角形法（力的三角形~几何三角形）。 四力及以上：必须使用正交分解法。建立坐标系，让尽可能多的力落在轴上，列 ∑Fx=0,∑Fy=0方程。 （2）操作方法： 动态分析： 解析法：写出函数表达式 F（θ），根据角度变化判断力的变化。 图解法：画出矢量三角形，通过箭头的移动直观判断力的大小变化（适用于一个力恒定，另一个力方向不变的情况）。 相似三角形法：适用于三个力方向都在变，但构成的力三角形与空间几何三角形始终相似的情况。 （3）易错示范： 错误示范：四个力平衡时，强行用三角形定则画图，导致图形复杂无法求解。 正确理解：力多了就分解，力少了就合成。 2.模型辨析：必须“分清”活结与死结、动杆与定杆 （1）核心规则：绳子和杆的弹力特性完全不同，是高频考点。 活结vs死结： 活结（如滑轮、光滑挂钩）：同一根绳子上的张力处处相等，两侧绳子与竖直/水平方向夹角往往对称。 死结（如打结固定）：结点两侧绳子的拉力大小不一定相等，需把结点作为研究对象单独分析。 动杆vs定杆： 动杆（一端有铰链/转轴）：杆只能产生沿杆方向的弹力（拉力或支持力）。 定杆（插入墙壁固定）：杆产生的弹力方向不一定沿杆，需根据平衡条件反推。 （2）操作方法： 看到滑轮，默认绳子拉力相等。 看到插进墙里的杆，不要想当然认为力沿着杆，要画受力分析图。 （3）易错示范： 错误示范：认为只要是杆，弹力就一定沿着杆。（错在忽略了定杆模型） 正确理解：只有轻杆且两端铰接（二力杆）时，弹力才沿杆。 3.整体与隔离：必须“先外后内” （1）核心规则：处理连接体（多个物体）平衡问题时，灵活切换研究对象。 整体法：当不需要求系统内部物体间的相互作用力（内力）时，优先用整体法。优点是忽略内力，方程少。 隔离法：当需要求系统内部物体间的相互作用力，或者整体法无法求解时，必须隔离某个物体分析。 （2）操作方法： 标准流程： 先看整体，求出地面对整体的支持力或摩擦力（外力）。 再隔离其中一个受力较简单的物体，求出内力。 注意：整体法分析时，系统内物体间的相互作用力互为作用力与反作用力，矢量和为零，直接抵消。 （3）易错示范： 错误示范：求A对B的摩擦力时，把AB看作整体列方程。（错在整体法看不到内力） 正确理解：求内力必隔离，求外力可整体。 角度01 分析物体受力个数 1．如图，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯处于静止状态。从侧面观察直梯的受力示意图正确的是（     ） A． B．C． D． 2．（多选）如图所示，长方体木块A放在固定的铁质材料斜面B上时恰好静止。现将一块磁铁C轻放在木块A的上表面，磁铁与木块间、木块与斜面间的接触面均粗糙，且磁铁与木块始终保持相对静止。则下列说法正确的是（　　） A．木块A将沿斜面下滑 B．木块A仍恰好保持静止 C．磁铁C受4个力作用 D．磁铁C对木块A的摩擦力平行于斜面向下 3．将质量为m的钢球放在两个光滑的木板之间。两木板夹角为 (1)分析钢球受几个力的作用？画出受力示意图。 (2)求出球对a、b板的压力大小。 角度02 利用平衡推论求力大小或方向 4．冰箱贴是一种采用磁性材料制成的生活用品，主要用于装饰冰箱表面及固定便签。现有一小巧美观的冰箱贴贴在冰箱的竖直表面上，如图所示，当冰箱贴静止不动时，下列说法正确的是（　　） A．冰箱贴共受到三个力的作用 B．冰箱对冰箱贴的支持力大小等于冰箱贴所受重力的大小 C．冰箱对冰箱贴的作用力大小等于冰箱贴所受重力的大小 D．冰箱对冰箱贴的作用力大小大于冰箱贴所受重力的大小 5．（多选）如图所示，三根长都是的轻杆，上端用铰链连接，每根杆都可以绕自由转动，下端支在水平地面上的三点，为等边三角形，且每根轻杆与水平面的夹角均为。在点连接一根轻绳，下端吊着一个重力为的物体，三角架处于稳定状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．地面对每根杆的支持力大小均为 B．每根杆对铰链的作用力大小均为 C．杆和地面间的动摩擦因数至少为 D．若仅将等边三角形的边长变短，则地面对每根杆的支持力不变 6．如图所示，固定在水平桌面上的斜面倾角α=30°，轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连，另一端固定在天花板上，物块B悬挂在动滑轮上，此时A、B均保持静止，且A恰好不能下滑，动滑轮两边轻绳的夹角β=120°。已知物块A的质量，物块B的质量，取重力加速度大小g=10m/s2，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计轻绳与两滑轮的摩擦及动滑轮的质量。 (1)求轻绳上的拉力大小； (2)求物块A与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若仅增加物块B的质量，物块A仍能静止，求物块B的最大质量。 角度03 直接合成法解决三力平衡问题 7．工人使用专用转运推车搬运圆柱形管道。推车由支架与底板组成，其中支架与底板夹角呈角。将质量均为的相同管道、横放在静止的推车上，保持推车底板水平。不计管道与支架间的摩擦，下列说法正确的是（     ） A．支架对管道的弹力为 B．管道对管道的弹力为 C．底板对管道的弹力大小为 D．支架对管道的弹力大小为 8．（多选）如图所示，三根等长的光滑杆构成三角架，杆OA竖直放置。质量均为m的两小球用细线相连后，分别套在两杆上，在图示位置能保持静止。现将三角架绕A端在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转动，直到OB杆竖直。下列说法正确的是（　　） A．OA杆对小球的弹力一直增大 B．OB杆对小球的弹力一直增大 C．转至AB杆水平时OB杆上的弹力大小为2mg D．转至AB杆水平时绳上拉力为 9．如图所示，一质量的小球甲分别与一根轻质弹簧和一根不可伸长的轻绳连接，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳绕过一光滑定滑轮（大小不计），绳与竖直方向的夹角。一光滑小球乙由轻绳拴接置于半径为的半圆柱体表面，半圆柱体截面的圆心点与定滑轮中心在同一竖直线上，的距离为，绳段沿半圆柱的切线方向。两个小球均可视为质点，整个系统处于同一竖直面内，且始终保持静止。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，，，求： (1)弹簧的伸长量及绳子上的拉力； (2)小球乙的质量。 角度04 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 10．如图所示，斜面体质量为M，倾角为θ，小方块质量为m，在水平推力F作用下，斜面体和小方块整体向左做匀速直线运动，各接触面之间的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，则下列说法错误的是（     ） A．斜面体对小方块的支持力大小一定为 B．斜面体对地面的压力大小一定为 C．斜面体对小方块的摩擦力大小一定为 D．地面对斜面体的摩擦力大小一定为 11．（多选）如图所示，在水平地面上放置着一半圆柱状物体A，上表面光滑，与地面接触的下表面粗糙。在光滑竖直墙壁与柱体之间放置一质量为m的球体B，系统初始时处于静止状态。施加外力使半圆柱体A缓慢向左移动少许，撤掉外力后系统仍静止。最终静止状态与初始状态相比，下列说法正确的是（ ） A．半圆柱体A对球体B的弹力变大 B．墙壁对球体B的弹力变小 C．地面对半圆柱体A的支持力不变 D．地面对半圆柱体A的摩擦力不变 12．如图所示，两个完全相同的小圆环套在水平晾衣杆上，一根不可伸长的光滑轻绳两端分别固定在小圆环上。将挂有衣服的晾衣架静止悬挂在轻绳的中间位置。已知小圆环的质量为m，晾衣架与衣服总质量为M，绳与竖直方向夹角均为，，。求： (1)轻绳上的拉力大小为多少？ (2)晾衣杆对每个小圆环弹力和摩擦力的大小分别为多少？ 角度05 正交分解法解共点力平衡问题 13．如图所示，绕过两光滑定滑轮的轻绳两端分别连接、两球，、两球再用轻绳连接处于静止状态，已知左侧定滑轮与球间的轻绳与竖直方向夹角为、右侧定滑轮与球间轻绳与竖直方向的夹角为，轻绳与水平方向的夹角为，轻绳对球的拉力大小为，轻绳对球的拉力大小为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）如图所示，质量为M的光滑斜面倾角为30°，质量为m的小球用绳子连接置于斜面上，另一端固定在天花板的A点，绳子与竖直方向成30°角。斜面在水平推力F的作用下静止于地面上（地面光滑），下列说法正确的是（    ） A．绳子拉力 B．水平推力 C．若斜面向右缓慢移动少许，绳子拉力变大 D．若斜面向右缓慢移动少许，地面支持力变大 15．两根完全相同的细直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动。一个半径 质量的水泥圆筒恰好能在木棍上静止，已知两木棍间距 ，与水平面的夹角。（已知滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g取。）求： (1)水泥圆筒对AB直木棍的摩擦力的大小； (2)水泥圆筒与直木棍之间的动摩擦因数； (3)若拉动水泥圆筒沿直木棍匀速向上运动，所需最小拉力的大小。 角度06 三角形法则解决共点力平衡问题 16．如图所示，一重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的木板挡住球，使之处于静止状态。今使挡板与斜面的夹角β缓缓增大，直到挡板处于水平状态的过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化（     ） A．球对斜面的压力不断减小 B．球对斜面的压力不断增大 C．球对挡板的压力一直增大 D．球对挡板的压力一直减小 17．（多选）如图所示，用三根轻绳将重物悬挂于点，当处于静止状态时，OA绳与OB绳垂直，且此时OA绳与竖直方向的夹角大于OB绳与竖直方向的夹角。三根轻绳所能承受的最大拉力相同。下列说法正确的是（　　） A．OB绳的拉力大于OA绳的拉力 B．OB绳的拉力大于OC绳的拉力 C．若增大重物的质量，则OB绳先断裂 D．若增大重物的质量，则OC绳先断裂 角度07 用相似三角形解决平衡问题 18．A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 19．（多选）如图所示，硬质杆OA竖直固定在水平地面上，另一轻杆OB的O端用光滑铰链铰于固定竖直杆OA上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮。一人站在地面上用力F拉住细绳，并将细绳缓慢往左拉，使杆OB与杆OA间的夹角逐渐减小，在此过程中，拉力F及杆OB所受压力的大小变化情况描述正确的是（　　） A．F先减小，后增大 B．F逐渐减小 C．先减小，后增大 D．始终不变 角度08 “活结”、“死结”问题 20．如图所示，当施工员在水平台面上处用轻绳和轻滑轮缓慢提升物体的过程中，连接滑轮的轻绳与竖直方向夹角为，中张力为；若施工员在处缓慢提升该物体的过程中，与竖直方向夹角为，中张力为。不计滑轮摩擦，则（　　） A． B． C． D． 21．（多选）如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为的物体，，（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则下列说法正确的是（　　） A．轻绳段的拉力大小为 B．杆对滑轮的作用力为 C．若将绳端沿墙下移，使之再次平衡，则杆所受轻绳作用力大小变大 D．若将绳端沿墙下移，使之再次平衡，则杆所受轻绳作用力大小不变 22．如图所示，一根光滑轻绳穿过质量为m的小环A，轻绳的两端分别固定在等高的B、C两点，给小环施加一个水平向左的拉力，小环静止时，AB段轻绳竖直，AC段轻绳与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，，，试求解下列问题： (1)此时施加的拉力的大小？ (2)若将水平拉力缓慢增加到，求此时绳中拉力大小？ 角度09 平衡问题中的极值问题 23．如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态。若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直方向的夹角保持不变，则外力F的大小（     ） A．可能为mg B．可能为 C．一定为mg D．可能为3mg 24．（多选）如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，BC面与水平地板间的动摩擦因数为，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一个质量为m的光滑球体，同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC面倾角，，重力加速度为g，则（　　） A．楔形物体对地板的压力大小始终为Mg + mg B．向右的水平力F的最小值一定是零 C．当时，楔形物体与地板间无摩擦力 D．向右的水平力F的最大值为 25．如图所示，三根抗拉轻绳系于O点，其中OA绳另一端固定于A点，OB绳跨过光滑定滑轮后另一端与质量为M（未知）的物体P相连接，物体P放在倾角为的固定粗糙斜面上，OC绳竖直悬挂质量为的物体Q。物体P、Q静止时，绳OA与竖直方向的夹角，绳OB上部分水平而下部分与斜面平行。重力加速度取，，，在保持物体P、Q静止的条件下，求： (1)轻绳OA和OB的拉力、的大小； (2)物体P不受摩擦力时其质量M的值； (3)若物体P与斜面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体P的质量取值范围。 角度10 用解析法解决平衡问题 26．公园内儿童游乐设施拱形桥的截面示意图如图所示，可简化为以O点为圆心的圆弧AB，E为桥面最高点，AB在同一水平面上。一质量为m的儿童（可视为质点）从A点开始沿桥面缓慢移动至B点，图中C、D为桥面上两点，OC与OA间的夹角θ=30°，OD与OB间的夹角α=15°。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．儿童从A到E的过程中受到的摩擦力逐渐增大 B．儿童移动的整个过程中，桥面对其作用力大小不变 C．儿童经过C点时，桥面对其支持力的大小为 D．儿童经过C、D两点时，受到的摩擦力大小相等 27．（多选）如图所示，物体用细绳 悬于 点，在绳上 点系上绳 。缓慢地沿水平方向拉绳 ，使 逐渐偏离竖直方向。在这个过程中（     ） A．绳 的拉力先减小后增大 B．绳 的拉力逐渐增大 C．绳 的拉力先减小后增大 D．绳 的拉力逐渐增大 角度11 用图解法解决平衡问题 28．如图所示，球A在半球B上与竖直墙面接触，B在水平力F作用下处于静止状态，现仅改变F的大小，使B沿水平面缓慢向右移动直到A球将要落地，在此过程中，不计一切摩擦，下列说法正确的是（     ） A．B对地面的压力不断增大 B．A对B的压力不断减小 C．A对墙面的压力保持不变 D．水平作用力F不断增大 29．（多选）如图所示，用两根轻绳、悬挂一形状固定且不规则的物体，物体处于静止状态，、两悬点在同一竖直线上，与不规则物体交于点。已知两根轻绳、与竖直方向夹角分别为、，则（     ） A．两根轻绳、的拉力大小之比 B．该不规则物体的重心在点 C．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 D．若用轻绳连接，撤去轻绳，则的拉力增大 角度12 、辅助圆解决平衡问题 30．如图所示，水平地面上有一竖直木板，光滑铁球被不可伸长的细绳悬挂并靠在木板上。现使木板绕下端顺时针缓慢转至水平状态（转向如图虚线处），转动过程中绳子与木板之间的夹角保持不变，铁球始终处于平衡状态。则转动过程中（   ） A．铁球受到的支持力一直增大，绳子拉力一直减小 B．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力一直增大 C．铁球受到的支持力先增大后减小，绳子拉力一直减小 D．铁球受到的支持力一直减小，绳子拉力先增大后减小 31．（多选）如图甲所示，光滑轻绳AB穿过带有小孔的小球P，绳两端系住在竖直圆环上。用销钉把小球P固定在绳中点，静止时小球恰好在圆环圆心处，PA绳水平，且与PB绳的夹角为。撤去销钉，小球能在绳上自由滑动，静止时的位置如图乙所示。则下列关于PA、PB绳拉力的大小、的分析中，正确的是（   ） A．甲图中，将绳A端沿圆环顺时针缓慢转过的过程中，逐渐增大 B．甲图中，将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转过的过程中，逐渐减小 C．乙图中，将绳A端沿圆环顺时针缓慢移动一小段距离，逐渐增大 D．乙图中，将圆环绕其圆心沿顺时针缓慢转动一小角度，逐渐增大 【例1】（2026·云南·高考真题）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随x变化的图像是（） A． B．C． D． 【深化点拨】 （1）共点力平衡规律：挎包静止，两侧包带拉力的竖直分力之和与挎包重力平衡，水平分力相互抵消，是受力分析的核心依据。 （2）分力大小与夹角的变化关系：物体重力恒定，两侧拉力的合力固定等于重力；两侧拉力夹角越小，单根绳的拉力越小；夹角越大，拉力越大。 （3）几何关系对夹角的影响：挂钩间距x决定包带两段的倾斜夹角：x=d时两段包带竖直，夹角最小，拉力达到最小值；x偏离d（变大或变小），夹角都会增大，拉力同步上升。 （4）图像趋势判断逻辑：横坐标为挂钩间距x，纵坐标是拉力与重力的比值；x=d处取最小值，向两侧延伸时拉力单调递增，曲线呈开口向上的类抛物线形态。 （5）轻质绳受力特点：包带轻质无自重，仅传递拉力，整条包带各处张力大小相等，无需考虑包带自身重力带来的额外受力。 （6）生活场景力学建模：以挎包悬挂为生活化情境，将悬挂问题转化为互成角度两个等大拉力的合成模型，考查几何、受力平衡、图像趋势综合分析能力。 【变式1-1】（2026·山东·高考真题）如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为的小球。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度大小为，则每根弹簧的伸长量为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖北·高考真题）如图所示，半径为的光滑圆环固定在竖直平面内，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环上与圆心等高的位置，另一端连接一个套在圆环上质量为的小球，平衡时弹簧与水平方向的夹角为。弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为，弹簧的劲度系数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·贵州·高考真题）一不可伸长的轻绳跨过同一水平线上的定滑轮，中间两定滑轮的间距为，在绳中央固定有一轻质吊环，绳两端分别挂有质量均为的配重物，配重物静止在地面上且绳恰好伸直。如图，某同学在健身时把吊环竖直向下缓慢拉的距离后保持静止，已知重力加速度大小为，不计摩擦及滑轮大小，则静止时该同学对吊环的拉力大小为（　　） A． B． C． D． ⚡基础速刷 1．如图所示，接水过程中，手与杯子均保持静止。随着竖直放置的杯子中水越来越多，下列说法正确的是（    ） A．手对杯子的摩擦力方向竖直向下 B．杯子对手的摩擦力方向竖直向上 C．手与杯子间的摩擦力大小不断增大 D．手与杯子间的摩擦力大小保持不变 2．如图所示，不计悬绳的质量，把B和C两物体悬吊在天花板A上，当两物体静止后，下面哪一对力是平衡力（     ） A．天花板对绳的拉力和绳对B物体的拉力 B．上段绳对B物体的拉力和下段绳对B物体的拉力 C．下段绳对B物体的拉力和下段绳对C物体的拉力 D．下段绳对C物体的拉力和C物体的重力 3．如图所示，水平桌面上，某同学将轻质细绳绕过杯子手把，双手拉动杯子沿水平面做直线运动，已知轻绳两端的拉力大小均为，夹角为，不计轻绳与杯子手把间的摩擦。则轻绳对杯子的作用力为（     ） A． B． C． D． 4．（多选）我国运动员在巴黎奥运会体操男子吊环决赛中取得优异成绩，中国选手刘洋获得冠军，邹敬园获得亚军。如图，在某次体操比赛中，运动员正在吊环上保持静止状态。忽略吊环和绳子的质量，两绳与竖直方向的夹角均为，运动员的质量为m，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．单根绳子的拉力大小为 B．两绳的合力等于运动员的重力 C．越大，两绳的合力越大 D．越大，单根绳子拉力越大 5．（多选）两物块M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示，、与水平面的夹角分别为、，已知，M、m均处于静止状态。则（　　） A．物块m与水平面间可能没有摩擦力 B．物块m与水平面间一定有摩擦力 C．绳的拉力大于绳的拉力 D．绳的拉力小于绳的拉力 6．如图所示，质量的物块静止在水平桌面上，受到与水平方向成角的作用力F。（已知，，，） (1)若当力时，物块仍处于静止状态，求此时物体受到的摩擦力大小？ (2)若当力时，物块恰好沿水平桌面向右做匀速直线运动，求物块与水平桌面的动摩擦因数？ 🚀能力跃升 7．如图所示是《天工开物》中古人挖煤时的场景和其简化示意图，初始时牵引绳和水平地面间夹角为，簸箕与地面间的动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，簸箕与井壁无接触，忽略绳子和滑轮之间的阻力。在簸箕被缓慢拉到滑轮的正下方的过程中，牵引绳的拉力（     ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 8．如图所示一款折叠桌静置在水平地面上，桌腿为两组等长轻杆组成的“X”形支架，每组支架两杆夹角为。现将一个质量为的锅（含食材）放在桌面正中央，已知桌面的质量为，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．锅对桌面的压力和桌面对锅的支持力是一对平衡力 B．若减小，则桌对地面的压力将减小 C．单根桌腿所受的压力大小为 D．若减小，则地面对单根桌腿的摩擦力将减小 9．（多选）如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平地面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平地面间的夹角为θ。下列说法正确的是（     ） A．当m一定时，θ越大，每根轻杆对滑块的弹力越大 B．当M、m一定时，每个滑块对地面的压力大小为 C．当m和θ一定时，每个滑块与地面间的摩擦力大小为 D．若最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力，则不管θ取何值，只要不断增大m，滑块一定会滑动 10．如图所示，整个装置处于静止状态，光滑轻滑轮固定在斜面体的顶端，连接物块的轻绳段水平、段与斜面平行。已知物块、、的质量分别为、、，轻绳与竖直方向的夹角以及斜面的倾角均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，，。求： (1)绳、中的拉力大小； (2)斜面体对物块的摩擦力大小和方向； (3)地面对斜面体的摩擦力大小和地面与斜面体间的动摩擦因数至少为多大？ 🌟思维挑战 11．现有一条粗细与质量分布均匀、柔软且不能伸长的链条，悬挂在A、B两点之间，链条质量为m，悬点A、B处切线与竖直方向夹角分别为30°和60°，两切线的交点为C，F为链条的最低点，重力加速度为g，则最低点F处链条张力为（     ） A． B． C． D． 12．如图所示，一根轻绳一端固定在天花板的A点，另一端通过与A在同一水平面上的小滑轮C吊着一个装有沙子的沙桶乙，同样装有沙子的沙桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，此时AB和BC的夹角为，AC间的距离为L，甲、乙两个桶的质量均为，甲桶中沙的质量为m。将乙桶中的一部分沙转移到甲桶中，后来AB和BC的夹角变为90°。已知重力加速度为g，不计摩擦。下列说法正确的是（　　） A．原来乙桶中沙的质量为 B．原来轻绳对滑轮C的作用力大小为 C．从乙桶中转移的沙的质量为 D．转移沙后甲桶下降的距离为 13．（多选）如图所示，质量均为的滑块之间连接着一根轻质弹簧，弹簧劲度系数为，现将滑块放在位于水平地面上的斜面体上，弹簧处于压缩状态，且滑块和斜面体均处于静止状态。已知斜面体的倾角为，滑块、与斜面体之间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法中正确的是（　　） A．斜面体与水平地面之间存在摩擦力 B．斜面体对滑块组成的系统的摩擦力为 C．若将弹簧拿掉，滑块有可能发生滑动 D．弹簧的压缩量可能为 14．如图所示，倾角为60°、质量为M的斜面体A置于水平面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为m的光滑球B，斜面体受到水平向右的外力，系统始终处于静止状态。已知重力加速度为g。 (1)求球B受到斜面体的弹力大小N1和墙面的弹力大小F1； (2)若斜面体受到水平向右的外力大小为，求此时斜面体受到水平面的摩擦力； (3)若斜面体与水平面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为了使系统处于静止状态，求水平向右的外力大小F的范围。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $