精品解析：福建省福州第十九中学2025-2026学年第二学期期末测试七年级数学试题

福州第十九中学2025−2026学年第二学期期末测试七年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数 2. 在平面直角坐标系中，下列点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据第三象限内点的坐标特征解答，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：∵第三象限的坐标特征为， ∴对比四个选项可得符合要求， 故选． 3. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测漳州的城市空气质量 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，理解根据所要考查的对象的特征灵活选用调查方式是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A． 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件，要求每个零件都没有问题适合普查，故此项符合题意； B． 了解全国中学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； C． 检测漳州的城市空气质量，调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； D． 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，调查具有破坏性适合抽样调查，故此项不符合题意． 故选：A． 4. 若是关于，的方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入方程，得 ， 整理得 ， 解得 . 5. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找出与26相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再推导的取值范围即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式各边同时减1，得 ，即 . 6. 关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】解：解不等式得， 由数轴可知表示的不等式的解集为， ∴， ∴． 7. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【详解】如图，∵∠2＝50°，纸条的两边互相平行， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝∠4−∠1＝50°−30°＝20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 8. 如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由尺规作图可知， ,且． 在和中 ． ， ∴． 9. 我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何？”（注：1贯文）意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱？设每匹绫值文，每丈绸值文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先统一单位，再根据题干描述找出两个等量关系，列出对应方程，构成方程组即可； 【详解】解：贯文， 贯文，贯文， 设每匹绫值文，每丈绸值文， 根据“绫三匹、绸四丈，值钱五贯”，可得方程： 根据“绫五匹、绸二丈，值钱四贯”，可得方程： 因此可列方程组为. 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（ ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，先将B、C、D、E用A来表示，再利用列出方程，求出的值，进而求出B、C、D、E的值，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知：、、、、， ， ， ， ， 将代入得： ， 解得：， 、、、， ， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. “的倍是负数”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意表示出的倍，再根据负数的定义，即负数小于，列出不等式即可. 【详解】解：的倍可表示为， ∵负数是小于的数， ∴“的倍是负数”用不等式表示为. 12. 如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为______万元（结果保留整数）． 【答案】49（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，由统计图可得，广告费用每增加一万元，销售收入大约增加3万元，据此求解即可． 【详解】解：由统计图可得，广告费用每增加一万元，销售收入大约增加3万元， 所以根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为万元， 故答案为：49（答案不唯一）． 13. 如图1，由五个边长为1的小正方形组成的卡纸，可以将它剪拼出一个大正方形，如图2所示，则这个大正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，利用勾股定理即可求出大正方形的边长． 【详解】解：由题可得图如下： 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，若第三边的长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点的坐标为，由，都在轴上，可得线段的长度为，点到轴的距离是中边上的高，长度为，根据三角形面积公式列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 16. 如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点E作交的延长线于点G，易证明是线段的垂直平分线，则，再证明是的平分线，根据角平分线的性质定理得到，利用“”的判定方法证明、，进而得到、，设、，利用和长列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接、，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， 是线段的垂直平分线， ， 、， ， 是的平分线， 、， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设、， 、， ， 解得：， ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题关键．先计算算术平方根，化简绝对值，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入得，， 解得： ∴方程组的解为： 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 把未知数系数化为得． 20. 如图，与相交于点O，连接，，点O是的中点，，求证：． 【答案】 证明：∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、对顶角相等，由点O是的中点得出，再证明，即可得证． 【详解】略 21. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 （1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：________．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】 将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩（/分） 【描述数据】 根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 学生竞赛成绩的频数直方图 学生竞赛成绩的扇形统计图 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： （2）①抽取学生竞赛成绩的样本容量为________； ②请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是________度； （4）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）④ （2）①；② （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）在本题的随机抽取中，单一个年级或单一班级的抽取容易因特殊性造成偏差，无法覆盖全校． （2）总样本容量可用图1中B部分人数除以图2中B部分占比，即得到总样本容量．在频数分布直方图中，用总样本容量减去其他部分人数，即为部分人数． （3）用部分的人数除以样本总量即为样本中分以上（含分）的占比，用该部分占比乘全校总人数即可预估该校参加竞赛的学生中成绩为优秀的人数． 【小问1详解】 解：为避免因单一班级或年级的特殊性造成偏差，故应分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【小问2详解】 解：总样本容量为， A组人数为（人）． 【小问3详解】 解：扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 22. 如图，，，， （1）求的度数； （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．先补全图形，再求的度数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由平行线内错角相等得到的度数；再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先根据角平分线的定义，求出的度数，根据垂线的定义求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ． ， ； 【小问2详解】 解：补全图形略； 平分，， ， ， ， ， ， ， ． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买3件A商品，2件B商品，共需72元；若买2件A商品，3件B商品，共需88元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用20元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 （1）该商店无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少？ （2）小明在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（）． ①若使用外卖配送服务，共需要____元； ②若不使用外卖配送服务，共需要____元（结果均用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1）A商品的销售单价是元，B商品的销售单价是元 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）设该商店无促销活动时，A商品销售单价是元，B商品销售单价是元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【小问1详解】 解：设该商店无促销活动时，A商品销售单价是元，B商品销售单价是元， 根据题意得， 解得， 答：该商店无促销活动时，A商品的销售单价是元，B商品的销售单价是元． 【小问2详解】 解：①若使用外卖配送服务，则共需要元； ②若不使用外卖配送服务，则共需要元； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， 又， ， 答：当时，使用外卖配送服务更合算． 24. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；②，③ （2）若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】先明确“相伴方程”的判断逻辑：如果一元一次方程的解在不等式组的解集范围内，那么该方程是不等式组的相伴方程． （1）先求解给定不等式组的解集，再分别求解每个方程的解，判断解是否在不等式组解集内即可． （2）先求解不等式组得到解集，再求解方程得到含参数的解，因为方程的解属于不等式组的解集，所以将解代入解集的不等关系，得到关于的不等式组，求解该不等式组即可． （3）先求解两个给定方程得到它们的解，再解含参数的不等式组，因为的正负会改变第一个不等式的不等号方向，所以需要分和两种情况讨论不等式组的解集，再根据两个方程的解都在解集内，分别得到对应的不等式组，求解后取符合条件的范围即可． 【小问1详解】 解：解不等式组​，解不等式，得， ∴不等式组的解集为． ①方程的解为，满足，是相伴方程； ②方程的解为，，不是； ③方程的解为​，满足，是相伴方程． 填①③． 【小问2详解】 解：解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得， 即的取值范围是； 【小问3详解】 解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程，是关于的不等式组的“相伴方程”， 且， 所以分为两种情况： ①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得， 解得， 所以的取值范围是． 25. 在四边形中，． （1）若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． （2）如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；② （2）结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【小问1详解】 解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025−2026学年第二学期期末测试七年级数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列点在第三象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测漳州的城市空气质量 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 4. 若是关于，的方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　　） A. 80° B. 50° C. 30° D. 20° 8. 如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何？”（注：1贯文）意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱？设每匹绫值文，每丈绸值文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（ ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 A. A B. B C. C D. D 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. “的倍是负数”用不等式表示为________． 12. 如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为______万元（结果保留整数）． 13. 如图1，由五个边长为1的小正方形组成的卡纸，可以将它剪拼出一个大正方形，如图2所示，则这个大正方形的边长为______． 14. 已知一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为（是整数），则最大为______． 15. 在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 16. 如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程组 19. 解不等式：． 20. 如图，与相交于点O，连接，，点O是的中点，，求证：． 21. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 （1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：________．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】 将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩（/分） 【描述数据】 根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． 学生竞赛成绩的频数直方图 学生竞赛成绩的扇形统计图 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： （2）①抽取学生竞赛成绩的样本容量为________； ②请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是________度； （4）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 22. 如图，，，， （1）求的度数； （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．先补全图形，再求的度数． 23. 根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买3件A商品，2件B商品，共需72元；若买2件A商品，3件B商品，共需88元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用20元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 （1）该商店无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少？ （2）小明在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（）． ①若使用外卖配送服务，共需要____元； ②若不使用外卖配送服务，共需要____元（结果均用含的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 24. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；②，③ （2）若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 25. 在四边形中，． （1）若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． （2）如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $