第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定 预习讲义 2026-2027学年人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，衔接辅助线添加（倍长中线、旋转、垂线等）及尺规作图（作角、作三角形），构建从基础判定到综合应用的递进式学习支架。 该资料以题型归纳为特色，涵盖14类题型及变式训练，通过具体例题强化推理能力（数学思维），结合尺规作图证明培养模型意识（数学语言），课中助力教师分层教学，课后学生可通过巩固练习查漏补缺，提升几何直观与应用能力。

第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定题型归纳 【题型1. 用SSS证明三角形全等 3】 【题型2. 用SAS证明三角形全等 5】 【题型3. 用ASA证明三角形全等 6】 【题型4. 用AAS证明三角形全等 7】 【题型5. 用HL证明三角形全等 9】 【题型6. 添加条件使三角形全等 10】 【题型7. 全等三角形性质与判定综合 12】 【题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 14】 【题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 15】 【题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 17】 【题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 18】 【题型12. 全等三角形综合问题 19】 【题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 21】 【题型14. 尺规作图——作三角形 24】 【巩固练习 25】 知识清单 知识点1 全等三角形的判定（SSS） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点2 全等三角形的判定（SAS） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点3 全等三角形的判定（ASA） 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（AAS） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（HL） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 尺规作图（作一个角等于已知角） 求作∠A’O’B’，使得∠A’O’B’=∠AOB. （1） 作法：① 如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D； ② 如图（2），作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； ③ 如图（3），以点C’为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相较于点D’； ④ 如图（4），过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’=∠AOB. （4） （3） （2） 证明：如图14.2-16，连结CD，C’D’ 由步骤（1）（2）作法，可得：OC=O’C’，OD=O’D’ 由步骤（3）作法，可得：CD=C’D’ 在△COD和△C’O’D’中，∵ ∴ △COD≌△C’O’D’（SSS） ∴ ∠A’O’B’=∠AOB 题型专练 题型1. 用SSS证明三角形全等 【例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【变式1】三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 【变式2】如图，．求证：． 【变式3】如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 【变式4】如图，．求证：． 题型2. 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【例2】如图，已知，，，求证： 【变式1】如图，和都是等腰直角三角形，求证：． 【变式2】已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【变式3】如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 题型3. 用ASA证明三角形全等 【例1】如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【例2】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【变式1】如图，，，，，，，四点共线，求证：． 【变式2】如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【变式3】如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 题型4. 用AAS证明三角形全等 【例1】如图，已知：，，，求证：． 【例2】如图，相交于点O，，．求证：． 【变式1】如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 【变式2】已知：如图，．求证：． 【变式3】如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 题型5. 用HL证明三角形全等 【例1】如下图，，于点，于点，．求证：． 【例2】如图，已知，且，，求证：．    【变式1】如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【变式2】如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且．求证：． 【变式3】如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接、，．求证：． 题型6. 添加条件使三角形全等 【例1】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【变式3】如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【变式4】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 题型7. 全等三角形性质与判定综合 【例1】如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2】如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【变式2】如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． (1)求证： (2)求小华从点B走到点E的时间． 【变式3】如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式4】如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 【例1】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 【变式2】如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【变式3】下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 【例1】在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【变式1】（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 【例1】【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 【例1】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【变式1】如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 题型12. 全等三角形综合问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中点，点，以线段为边在第一象限内作．已知，，，求点的坐标． 【变式1】已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【变式2】如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）； (2)若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒? (3)当点N的运动速度为多少时，能够使与全等． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【例2】已知，点D是边上一点，按要求画图，只保留作图的痕迹，不写作法． (1)在的内部，以点D为顶点，用尺规作． (2)在（1）的情况下，连接，若平分，且，求的度数． 【变式1】在中，点D在边上，且，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【变式3】已知线段以及线段外一点，用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)画线段，延长到使得； (2)在上方，作． 【变式4】如图，已知，点P在射线上． (1)在射线上求作一点D，使； (2)以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型14. 尺规作图——作三角形 【例1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 【变式1】如图，已知：线段，，，求作，使，，边上的中线为．(保留作图痕迹，不写作法) 【变式2】用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a，求作，使得，，边 【变式3】已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 巩固练习 1．（25-26七年级下·四川达州·期中）下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是（   ） A．   B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于点，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·宁夏银川·一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 7．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 10．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 12．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． (1)①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． (2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 15．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且 于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 (2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 (3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，和都是等腰三角形，，，，且点A、C、D在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设，点A、C、D在同一直线上，则与互余，与互余，可得，再结合相等边就可以证明，根据全等就可以得到，再根据全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出，即： (1)在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (2)在图④中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是____，_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，和有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系即求） 18．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 20．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 02讲 三角形全等的判定题型归纳 【题型1. 用SSS证明三角形全等 3】 【题型2. 用SAS证明三角形全等 6】 【题型3. 用ASA证明三角形全等 8】 【题型4. 用AAS证明三角形全等 11】 【题型5. 用HL证明三角形全等 14】 【题型6. 添加条件使三角形全等 18】 【题型7. 全等三角形性质与判定综合 23】 【题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 29】 【题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 33】 【题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 38】 【题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 41】 【题型12. 全等三角形综合问题 47】 【题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 54】 【题型14. 尺规作图——作三角形 59】 【巩固练习 63】 知识清单 知识点1 全等三角形的判定（SSS） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点2 全等三角形的判定（SAS） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点3 全等三角形的判定（ASA） 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点4 全等三角形的判定（AAS） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点5 全等三角形的判定（HL） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点6 尺规作图（作一个角等于已知角） 求作∠A’O’B’，使得∠A’O’B’=∠AOB. （1） 作法：① 如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧， 分别交OA，OB于点C，D； ② 如图（2），作一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC为半径作弧，交O’A’于点C’； ③ 如图（3），以点C’为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相较于点D’； ④ 如图（4），过点D’作射线O’B’，则∠A’O’B’=∠AOB. （4） （3） （2） 证明：如图14.2-16，连结CD，C’D’ 由步骤（1）（2）作法，可得：OC=O’C’，OD=O’D’ 由步骤（3）作法，可得：CD=C’D’ 在△COD和△C’O’D’中，∵ ∴ △COD≌△C’O’D’（SSS） ∴ ∠A’O’B’=∠AOB 题型专练 题型1. 用SSS证明三角形全等 【例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴ ， ∴，即， 故选：A． 【例2】如图，A，B，C，D四点依次在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．先由得出，结合，，可通过证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 【变式2】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】证明：在与中， ∴． 【变式3】如图，点E，F在线段上，若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式4】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 题型2. 用SAS证明三角形全等 【例1】如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【例2】如图，已知，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据题意易求出，再结合，，利用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 【变式1】如图，和都是等腰直角三角形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定，根据等腰直角三角形的定义得出，，，根据等式的性质得出，然后根据证明即可． 【详解】证明∶∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2】已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 先根据推出，再根据即可证明． 【详解】证明：， ，即， 又，， ． 【变式3】如图，点A，D，B，E在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是通过已知条件证明三角形全等，进而得到角相等，从而证明两直线平行． 先根据得出，再结合已知的和，利用“边角边”判定定理证明，得到对应角相等，最后根据同位角相等证明． 【详解】 ， ， ， 在和中， ， ． ． ． 题型3. 用ASA证明三角形全等 【例1】如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等；先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【详解】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25所相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④； 故选：D． 【例2】如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【详解】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【变式1】如图，，，，，，，四点共线，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求证即可．熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【变式2】如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ，即． ， ， 在和中， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握几种全等三角形的判定方法是解题的关键． 先由平行得到，再由即可证明． 【详解】略 【变式3】如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ∴． 【分析】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据角度计算，得出，结合题干信息，即可求证． 【详解】略 题型4. 用AAS证明三角形全等 【例1】如图，已知：，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【例2】如图，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由可得，根据，可得，即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式2】已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理． 利用判定全等即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴． 【变式3】如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型5. 用HL证明三角形全等 【例1】如下图，，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 【例2】如图，已知，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定 ，即可求解． 【详解】证明： ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边．利用证明，得到，然后根据等角对等边得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接、，．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，关键是掌握全等三角形的性质和判定． 根据证明直角三角形全等的“”定理，证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6. 添加条件使三角形全等 【例1】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 【例2】如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)②或③或④，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 【变式1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可得． 【详解】解：∵，， A、添加，利用定理可判定，则此项不符合题意； B、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； C、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； D、添加，∴，则，能用可判定，则此项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式3】如图，已知，再从下列四个条件：“①，②，③，④”中选择一个，则可以说明全等于．那么这个条件可以是_______（写出所有符合条件的序号） 【答案】 ①或②或③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，已知和对顶角，若要证明，还需一组对应边相等，分别验证各条件能否推出边相等或直接构成全等条件． 【详解】解：∵，且（对顶角相等）， 若添加条件①， 在和中，， ， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件①符合； 若添加条件②， 在和中，， ，故条件②符合； 若添加条件③， 在和中，， ， ， ，即， 在和中，， ，故条件③符合； 若添加条件④， 此时只有三个角对应相等，没有边相等的条件，无法证明三角形全等，故条件④不符合； 综上所述，符合条件的序号是①或②或③． 【变式4】如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 题型7. 全等三角形性质与判定综合 【例1】如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【详解】（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 【例2】如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 【变式2】如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为． (1)求证： (2)求小华从点B走到点E的时间． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）先证明，再根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴小华走的时间是． 【变式3】如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 【变式4】如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，即得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， ， ， 又 ， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 题型8. 全等三角形的辅助线的问题——倍长类中线 【例1】如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 【变式2】如图，为的中线． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 【变式3】下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，求的取值范围． 请将下面的解题过程补充完整． 解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（        ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________． 【答案】， ，1，7，0.5，3.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 延长到E，使，连接，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴ ． 故答案为：，，1，7，0.5，3.5 题型9. 全等三角形的辅助线的问题——旋转 【例1】在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 【变式1】（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 题型10. 全等三角形的辅助线的问题——垂线 【例1】【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 题型11. 全等三角形的辅助线的问题——其他 【例1】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【变式1】如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 题型12. 全等三角形综合问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中点，点，以线段为边在第一象限内作．已知，，，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，过点作轴于点，由，，可得，，可证，得到，，由此即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则， ，， ，， 在中，，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 【变式1】已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 【变式2】如图所示，在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点P为的中点．若点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示和的长度（单位：厘米，）； (2)若点N的运动速度与点M的运动速度相等，当时，点M运动了多少秒? (3)当点N的运动速度为多少时，能够使与全等． 【答案】(1)（厘米），（厘米） (2)当时，点M运动了3秒 (3)当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等 【分析】（1）由动点的运动起点、方向和运动速度即可求解； （2）由可得，据此即可求解； （3）因为，因此分类讨论①当△BPM≌△CMN时②当时两种情况即可． 【详解】（1）解：由题意得：（厘米），（厘米）． （2）解：由题意得：（厘米）， ∵厘米，点P为的中点， ∴厘米． ∵， ∴． ∴． 解得：． 答：当时，点M运动了3秒 （3）解：设点N运动速度为v厘米∕秒，则（厘米）， 分类讨论： ①当△BPM≌△CMN时，， 则 解得． ②当时，， 则 解得． 综上所述，当点N的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时，能够使与全等 【点睛】本题考查动点问题与全等三角形综合．注意第三问中没有指定对应边，应根据实际情况进行分类讨论． 【变式3】在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)1秒或3秒 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由点A，C的坐标可得的长，结合的面积：的面积，利用三角形面积公式列式可求出，即可求出点B的坐标； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况，结合与讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标，点的坐标， ∴,， 又的面积：的面积， ∴， ∴, ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上，在轴， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ； ②， ， ， 即：满足条件的的坐标为或； （3）解：在轴上，在轴， ， 由运动知，，， ，， 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 满足条件，即： ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， ， 不满足条件，舍去； ②， ， ，， 即：满足条件的时间或． 题型13. 尺规作图——作一个角等于已知角 【例1】如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用尺规作即可． （2）根据证明三角形全等即可解决问题． 【详解】（1）如图，′即为所求． （2）由作图可知，， ∴， ∴． 【例2】已知，点D是边上一点，按要求画图，只保留作图的痕迹，不写作法． (1)在的内部，以点D为顶点，用尺规作． (2)在（1）的情况下，连接，若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角、角平分线的定义、一元一次方程的应用，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）设，，则，根据角平分线的定义得到，再根据平角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：∵， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式1】在中，点D在边上，且，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】答案见解析 【分析】本题主要考查作平行线，平行线分线段成比例定理．过点D作的平行线与的交点即为点E． 【详解】解：所作图形如图所示： ． 【变式2】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【答案】(1)见详解 (2)，，全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据题意用直尺和圆规完成作图； （2）连接，先证，再根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）证明：连接， 由作图可知，， 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，全等三角形的对应角相等． 【变式3】已知线段以及线段外一点，用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)画线段，延长到使得； (2)在上方，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图－尺规作图，线段的定义等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据题中语句，画出图形即可； （2）根据题中语句，画出图形即可． 【详解】（1）解：所作图形，如图所示； （2）解：所作图形，如图所示： ． 【变式4】如图，已知，点P在射线上． (1)在射线上求作一点D，使； (2)以（1）中作出的点D为顶点，为一边，在外作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图---作线段，作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画弧交射线于点，则点即为所求； （2）以点为圆心为半径画弧，以点为圆心为半径画弧，两弧交于的下方一点，将点与两弧的交点连接并延长即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 题型14. 尺规作图——作三角形 【例1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，在中，； 求作：，使，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形；根据题意作，．连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求 【变式1】如图，已知：线段，，，求作，使，，边上的中线为．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形，首先画射线，再在上依次截取然后以为顶点，长为半径画弧，再以为顶点，长为半径画弧，两弧交点就是点位置，再连接、即可． 【详解】解：如图所示： ， 即为所求． 【变式2】用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a，求作，使得，，边 【答案】见详解 【分析】作射线，在射线上截取，在的上方分别作，，交于点，即为所求．本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式3】已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4． 巩固练习 1．（25-26七年级下·四川达州·期中）下列说法正确的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】解：A.∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，说法缺少前提条件， ∴ 该说法错误； B.∵ 这是平行公理，内容正确， ∴ 该说法正确； C.∵ 全等三角形要求至少有一组对应边相等，三个角对应相等只能保证三角形形状相同，大小不一定相等，不一定全等， ∴ 该说法错误； D.∵ 该结论只有在同一平面内才成立，说法缺少“同一平面内”的前提条件， ∴ 该说法错误． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是（   ） A．   B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可得，再由可利用证明． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于点，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 6．（2026·宁夏银川·一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 7．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________． 【答案】 【分析】证明，则可得到． 【详解】解：由光的反射定律可得， 由题意得，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴. 13．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且． (1)①尺规作图：在上方作，使得． （要求：不写作法，保留作图痕迹）． ②尺规作图中，判定的依据是__________________． （填：）． (2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)全等，理由见解析 【分析】（1）①分别以E为圆心，为半径，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点F即可； ②根据作图可知判定的依据是； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②由作图可知，，， ∵， ∴； （2）解：全等，理由如下： 如图， ， 在和中 14．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）由三角形内角和求出的度数，由平分，得出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）利用平行线的性质得到内错角相等，结合是中点和对顶角相等，用判定． （2）先算出直角的面积；再利用（1）中全等三角形面积相等，通过割补法，将四边形的面积转化为与面积相等，直接得到结果． 【详解】（1）（1）证明： ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． （2），，， ， 由（1）知， ． 观察图形可知： ． ． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】 一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且 于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】 (2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】 (3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据、分别是、的外角，可证，进而即可证明； （3）过点E作于M，过点G作的延长线于N，通过角的转化证明，则进而可证，则，，同理可证，则，，进一步证明即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵， ∴； （2），，， ， ，，， ， 在和中， ； （3）如图，过点作于，过点作的延长线于， ， ，， ， 在和中， ， ，， 同理可得：， ，， 即：，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·山东济南·期中）本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，和都是等腰三角形，，，，且点A、C、D在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设，点A、C、D在同一直线上，则与互余，与互余，可得，再结合相等边就可以证明，根据全等就可以得到，再根据全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出，即： (1)在图③中，若，点A、C、D在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (2)在图④中，若，点A、C、D在同一直线上，则和的数量关系是____，_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，和有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系即求） 【答案】(1)，说明见解析 (2)； (3)； 【分析】（1）设交于点T，先证明，再证明，得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理可证明； （2）同（1）求解即可； （3）用（1）求解即可． 【详解】（1）解：，说明如下： 如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于点T， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①　　　②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 20．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $